Ist es möglich, den absoluten Wert einer bleibenden Karte mit Boson Sampling zu „berechnen“?

In Bosonen Abtastung , wenn wir mit 1 Photon in jedem der ersten, starten Modi eines Interferometers, die Wahrscheinlichkeit des Erfassens 1 Photon in jedem Ausgabemodus ist: , wobei die Säulen und Reihen von sind die ersten Spalten der einheitlichen Matrix des Interferometers und alle ihre Reihen. $M$ $|\textrm{Perm}(A)|^2$ $A$ $M$ $U$

Dies lässt es aussehen wie für jedes einheitliche , wir können das geeignete Interferometer konstruieren, die Matrix konstruieren und den absoluten Wert der bleibenden Zahl von berechnen, indem wir die Quadratwurzel der Wahrscheinlichkeit nehmen, ein Photon in jedem Modus zu detektieren (den wir verwenden) erhalten aus dem Boson Sampling Experiment). Ist das wahr oder gibt es einen Haken? Die Leute haben mir gesagt, dass man bei der Probenahme von Bosonen keine Informationen über eine bleibende Karte bekommen kann. $U$ $A$ $A$

Und was passiert mit den restlichen Spalten von : Wie genau hängt das experimentelle Ergebnis nur von den ersten Spalten von und all seinen Zeilen ab, aber überhaupt nicht von den anderen Spalten von ? Diese Spalten von beeinflussen das Ergebnis des Experiments in den ersten Modi überhaupt nicht. $U$ $M$ $U$ $U$ $U$ $M$

— user1271772
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Da Sie Photonics erstellt haben , ziehen Sie bitte in Betracht, den Tag-Auszug dafür zu schreiben. Geh hier hin . Vielen Dank.

— Sanchayan Dutta

Antworten:

Es scheint bis zu einem gewissen Punkt wahr zu sein. Wie ich Scott Aaronson des las Papier heißt es , dass , wenn Sie in jedem des ersten mit 1 Photon starten - Modi eines Interferometers, und die Wahrscheinlichkeit finden , dass ein Satzes Photonen Ausgang in jedem Modus sind wobei ist, Wenn Sie also für jede mögliche Ausgabe eine bestimmte Instanz mit oder 1 annehmen , dann ist die Wahrscheinlichkeit ja gleich der bleibenden Zahl von , wobei die ersten Spalten von $M$ $P_S$ $s_i$ $i\in\{1,\ldots, N\}$ $\sum_is_i=M$

P_{s} = \frac{| Per(A) |^{2}}{s_{1}! s_{2}! \dots s_{M}!} .

$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$

s_{i} = 0

$s_i=0$

A

$A$

A

$A$

M

$M$

U

$U$ und eine spezifische Untermenge von Zeilen, die durch die Orte spezifiziert sind . Das ist also nicht ganz so, wie in der Frage angegeben: Es sind nicht alle Zeilen, sondern nur einige Teilmengen, so dass eine quadratische Matrix ist, die den Bits entspricht, die das Experiment "sieht", dh den Eingabe- und Ausgabezeilen. Die Photonen nie bevöl etwas anderes, und so sind blind gegenüber den anderen Elementen der unitären Matrix .

M

$M$

s_{i} = 1

$s_i=1$

A

$A$

U

$U$

Dies sollte ziemlich offensichtlich sein. Lassen Sie uns sagen , dass ich einige haben Matrix . Wenn ich in einem Basiszustand beginne und dessen Produkt finde , dann sagt mir das Wissen , abgesehen von dem, was gesagt werden kann, sehr wenig über die Ausgänge und aus aus dem Wissen, dass einheitlich ist und daher Spalten und Zeilen orthonormal sind. $3\times 3$ $V$ $|0\rangle$ $V|0\rangle$ $V|1\rangle$ $V|2\rangle$ $V$

