Wie implementiere ich eine exponentielle Matrix in einer Quantenschaltung?

Vielleicht ist es eine naive Frage, aber ich kann nicht herausfinden, wie man eine Matrix in einer Quantenschaltung tatsächlich potenziert. Unter der Annahme einer generischen quadratischen Matrix A kann ich die Reihe verwenden , wenn ich ihre Exponentialmatrix erhalten möchte $e^{A}$

e^{EIN} ≃ ich + EIN + \frac{{EIN}^{2}}{2!} + \frac{{EIN}^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Um seine Annäherung zu haben. Ich verstehe nicht, wie man dasselbe mit Quantengattern macht, und wende es dann zum Beispiel an, um eine Hamilton-Simulation durchzuführen. Etwas Hilfe?

— FSic
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Es ist nicht klar, ob es sich um eine Quantenschaltung handelt, die

als Ein- und Ausgang

oder eine Hamilton-Simulation verwendet (dh eine Schaltung baut, deren einheitliche Matrix mit

übereinstimmt ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

Mein Fehler; was ich meinte ist, eine Matrix A genommen, möchte ich seine exponentielle in meiner Schaltung haben,

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Neuformulierung Ihrer Frage:

Wie führe ich eine Hamilton-Simulation für eine generische quadratische Matrix ? $A$

Schnelle Antwort : Es ist nicht möglich.

Das Ziel der Hamiltonschen Simulation (HS) ist es, eine Quantenschaltung (dh eine Folge von Gattern) zu finden, die wie auf einen Quantenzustand wirkt . Hier muss einheitlich sein (aufgrund der Eigenschaften von Quantentoren) und daher muss auch einheitlich sein. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

Der HS-Algorithmus ist also nur auf Matrizen anwendbar, so dass einheitlich ist. Jede Einsiedlermatrix erfüllt diese Eigenschaft, aber nicht jede . Abhängig von Ihrem Problem kann diese Einschränkung ein Problem sein oder auch nicht, aber Sie können HS nicht verwenden, wenn nicht einheitlich ist. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

Zum Beispiel für den HHL - Algorithmus (die Verwendung HS von als Unterprogramm) mit einem System , wenn nicht einheitlich ist , dass Sie stattdessen das Problem betrachten kann lösen Sie es mit HHL (was jetzt möglich ist, weil die neue Matrix hermitisch ist) und stellen Sie . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C. y = (\begin{matrix} 0 & EIN \\ {EIN}^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

Die interessante Frage lautet nun:

$A$

$A$

Dies ist ein riesiges Forschungsthema und es gibt viel zu sagen. Ich werde hier nicht alle Methoden vorstellen, da sie ziemlich kompliziert sind und ich nicht alle verstanden habe. Hier ist eine Liste von Artikeln / Präsentationen, die sich auf HS beziehen und die für HS interessant sein können:

Simulation der Hamiltonschen Dynamik auf einem kleinen Quantencomputer : Folien über HS. Auch wenn es sich um eine Präsentation handelt, ist dies die vollständigste Quelle, die ich in Hamiltonian Simulation gefunden habe. Es werden schnell 3 verschiedene Methoden vorgestellt und interessante Artikel für jede Methode zitiert.
Vorlesungsunterlagen zu Quantenalgorithmen (Andrew M. Childs, 2017) : neu und ziemlich vollständig. HS wird in Kapitel 25 (Seite 123) behandelt.
Exponentielle Verbesserung der Präzision zur Simulation spärlicher Hamiltonianer : stellt im Detail eine der drei in 1 vorgestellten Methoden vor.
Effiziente Quantenalgorithmen zur Simulation spärlicher Hamiltonianer : stellt im Detail eine weitere der drei in 1 vorgestellten Methoden vor.

— Nelimee
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Vielen Dank, besonders für die Referenzen, ich werde sie mir ansehen!

— FSic

Ich empfehle Ihnen, mit der ersten Referenz zu beginnen. Es ist das vollständigste und es gibt einen Link zu anderen Artikeln. Für mich (aus persönlicher Sicht) ist die erste Technik mit der Trotter-Suzuki-Formel am verständlichsten. Aber für Sie ist es vielleicht nicht dasselbe!

— Nelimee

Jede Einsiedlermatrix erfüllt diese Eigenschaft :

— Insbesondere