Was ist die tatsächliche Leistung der Quantenphasenschätzung?

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Ich habe einige Verwirrung bezüglich des Konzepts der Phasenschätzung: Per Definition erlaubt die Phasenschätzung , wenn ein einheitlicher Operator $U$ und ein Eigenvektor mit verwandtem Eigenwert , das zu finden Wert von . Dies würde bedeuten , dass ich in der Lage wäre , einen Eigenwert einer bestimmten Matrix zu bestimmen gegeben , dass ich schon eine seiner Eigenvektoren wissen? Aber würde die Tatsache, dass vorher ein Eigenvektor benötigt wird, die Nützlichkeit der Phasenschätzung selbst nicht wesentlich verringern? $|u\rangle$ $\text{exp}(2\pi i \phi)$ $\phi$

algorithm speedup complexity-theory

— FSic
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Der Punkt ist, wenn ich bereits die Eigenvektoren eines bestimmten Operators habe, wozu sind dann die Eigenwerte eines solchen Operators? Ich habe wahrscheinlich einige Lücken, um den Prozess vollständig zu verstehen, aber ich stelle mir vor, dass es großartig wäre, wenn ich bei einer Matrix in der Lage wäre, ihre Eigenwerte schnell zu finden. Ich sagte "any", weil ich mich auch fragte, ob es eine Möglichkeit geben würde, irgendeine Art von Matrix in einer einheitlichen Version zu transponieren und dann ihre Eigenwerte zu finden, um beispielsweise ein damit verbundenes lineares Problem zu lösen. Ich weiß nicht, ob das, was ich sage, irgendeinen Sinn ergibt.

— FSic

Du kannst das machen. Es ist im Wesentlichen der Inhalt des sogenannten HHL-Algorithmus (Harrow, Hassidim und Lloyd), aber das entspricht nicht wirklich dem, was Ihre Frage stellt!

— DaftWullie

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Wenn Sie kein als Eingabe gibt es zwei mögliche Dinge , die Sie aussteigen wollen könnten: $|u\rangle$

Das für einen zufällig gewählten (aber unbekannten) Eigenzustand ; $\varphi$ $|u\rangle$
Sowohl als auch für einen oder mehr Eigenzustände. $\varphi$ $|u\rangle$

Schauen wir uns zunächst 1 an. Da Eigenzustände eine vollständige Basis bilden, kann jeder von Ihnen verwendete Eingabezustand als Überlagerung der Eigenzustände von interpretiert werden . Aufgrund der Linearität der Quantenmechanik würde der Algorithmus dann für alle diese Zustände gleichzeitig ausgeführt. Wenn Sie am Ende die Ausgabe messen, wird sie zufällig auf eine bestimmte Instanz reduziert. Dies bedeutet, dass Sie ein für einen zufällig ausgewählten Eigenzustand erhalten, aber nicht wissen, um welchen es sich handelt. Der vorhandene Phasenschätzungsalgorithmus kann uns daher die erste mögliche Anwendung liefern. $U$ $\varphi$

Die zweite Anwendung können wir mit der Standardphasenschätzung nicht machen, aber betrachten wir sie hypothetisch. Jeder Algorithmus, der dies tun könnte , wäre, geben Sie uns ein Eigenzustand als Teil der Ausgabe. Also, wenn Sie tatsächlich wissen wollen, was ist, dann würden Sie tun müssen , um Tomografie am Ausgang. Da die Tomographie ineffizient ist, gibt es wahrscheinlich bessere Möglichkeiten, dies zu tun. $|u\rangle$ $|u\rangle$

— James Wootton
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$f(x)$ $U$

U : | x ⟩ | y ⟩ \mapsto | x ⟩ | y \oplus f (x) ⟩

$U:|x\rangle|y\rangle\mapsto|x\rangle|y\oplus f(x)\rangle$

x \in {0, 1}^{n}

$x\in\{0,1\}^n$

y \in {0, 1}

$y\in\{0,1\}$

| x ⟩ (| 0 ⟩ \pm | 1 ⟩) / \sqrt{2},

$|x\rangle(|0\rangle\pm|1\rangle)/\sqrt{2},$

\pm 1

$\pm 1$

$|00\ldots 01\rangle$

— DaftWullie
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