Gewährleistet RRT * asymptotische Optimalität für eine Mindestabfertigungskostenmetrik?

Es wurde gezeigt, dass der optimale Bewegungsplanungsalgorithmus ( in diesem Artikel beschrieben ) kollisionsfreie Pfade liefert, die mit zunehmender Planungszeit zum optimalen Pfad konvergieren. Soweit ich jedoch sehen kann, haben die Optimalitätsnachweise und Experimente angenommen, dass die Pfadkostenmetrik die euklidische Entfernung im Konfigurationsraum ist. Kann auch Optimalitätseigenschaften für andere liefern, z. B. die Maximierung des Mindestabstands von Hindernissen auf dem gesamten Pfad? $\text{RRT}^*$ $\text{RRT}^*$

Mindestabstand definieren: Der Einfachheit halber können wir einen Punktroboter betrachten, der sich im euklidischen Raum bewegt. Definieren Sie für jede Konfiguration , die sich im kollisionsfreien Konfigurationsraum befindet, eine Funktion die den Abstand zwischen dem Roboter und dem nächsten C-Hindernis zurückgibt. Für einen Pfad ist der minimale Abstand der minimale Wert von für alle . Bei einer optimalen Bewegungsplanung kann es wünschenswert sein, den Mindestabstand zu Hindernissen entlang eines Pfades zu maximieren . Dies würde bedeuten, eine Kostenmetrik so zu definieren, dass $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ steigt mit abnehmendem Mindestabstand. Eine einfache Funktion wäre . $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

In der ersten Veröffentlichung, in der , werden verschiedene Annahmen über die Pfadkostenmetrik getroffen, damit die Beweise gültig sind. Eine der Annahmen betraf die Additivität der Kostenmetrik, die für die oben genannte Mindestabstandsmetrik nicht gilt. In dem neueren Zeitschriftenartikel , der den Algorithmus beschreibt, wurden jedoch einige der früheren Annahmen nicht aufgeführt, und es schien, dass die Mindestabfertigungskostenmetrik auch durch den Algorithmus optimiert werden könnte. $\text{RRT}^*$

Weiß jemand, ob die Beweise für die Optimalität von für eine Mindestabfertigungskostenmetrik gelten können (vielleicht nicht die, die ich oben angegeben habe, aber eine andere, die das gleiche Minimum hat), oder ob Experimente durchgeführt wurden die Nützlichkeit des Algorithmus für eine solche Metrik unterstützen? $\text{RRT}^*$

— giogadi
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Ich bin nicht mit der Mindestabfertigungskostenmetrik vertraut, obwohl ich beim Namen eine allgemeine Vorstellung davon habe. Handelt es sich um eine bestimmte Funktion oder eine Funktionsklasse?

— DaemonMaker

Gute Frage: Da die Metrik je nach Roboter unterschiedlich ist, nehmen wir an, dass wir einen holonomen Punktroboter betrachten, der sich im euklidischen Raum bewegt. Bei jeder Konfiguration q haben wir eine Funktion d (q), die den Abstand zwischen dem Punktroboter und dem nächstgelegenen C-Hindernis zurückgibt. Daher ist für einen Pfad im Konfigurationsraum der Mindestabstand des gesamten Pfads der Mindestwert von d (q) für alle q im Pfad.

— Giogadi

Meta-Frage: Wann ist es empfehlenswert, die ursprüngliche Frage mit Klarstellungen zu bearbeiten, die in Kommentaren und anderen Antworten dargelegt wurden?

— Giogadi

Dies ist eine gute Meta-Frage und würde in der Robotics Meta SE mehr Beachtung finden. ;) Im Allgemeinen ist es jedoch gut, die Frage aus Gründen der Klarheit zu bearbeiten. Ich empfehle dies insbesondere dann, wenn die herausgegebenen Antworten nicht mit der beabsichtigten Frage übereinstimmen.