Das Problem, auf das man achten muss, ist die Genauigkeit: Sie führen dies einmal aus, und alles, was Sie erhalten, ist eine einzelne Stichprobe gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung . Sie führen dies einige Male aus und beginnen, Informationen über die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten aufzubauen. Sie führen dies oft genug durch und Sie können eine willkürlich genaue Antwort erhalten, aber wie viele sind genug? Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, wie Sie den Fehler in einer Schätzung eines Werts messen können . Sie können entweder einen additiven Fehler oder einen multiplikativen Fehler fordern . Da wir erwarten, dass eine typische Wahrscheinlichkeit in exponentiell klein sein wird $P_s$ $p$ $p\pm\epsilon$ $p(1\pm\epsilon)$ $n+m$ Der multiplikative Fehler erfordert eine weitaus größere Genauigkeit, die durch Abtastung nicht effizient erreicht werden kann. Andererseits kann die additive Fehlerannäherung erreicht werden.

Während ein multiplikativer Fehler normalerweise berechnet werden soll, kann der additive Fehler auch eine interessante Entität sein. Zum Beispiel bei der Auswertung des Jones-Polynoms .

Aaronson weist uns in der Zeit zurück, in der diese Verbindung zwischen der Probenahme durch Bosonen und der permanenten Probenahme erstmals hergestellt wurde:

Seit der Arbeit von Caianiello im Jahr 1953 (wenn nicht früher) ist bekannt, dass die Amplituden für Boson-Prozesse als die Permanenten von Matrizen geschrieben werden können. $n$ $n\times n$

Stattdessen ihr Hauptbeitrag

ist der Nachweis eines Zusammenhangs zwischen der Fähigkeit klassischer Computer, das ungefähre BosonSampling-Problem zu lösen, und ihrer Fähigkeit, das permanente zu approximieren

dh das Approximationsproblem zu verstehen, das mit z. B. endlicher Abtastung verbunden ist, und die Folgen der Komplexität von Berechnungen zu beschreiben: dass wir glauben, dass so etwas klassisch schwer zu bewerten ist.

— DaftWullie
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Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das sagen, aber es ist nicht wahr, dass durch effizientes Lösen von BosonSampling die Permanenten effizient abgeschätzt werden können. Dies würde bedeuten, dass Quantencomputer in der Lage sind, # P-schwierige Probleme zu lösen. Mit anderen Worten, Quantencomputer können die Ausgabe eines Bosonen-Samplers effizient simulieren , aber ihre Ausgabewahrscheinlichkeitsverteilung nicht effizient berechnen

— glS

@glS Nein, das ist genau das, was ich sage. Das Aaronson-Papier ist sehr vorsichtig, um dieses Problem zu unterscheiden, aber es macht die Aussage zur Rechenkomplexität sehr viel unübersichtlicher, weshalb ich es nicht angegeben habe.

— DaftWullie

@ DaftWullie sorry, jetzt bin ich verwirrt. Sind wir uns einig, dass die Entnahme von Bosonen keine effiziente Schätzung von bleibenden Werten ermöglicht? (Siehe z. B. unten in der linken Spalte auf Seite 6 von arxiv.org/pdf/1406.6767.pdf )

— glS

@gls Ich stimme zu, dass Sie dies nicht tun können, wenn Sie eine Schätzung der bleibenden Zahl mit einem multiplikativen Fehler wünschen, der zugegebenermaßen die Standardmethode für die Definition von Dingen ist (aber da ich sorgfältig darauf verzichtet habe, etwas zu definieren ...). Wenn Sie bereit sind, einen additiven Fehler zu tolerieren, dann können Sie das meines Erachtens auch.

