Vorteil der Simulation spärlicher Hamiltonianer

In der Antwort von @ DaftWullie auf diese Frage zeigte er, wie die in diesem Artikel als Beispiel verwendete Matrix in Form von Quantentoren dargestellt werden kann . Ich halte es jedoch für unwahrscheinlich, dass es in Beispielen aus dem wirklichen Leben so gut strukturierte Matrizen gibt, deshalb habe ich versucht, andere Methoden zur Simulation eines Hamilton-Operators zu untersuchen. Ich habe in mehreren Artikeln einen Verweis auf diesen von Aharonov und Ta-Shma gefunden, in dem sie unter anderem angeben, dass es möglich ist, einen Vorteil bei der Simulation spärlicher Hamiltonianer zu haben. Nach dem Lesen des Artikels habe ich jedoch nicht verstanden, wie die Simulation von spärlichen Hamiltonianern durchgeführt werden könnte. Das Problem wird normalerweise als Grafikfärbung dargestellt, wobei jedoch auch die Darstellung betrachtet wird dass @Nelimee vorschlug, zu lesen, um die Matrixexponentiation zu untersuchen, dies alles fällt auf die Silmulation durch die Produktformel.

Nehmen wir als Beispiel eine Zufallsmatrix wie:

Dies ist kein Einsiedler, aber mit dem Vorschlag von Harrow, Hassidim und Lloyd können wir ausgehend davon eine Einsiedlermatrix konstruieren:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Jetzt, wo ich eine 8x8, 2-spärliche Einsiedlermatrix habe:

Kann ich seine Entwicklung auf andere Weise als mit der Produktformelmethode simulieren?
Wie nutze ich die Tatsache, dass es spärlich ist, selbst wenn ich die Produktformel verwende? Liegt es nur daran, dass es weniger Einträge ungleich Null gibt und es daher einfacher sein sollte, das Produkt der Basistore zu finden?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
quelle

$H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Das Problem ist, dass dies in der Praxis nicht unbedingt einfach funktioniert. Zum einen gibt es immer noch exponentiell viele Matrixelemente, die Sie durchlaufen müssen, aber das wird bei der Art und Weise, wie Sie es einrichten, immer der Fall sein.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

Der erste Schritt besteht darin, den Hamilton-Operator als eine Menge von Einheitlichen zu zerlegen, multipliziert mit den positiven Skalierungsfaktoren $\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
quelle

Nur zwei Dinge, die ich nicht verstanden habe: 1) Was meinst du, wenn du sagst, dass du immer die komplexen konjugierten Paare einschließt? 2) Auf welche Weise sollte uns die Kenntnis der Position des Orakels helfen? Indem Sie uns helfen, die Einheit zu bestimmen, die den zerlegten Hamiltonianer darstellt?

— FSic

@ F.Siciliano (2) Das Wissen aus dem Orakel hilft, weil Sie nur die Nicht-Null-Elemente der Matrix durcharbeiten können, anstatt jedes Element der Matrix durchgehen zu müssen, um herauszufinden, welche Nicht-Null-Elemente sind.

— DaftWullie

@ F.Siciliano (1) Da

hermitisch ist, hat Element (i, j) Wert, wenn Sie wissen

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$