— DaemonMaker

Antworten:

* Beachten Sie, dass ist die Verkettung der Pfade und . Dann impliziert definiert als das minimale Spiel, $a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Sie beziehen sich auf (in Referenz 1):

Satz 11: (Additivität der Kostenfunktion.) Für alle , , die Kostenfunktion c satis fi es die folgenden: $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Was wurde (in Referenz 3, Problem 2):

Die Kostenfunktion wird angenommen , monotone zu sein, in dem Sinne , daß für alle $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Was für den Mindestabstand immer noch nicht der Fall ist.

Update: Angesichts der lockeren Beschränkung der Pfadkosten scheint Ihre vorgeschlagene Exp (-min_clearance) in Ordnung zu sein.

— Josh Vander Hook
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Ihre Antwort hat mir klar gemacht, dass die Metrik, wie ich sie beschrieben habe, tatsächlich schlecht gestellt ist. Wir möchten in der Regel den Mindestabstand über einen Pfad MAXIMIEREN. Daher sollten die Kosten eines Pfads mit abnehmendem Mindestabstand eines Pfads STEIGEN. Die erste Kostenfunktion, an die ich denke, ist c (Sigma) = 1 / min_clearance (Sigma), aber dies lässt die Funktion an Hindernisgrenzen undefiniert, und ich glaube, RRT * erfordert, dass Q_free geschlossen ist, damit die Beweise funktionieren . Abgesehen von der Grenzfrage wäre diese neue Kostenfunktion monoton, wie es der Beweis erfordert.

— Giogadi

Ich nehme an, eine einfache Kostenfunktion, die das Grenzproblem vermeidet, könnte c (Sigma) = -min_clearance (Sigma) sein, aber ich bin nicht sicher, was eine negative Metrik für andere Teile des RRT *

— -Proofs bedeuten

Das Papier geht explizit von Kosten

Null aus. Sie können den Konfigurationsraum von einigen erweitern

die Singularität der Berührung der Grenze zu adressieren, aber das Papier geht auch davon aus

-clearance, und das könnte einen Konflikt mit Veränderung verursacht

. Ich denke, Sie versuchen jetzt, eine andere Frage zu beantworten, und dies könnte eine Diskussion beinhalten, die in diesem Format nicht einfach ist.

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

— Josh Vander Hook

Eine andere mögliche Metrik: c (Sigma) = exp (-min_clear (Sigma))

— giogadi

Die Exponentialkostenfunktion gefällt mir am besten.

— Josh Vander Hook

In einer früheren Antwort haben wir uns darauf geeinigt, dass eine Kostenfunktion definiert ist als

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

würde die Eigenschaften erfüllen, die für RRT * erforderlich sind, um unter dieser Metrik eine asymptotische Optimalität zu erzielen.

Bei Durchsicht des IJRR-Artikels, in dem RRT * beschrieben wird, entspricht diese Kostenfunktion jedoch technisch nicht den im Artikel getroffenen Annahmen. Diese Kostenfunktion verletzt insbesondere die Boundedness- Eigenschaft, die wie folgt definiert ist:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

Dabei ist die Gesamtvariation eines Pfades, die im Wesentlichen die euklidische Länge des Pfades ist. Unter dieser Beschränkungsannahme muss ein Pfad der Länge 0 auch Kosten von 0 haben. $\text{TV}(\sigma)$

Definieren wir einen Pfad , der aus einer einzelnen Konfiguration , was bedeutet, dass die Länge von ist. Unsere Pfadkosten sind daher , was die Annahme der Begrenzung verletzt . Daher erfüllt diese Kostenfunktion nicht die im IJRR-Artikel festgelegten Anforderungen, um eine asymptotische Optimalität zu erzielen. $\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Ich frage mich, ob RRT * unter einer solchen Kostenfunktion einfach keine asymptotisch optimalen Lösungen liefert, oder ob es immer noch möglich ist, dass diese Annahmen die Optimalitätsnachweise im Papier vereinfachen.

— giogadi
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