Wenn die Quantenbeschleunigung auf die Wellenform der Quantenmechanik zurückzuführen ist, warum nicht einfach reguläre Wellen verwenden?

Die Intuition, die ich habe, warum Quantencomputer bessere Leistungen erbringen können als klassisches Computing, besteht darin, dass die Wellenform von Wellenfunktionen es Ihnen ermöglicht, mehrere Informationszustände mit einer einzigen Operation zu interferieren, was theoretisch eine exponentielle Beschleunigung ermöglichen könnte.

Aber wenn es wirklich nur eine konstruktive Interferenz komplizierter Zustände ist, warum nicht einfach diese Interferenz mit klassischen Wellen durchführen?

Und in diesem Punkt, wenn es einfach darum geht, in wie wenigen Schritten etwas berechnet werden kann, warum nicht mit einem komplizierten dynamischen System beginnen, in das die gewünschte Berechnung eingebettet ist? (Warum also nicht einfach "analoge Simulatoren" für bestimmte Probleme erstellen?)

Ihre primäre Behauptung, dass die Mathematik der Wellen die der Quantenmechanik nachahmt, ist die richtige. Tatsächlich haben viele Pioniere des QM aus genau diesem Grund von Wellenmechanik gesprochen. Dann ist es selbstverständlich zu fragen: "Warum können wir mit Wellen kein Quantencomputer betreiben?".

Die kurze Antwort lautet: Die Quantenmechanik ermöglicht es uns, mit einem exponentiell großen Hilbert-Raum zu arbeiten und dabei nur polynomielle Ressourcen zu verbrauchen. Das heißt, der Zustandsraum ist Qubits a 2 n dimensionalen Hilbertraum.$n$$2^n$

Man kann keinen exponentiell großen Hilbert-Raum aus polynomiell vielen klassischen Ressourcen konstruieren. Um zu sehen, warum dies der Fall ist, betrachten wir zwei verschiedene Arten von wellenmechanikbasierten Computern.

Der erste Weg ein solcher Computer zu bauen wäre zu nehmen Zahl der Zwei-Ebenen - klassischen Systemen. Jedes System könnte dann für sich durch einen 2D-Hilbert-Raum dargestellt werden. Beispielsweise könnte man sich n Gitarrensaiten vorstellen, bei denen nur die ersten beiden Harmonischen erregt sind.$n$$n$

Dieser Aufbau kann kein Quanten-Computing imitieren, da es keine Verflechtung gibt. So dass jeder Zustand des Systems wird ein Produktzustand und das kombinierte System der seine Gitarrensaiten können keine machen verwendet werden , um 2 n dimensionalen Hilbert - Raum.$n$$2^n$

Die zweite Möglichkeit, einen exponentiell großen Hilbert-Raum zu konstruieren, besteht darin, einen einzelnen Gitarrenstich zu verwenden und seine ersten Harmonischen mit den Basisvektoren des Hilbert-Raums zu identifizieren . Dies geschieht in der Antwort von @DaftWullie. Das Problem bei diesem Ansatz ist, dass die Frequenz der höchsten Harmonischen, die angeregt werden muss, um dies zu erreichen, als O ( 2 n ) skaliert . Und da die Energie einer schwingenden Saite quadratisch mit ihrer Frequenz skaliert, benötigen wir eine exponentielle Energiemenge, um die Saite anzuregen. Im schlimmsten Fall können die Energiekosten der Berechnung exponentiell mit der Problemgröße skalieren.$2^n$$O(2^n)$

Der entscheidende Punkt dabei ist, dass klassische Systeme keine Verflechtung zwischen physikalisch trennbaren Teilen aufweisen. Und ohne Verschränkung können wir keine exponentiell großen Hilbert-Räume mit polynomialem Overhead konstruieren.

Ich selbst beschreibe die Quelle der Kraft der Quantenmechanik oft als „destruktive Interferenz“, das heißt als die wellenartige Natur der Quantenmechanik. Im Hinblick auf die Komplexität der Berechnungen ist es klar, dass dies eines der wichtigsten und interessantesten Merkmale der Quantenberechnung ist, wie Scott Aronson (zum Beispiel) feststellt . Aber wenn wir es auf diese sehr kurze Weise beschreiben - dass "die Macht der Quantenberechnung in destruktiver Interferenz / der wellenartigen Natur der Quantenmechanik liegt" -, ist es wichtig zu bemerken, dass diese Art von Aussage eine Kurzform ist, und unbedingt unvollständig.

