Quantenphasenschätzung und HHL-Algorithmus - Kenntnis der Eigenwerte erforderlich?

Der Quantenphasenschätzungsalgorithmus (QPE) berechnet eine Approximation des Eigenwerts, der einem gegebenen Eigenvektor eines Quantentors $U$ .

Formal lassen Sie $\left|\psi\right>$ ein Eigenvektor von seinem $U$ , QPE ermöglicht es uns , finden $\vert\tilde\theta\rangle$ , die beste $m$ - Bit - Approximation von $\lfloor2^m\theta\rfloor$ , so dass $\theta \in [0,1)$ und

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

Der HHL-Algorithmus ( Originalarbeit ) verwendet als Eingabe eine Matrix $A$ , die erfüllt,

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$ und ein Quantenzustand

| b ⟩

$\vert b \rangle$ und berechnet

| x ⟩

$\vert x \rangle$ , die die Lösung des linearen Systems kodiert

A x = b

$Ax = b$ .

Anmerkung : Jede hermitesche Matrix statisfy die Bedingung auf $A$ .

Zu diesem Zweck verwendet der HHL-Algorithmus das QPE auf dem durch Quantentor . Dank der linearen Algebra Ergebnisse wissen wir, dass , wenn die Eigenwerte von sind dann die Eigenwerte sind . Dieses Ergebnis wird auch in Algorithmen für quantenlineare Systeme angegeben: ein Primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (Seite 29, zwischen den Gleichungen 68 und 69). $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

Mit Hilfe von QPE wird im ersten Schritt des HLL-Algorithmus versucht, so zu schätzen dass . Dies führte uns zu der Gleichung $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$ dh

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

Durch ein wenig Analyse der Implikationen der Bedingungen

und

kam ich zu dem Schluss, dass wenn

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

(dh

) kann der Phasenschätzungsalgorithmus den richtigen Eigenwert nicht vorhersagen.

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

$A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

$e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

$t$

$A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nelimee
quelle

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

$A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

Wenn Sie innerhalb der Werte von , befürchten, dass für eine große Matrix (z. B. Qubits) die Zeilensumme leicht zu berechnen ist (da nicht viele Einträge vorhanden sind), kann das Maximum über alle Zeilen hinweg lange dauern Zeit (weil es Zeilen gibt), gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, um gute Annäherungen daran zu erhalten (z. B. Stichproben oder Verwendung der Kenntnis der Problemstruktur). Im schlimmsten Fall können Sie wahrscheinlich Grovers Suche verwenden , um die Suche etwas zu beschleunigen. $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
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Grover ist keine Verbesserung: Selbst wenn wir den Algorithmus verwenden können, benötigen wir dennoch Abfragen, die die exponentielle Verbesserung von HHL gegenüber klassischen Methoden zerstören und durch eine quadratische Beschleunigung ersetzen. Die einzige Hoffnung, die noch übrig ist, ist das Abtasten (eine andere Fehlerquelle einführen) oder beten und hoffen, dass das Problem es uns ermöglicht, die oberen / unteren Grenzen abzuschätzen. Scheint mir ein großer Fehler des Algorithmus zu sein.

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee

Klar, ich meinte nur, dass Grover Ihnen eine Quadratwurzel-Beschleunigung im Vergleich zu der naiven Methode gibt, das Maximum zu erreichen. Das hat natürlich einen schlechten Einfluss auf die Gesamtlaufzeit.

— DaftWullie