Isomorphismus zwischen der Clifford-Gruppe und den Quaternionen

Wie finde ich einen expliziten Isomorphismus zwischen den Elementen der Clifford-Gruppe und etwa 24 Quaternionen?

Der einfache Teil: Die Multiplikation von Matrizen sollte der Multiplikation von Quaternionen entsprechen.

Die Identitätsmatrix $I$ sollte dem Quaternion $1$ .

Der schwierige Teil: Worauf sollten die anderen Elemente der Clifford-Gruppe abgebildet werden? Da die folgenden Elemente die gesamte Gruppe generieren, ist die Zuordnung dieser Elemente ausreichend:

H = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] and P = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\text{ and }P=\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}$

Kann jemand helfen?

clifford-group

— Knotenprotokoll
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Die Quaternionen werden durch die Einheitsmatrix und die Pauli-Matrizen multipliziert mit der imaginären Einheit in zwei Dimensionen getreu dargestellt: $i = \sqrt{-1} X$ $j = \sqrt{-1} Y$ $k = \sqrt{-1} Z$ $H$ $P$ $H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$ $P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

Dies ist jedoch kein Isomorphismus zwischen der Clifford-Gruppe und den Quaternionen, da wir hier die Quaternionen als Algebra und nicht als Gruppe verwenden. Was gesagt werden kann, dass die Clifford-Gruppe isomorph zu einer Untergruppe invertierbarer Elemente der Quaternionsalgebra ist.

$\pm 1$ $\pm (-iX = R_x(\pi))$ $\pm (-iY = R_y(\pi))$ $\pm (-iZ = R_z(\pi))$ $\pi$ Rotationen um zwei Hauptachsen. Die Quaternionsgruppe der Ordnung 8 ist jedoch nicht isomorph zur Clifford-Gruppe der Ordnung 24, die durch erzeugt werden kann $\frac{\pi}{2}$

Klarstellungen

@Knot Log, Entschuldigung, ich habe Sie in zwei Punkten in die Irre geführt:

$i = \sqrt{-1} X$ $j = \sqrt{-1} Y$ $k = \sqrt{-1} Z$ $-1$

$\sqrt{-1}$ $i$ $H$ $P$

$H$ $P$ $\mathbb{Z}_8$

$24$ $R_x(\frac{\pi}{2})$ $R_z(\frac{\pi}{2})$

— David Bar Moshe
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Vielen Dank für Ihre Klarstellung zur Clifford-Gruppe / Clifford-Algebra / Quaternionen / Quaternionen-Gruppe. Sie stellten meine Frage wie folgt: "Was kann gesagt werden, dass die Clifford-Gruppe isomorph zu einer Untergruppe invertierbarer Elemente der Quaternionsalgebra ist?" Haben Sie eine Idee, wie Sie diese Quaternionen bestimmen können?

— Knotenprotokoll

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (X + Z)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P

$P$

1

$1$

Z

$Z$

Ich denke das ist nicht richtig. Wenn ich schreibe

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P = \frac{1 + i}{2} + \frac{1 - i}{2} k

$P=\frac{1+i}{2}+\frac{1-i}{2}k$

Du hast Recht. Wenn Sie nach Erhalt dieser 48 Quaternionen Äquivalenzklassen ohne Berücksichtigung des Minuszeichens berücksichtigen , liegt ein Isomorphismus mit den 24 Elementen der Clifford-Gruppe vor. Vielen Dank!

— Knotenprotokoll

@Knot Log, Entschuldigung, ich habe Sie in zwei Punkten in die Irre geführt. Ich habe in einem Update eine Klarstellung hinzugefügt.

— David Bar Moshe