Wann immer Sie eine Aussage über "die Kraft" oder "den Vorteil" von etwas machen, ist es wichtig zu beachten: im Vergleich zu was ? In diesem Fall vergleichen wir es mit spezifisch probabilistischem Rechnen: und wir haben nicht nur vor Augen, dass sich 'etwas' wie eine Welle verhält, sondern speziell, dass sich etwas, das sich ansonsten wie eine Wahrscheinlichkeit verhält, wie eine Welle verhält.

Es muss gesagt werden, dass die Wahrscheinlichkeit selbst in der klassischen Welt bereits ein bisschen wie eine Welle wirkt: Insbesondere folgt sie einer Art Huygens Prinzip (dass Sie die Ausbreitung von Wahrscheinlichkeiten von Dingen verstehen können, indem Sie die Beiträge von einzelnen Anfangsbuchstaben aufsummieren Bedingungen - oder mit anderen Worten, durch ein Überlagerungsprinzip ). Der Unterschied besteht natürlich darin, dass die Wahrscheinlichkeit nicht negativ ist und sich daher nur ansammeln kann, und dass ihre Entwicklung im Wesentlichen eine Form der Diffusion sein wird. Die Quantenberechnung schafft es, wellenartiges Verhalten mit wahrscheinlichkeitsähnlichen Amplituden zu zeigen, die nicht positiv sein können. und so ist es möglich, destruktive Interferenzen dieser Amplituden zu sehen.

Da es sich bei den als Wellen wirkenden Dingen um Wahrscheinlichkeiten handelt, kann der Frequenzraum, in dem sich das System entwickelt, exponentiell in Bezug auf die Anzahl der Partikel sein, die Sie in die Berechnung einbeziehen. Diese allgemeine Art von Phänomen ist notwendig, wenn Sie einen Vorteil gegenüber konventionellen Berechnungen erzielen möchten: Wenn der Frequenzraum polynomisch mit der Anzahl der Systeme skaliert wird und die Evolution selbst einer Wellengleichung folgt, sind die Hindernisse für die Simulation mit klassischen Computern leichter zu überwinden überwinden. Wenn Sie überlegen möchten, wie Sie ähnliche Rechenvorteile mit anderen Arten von Wellen erzielen können, müssen Sie sich fragen, wie Sie eine exponentielle Menge unterscheidbarer 'Frequenzen' oder 'Moden' in einen begrenzten Energieraum pressen wollen.

Praktisch gesehen handelt es sich schließlich um eine Frage der Fehlertoleranz. Ein weiterer Nebeneffekt des wellenartigen Verhaltens wahrscheinlichkeitsähnlicher Phänomene besteht darin, dass Sie eine Fehlerkorrektur durchführen können, indem Sie Paritäten oder allgemeiner Grobtrainings von Randverteilungen testen. Ohne diese Einrichtung wäre die Quantenberechnung im Wesentlichen auf eine Form der analogen Berechnung beschränkt, die für einige Zwecke nützlich ist, sich jedoch auf das Problem der Empfindlichkeit gegenüber Rauschen beschränkt. Wir haben noch keine fehlertolerante Quantenberechnung in gebauten Computersystemen, aber wir wissen, dass dies im Prinzip möglich ist und wir danach streben; Unklar ist hingegen, wie so etwas zum Beispiel mit Wasserwellen erreicht werden kann.

Einige von den anderen Antworten berühren auf dem gleichen Merkmal der Quantenmechanik: ‚Welle-Teilchen - Dualismus‘ ist eine Möglichkeit , die Tatsache zum Ausdruck , dass wir etwas probabilistischen über das Verhalten einzelner Partikel , die wie Wellen wirken, und Bemerkungen über die Skalierbarkeit / Daraus folgt das Exponential des Konfigurationsraums. Diesen etwas übergeordneten Beschreibungen liegt jedoch die Tatsache zugrunde, dass wir Quantenamplituden haben, die sich wie Elemente einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung verhalten, sich linear mit der Zeit entwickeln und akkumulieren, aber sowohl negativ als auch positiv sein können.