— DaftWullie

„Wenn ich in einem gewissen Basiszustand beginnen

und zu finden sein Produkt,

, dann ist das zu wissen , sagt mir sehr wenig über die Ausgänge

und

“, aber jedes einzelne Element von

beteiligt ist indem ich dir

. Aber für die Boson-Abtastung sind nur die ersten

Spalten beteiligt, ist das nicht erstaunlich?

| 0 ⟩

$|0\rangle$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

V | 1 ⟩

$V|1\rangle$

V | 2 ⟩

$V|2\rangle$

V

$V$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

M

$M$

— user1271772

Sie können die absoluten Werte der Amplituden nicht effizient wiederherstellen. Wenn Sie jedoch beliebig viele Abtastwerte zulassen, können Sie diese mit einem beliebigen Genauigkeitsgrad abschätzen.

Genauer gesagt, wenn der Eingangszustand in jedem der ersten Modi ein einzelnes Photon ist und man bereit ist, eine beliebige Anzahl von Abtastwerten aus dem Ausgang zu ziehen, ist es prinzipiell möglich, die Dauer von auf einen beliebigen Grad abzuschätzen Genauigkeit, die man mag, indem man den Bruchteil der Male zählt, zu denen die Eingangsphotonen in den ersten verschiedenen Ausgängen austreten. Es ist jedoch anzumerken, dass dies nicht wirklich viel mit BosonSampling zu tun hat, da das Härteergebnis im Bereich der Anzahl der Moden viel größer ist als die Anzahl der Photonen, und es geht um die Effizienz der Probenahme. $n$ $A$ $n$ $n$

BosonSampling

Ich werde versuchen, eine sehr kurze Einführung in das Thema Boson Sampling zu geben, aber es sollte beachtet werden, dass ich möglicherweise keinen besseren Job als Aaronson selbst machen kann. Daher ist es wahrscheinlich eine gute Idee, einen Blick auf die zugehörigen Blog-Posts von ihm zu werfen (z. B. Blog /? p = 473 und Blog /? p = 1177 ) und Links darin.

BosonSampling ist ein Stichprobenproblem . Dies kann etwas verwirrend sein, da die Leute im Allgemeinen eher daran gewöhnt sind, an Probleme mit eindeutigen Antworten zu denken. Ein Stichprobenproblem unterscheidet sich darin, dass die Lösung des Problems eine Menge von Stichproben ist, die aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen wurden.

In der Tat ist das Problem, das ein Bosonen-Sampler löst, das des Samplings aus einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Insbesondere Stichproben aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebniszustände (Viele-Bosonen-Zustände).

Betrachten wir als einfaches Beispiel einen Fall mit zwei Photonen in 4 Modi, und lassen Sie uns sagen , dass wir den Eingangszustand zu beheben sein (dass ein einzelnes Photon in jedem der beiden ersten zwei Eingabemodi ist,). Wenn man die Ausgangszustände mit mehr als einem Photon in jedem Modus ignoriert, gibt es $(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ mögliche Zwei-Photonen-Ausgangszustände: und $\binom{4}{2}=6$ $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . LassenunsEinfachheit halber bezeichnen mit das te (also zum Beispiel ). Dann könnte eine mögliche Lösung für BosonSampling die Folge von Ergebnissen sein: $(0,0,1,1)$ $o_i, i=1,.,6$ $i$ $o_2=(1,0,1,0)$

o_{1}, o_{4}, o_{2}, o_{2}, o_{5} .

$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$

Um eine Analogie zu einem vielleicht bekannteren Fall zu erstellen, möchte man sagen, dass wir eine Stichprobe aus einer Gaußschen Wahrscheinlichkeitsverteilung ziehen wollen. Das heißt, wir wollen eine Folge von Zahlen finden, die, wenn wir genug davon zeichnen und sie in ein Histogramm einfügen, etwas ergeben, das einem Gaußschen ähnlich ist.

