Schneller Weg, um zu überprüfen, ob zwei Zustandsvektoren bis zu Pauli-Operationen äquivalent sind

Ich suche nach schnellem Code oder einem schnellen Algorithmus, um zu überprüfen, ob ein gegebener Zustandsvektor $A$ nur mit den Pauli-Operationen , , in einen anderen Zustandsvektor $B$ transformiert werden kann . $X$ $Y$ $Z$

Die naive Strategie besteht darin, einfach alle $4^n$ Möglichkeiten zu durchlaufen , um eine Pauli-Operation (oder keine Operation) auf jedes der $n$ Qubits anzuwenden, und tatsächlich die Anwendung der Operationen ( $2^n$ Kosten für jedes Qubit für jeden Fall) auf einen der Zustände zu simulieren und prüfen Sie, ob der resultierende Zustandsvektor dem anderen Zustand entspricht. Sicherlich ist es möglich , dies in besser zu machen als worst case $n 8^n$ Zeit?

[Update] Ich interessiere mich speziell für die Worst-Case- Leistung. Heuristiken sind interessante und nützliche Antworten, werden jedoch nicht zur akzeptierten Antwort.

pauli-gates

— Craig Gidney
quelle

Antworten:

Die Art und Weise, wie ich anfangen wollte, bestand darin, die Matrizen mit reduzierter Dichte der einzelnen Qubits zu betrachten. Wenn sie nicht mit Pauli-Matrizen konvertiert werden können, kann das Ganze nicht.

Das einzige Problem ist, dass diese Idee zusammenbricht, sobald eine der Matrizen mit reduzierter Dichte maximal gemischt wird. An diesem Punkt könnten Sie fragen: "Sind die beiden Staaten unter lokalen Einheiten gleichwertig?". Wenn Sie die Unitarier als Ergebnis dieser Frage ableiten, ist es einfach zu testen, ob sie Pauli sind oder nicht. Dies wurde hier untersucht . Ich denke, es gibt immer noch Fälle, in denen die Skalierung problematisch ist, aber ich erinnere mich nicht gut genug an das Bit mit maximal gemischten Matrizen mit reduzierter Dichte.

— DaftWullie
quelle

Das ist eine gute Heuristik für Staaten wie

, aber gemeinsame Zustände wie Graph Staaten ohne Singleton - Knoten werden nicht davon profitieren. Die Idee verallgemeinert sich beispielsweise auf die Matrix mit reduzierter Dichte von Paaren oder Tripletts von Qubits.

| C C Z ⟩

$|CCZ\rangle$

— Craig Gidney

Genau. Natürlich gab es für Diagrammzustände viele Studien zur lokalen Clifford-Äquivalenz , aber dann müssen Sie darüber sprechen, wie die Zustände angegeben werden. Die Schwierigkeit, zwischen lokaler Clifford- und lokaler einheitlicher Äquivalenz zu unterscheiden, lässt darauf schließen, wie schlimm das Problem im Allgemeinen sein könnte.

— DaftWullie

Wählen Sie ein Element $a_i$ von A und finden Sie seine Position in B, ohne die Phasenänderungen zu berücksichtigen. Die Positionsverschiebung identifiziert die Reihe von $X$ oder $Y$ Anwendungen, die für die Transformation benötigt werden.

Die relative Phase von $(a_0, b_0)$ gibt in Schritten von $-i$ Umdrehungen an, wie viele $Y$ Gatter Sie für die Transformation benötigen. Die relative Phase von $(a_1,b_1)$ bis $(a_0,b_0)$ , dass viele $Y$ oder $Z$ Gatter auf das erste Qubit wirken. und so weiter für die relative Phase von $(a_{2^{k-1}},b_{2^{k-1}})$ bis $(a_0,b_0)$ Gatter, die auf das Qubit. für $Y$ oder $Z$ $k$

Wenn $a_i$ nicht in B erscheint, ist die Transformation nicht möglich.

Ich glaube, dass das Obige in $O(n)$ -sh gemacht werden kann.

— Eelvex
quelle

Was passiert, wenn die Elemente

nicht eindeutig sind?

a_{i}

$a_i$

— DaftWullie

Sie nehmen Fälle. In jedem Fall wird das Problem mit zunehmender Entartung der Elemente trivialer. Die (Größen der) Elemente von A und B müssen ausgeglichen sein.

— Eelvex

Aber was ist mit Zuständen wie Graphenzuständen, in denen alle Elemente die gleiche Größe haben? Der Punkt, den ich versuche, ist, dass das Aufnehmen von Fällen zu derselben exponentiellen Explosion führen würde. Zugegeben, Ihr Vorschlag ist sehr gut geeignet, um viele einfache Fälle zu beseitigen oder zu lösen.

— DaftWullie

X

$X$

Dies ist eine weitere gute Heuristik für bestimmte Staaten. Aber ich suche speziell nach einem Algorithmus mit guter Worst-Case-Leistung.

— Craig Gidney