Was die Quantenwellenmechanik von der klassischen unterscheidet, ist die Tatsache, dass die Welle über einen Konfigurationsraum mit einer Vielzahl von Dimensionen definiert ist. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik (die für eine theoretische Diskussion des Quantenrechnens gut genug ist) wird ein System von spinlosen Punktpartikeln im 3D-Raum durch eine Welle in R 3 n beschrieben , die für n = 2 in der Klassik bereits kein Analogon hat Mechanik. Alle Quantenalgorithmen nutzen dies aus. Es kann möglich sein, die klassische Wellenmechanik zu nutzen, um bestimmte Berechnungen zu verbessern (analoges Rechnen), aber keine Quantenalgorithmen zu verwenden.$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

Ich behaupte nicht, eine vollständige Antwort zu haben (noch nicht! Ich hoffe, dies zu aktualisieren, da es ein interessantes Thema ist, das gut zu erklären). Aber lassen Sie mich mit ein paar klarstellenden Kommentaren beginnen ...

Aber wenn es wirklich nur eine konstruktive Interferenz komplizierter Zustände ist, warum nicht einfach diese Interferenz mit klassischen Wellen durchführen?

Die schlimme Antwort ist, dass es nicht nur eine Störung ist. Ich denke, es kommt wirklich darauf an, dass die Quantenmechanik andere Wahrscheinlichkeitsaxiome (Wahrscheinlichkeitsamplituden) als die klassische Physik verwendet und diese im Wellenszenario nicht reproduziert werden.

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

Dies könnte eine Möglichkeit sein, den Unterschied zu erkennen (oder zumindest in die richtige Richtung zu steuern). Es gibt eine Möglichkeit, eine auf Messungen basierende Quantenberechnung mit Klassen durchzuführen. Sie bereiten Ihr System in einem bestimmten Zustand vor (dem wir bereits zugestimmt haben, was wir mit unseren w-Bits tun könnten) und messen dann die verschiedenen Qubits. Ihre Wahl der Messbasis bestimmt die Berechnung. Aber wir können das hier nicht tun, weil wir nicht die Wahl der Basis haben.

Und in diesem Punkt, wenn es einfach darum geht, in wie wenigen Schritten etwas berechnet werden kann, warum nicht mit einem komplizierten dynamischen System beginnen, in das die gewünschte Berechnung eingebettet ist? (Warum also nicht einfach "analoge Simulatoren" für bestimmte Probleme erstellen?)

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

Regelmäßige Wellen können stören, aber nicht verwickelt werden.
Ein Beispiel für ein verwickeltes Qubit-Paar, das bei klassischen Wellen nicht auftreten kann, finden Sie im ersten Satz meiner Antwort auf diese Frage: Was ist der Unterschied zwischen einem Qubit-Satz und einem Kondensator mit einer unterteilten Platte?

Die Verschränkung wird als das entscheidende Merkmal angesehen, das Quantencomputern den Vorteil gegenüber klassischen Computern verleiht, da die Überlagerung allein durch einen probabilistischen klassischen Computer (dh einen klassischen Computer plus Münzwurf) simuliert werden kann.

"Warum nicht einfach diese Interferenz mit klassischen Wellen durchführen?"

Ja, auf diese Weise können wir Quantencomputer auf normalen Digitalcomputern simulieren. Wir simulieren die "Wellen" mit Gleitkomma-Arithmetik. Das Problem ist, dass es nicht skaliert. Jedes Qubit verdoppelt die Anzahl der Dimensionen. Für 30 Qubits benötigen Sie bereits ungefähr 8 Gigabyte RAM, um den "Wave" -Alias-Zustandsvektor zu speichern. Bei ungefähr 40 Qubits gehen uns die Computer aus, die groß genug sind, um dies zu tun.

Eine ähnliche Frage wurde hier gestellt: Was ist der Unterschied zwischen einem Qubit-Satz und einem Kondensator mit einer unterteilten Platte?