Permanente berechnen

Es zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines gegebenen Eingangszustands zu einem gegebenen Ausgangszustand ist (proportional zu) die permanent von einer geeigneten Matrix der unitären Matrix Charakterisieren der (single-Bosonen) evolution gebaut werden. $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

Genauer gesagt, wenn die Moduszuweisungsliste bezeichnet $\boldsymbol R$ verbunden mit,dass dieundist die unitäre Matrix der Entwicklung beschreibt, danndie Wahrscheinlichkeit Amplitudevon aus gehenzuist gegeben durch ${}^{(1)}$ $|\boldsymbol r\rangle$ $\boldsymbol S$ $|\boldsymbol s\rangle$ $U$ $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$ mitbezeichnet die Matrix, die gebildet wird, indem vondie durchangegebenen Zeilenund die durchangegebenen Spalten genommen werden.

A (r \to s) = \frac{1}{\sqrt{r! s!}} perm U [R | S],

$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$

U [R | S]

$U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$

U

$U$

R

$\boldsymbol R$

S

$\boldsymbol S$

Unter Berücksichtigung des festen Eingangszustands wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebnisse durch die Wahrscheinlichkeiten gegeben $|\boldsymbol r_0\rangle$

p_{s} = \frac{1}{r_{0}! s!} | perm U [R | S] |^{2} .

$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$

BosonSampling ist das Problem des Zeichnens von "Punkten" gemäß dieser Verteilung.

Dies ist nicht das gleiche wie die Wahrscheinlichkeiten Berechnung $p_s$ oder sogarBerechnung des bleib selbst. Tatsächlich ist es schwierig , die Permanenten komplexer Matrizen zu berechnen , und es wird nicht einmal von Quantencomputern erwartet, dass sie dies effizient können.

Der Kern der Sache ist, dass das Abtasten aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung im Allgemeinen einfacher ist als das Berechnen der Verteilung selbst . Während eine naive Möglichkeit zum Abtasten aus einer Verteilung darin besteht, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen (falls nicht bereits bekannt) und diese zum Zeichnen der Punkte zu verwenden, gibt es möglicherweise intelligentere Möglichkeiten, dies zu tun. Ein Bosonen-Sampler ist etwas, das in der Lage ist, Punkte gemäß einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung zu zeichnen, obwohl die Wahrscheinlichkeiten, aus denen sich die Verteilung selbst zusammensetzt, nicht bekannt sind (oder besser gesagt, nicht effizient berechenbar sind).

$\binom{m}{n}$ $n$ $m$ $m\gg n$ $n$

In einigen besonderen Fällen ist es möglich, die Dauerhaftigkeit von Matrizen unter Verwendung einer Boson-Probenahmeeinrichtung effizient abzuschätzen. Dies ist nur möglich, wenn einer der Teilmatrizen eine große (dh nicht exponentiell kleine) Dauer zugeordnet ist, so dass das damit verbundene Eingabe-Ausgabe-Paar häufig genug auftritt, damit eine Schätzung in der Polynomzeit möglich ist. Dies ist eine sehr untypische Situation und tritt nicht auf, wenn Sie nach dem Zufallsprinzip unitaries ziehen. Betrachten Sie als triviales Beispiel Matrizen, die der Identität sehr nahe kommen - das Ereignis, bei dem alle Photonen in den gleichen Modi austreten, in denen sie eintreten, entspricht einer bleibenden Zahl, die experimentell geschätzt werden kann. Abgesehen davon, dass es nur für bestimmte Matrizen möglich ist, ${}^{(2)}$

Spalten beteiligt

$U$ $k$ $k$ $U$

$U$ $\varphi_n(U)$ $U$

$n$ $n$ $U$

$(1, 0, 1, 0)$ $(1, 3)$

(2): S. Aaronson und T. Hance. "Verallgemeinern und Derandomisieren von Gurvits Näherungsalgorithmus für das Permanente". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/

— glS
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M

$M$

U

$U$

| Perm (U) |^{2}

$|\textrm{Perm}(U)|^2$

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ ?

— user1271772

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$

@ user1271772 Ich verstehe. Dies ist die Standardmethode, um über diese Dinge in diesem Kontext zu sprechen. Ich hätte also automatisch annehmen können, dass Sie über Effizienz sprechen wollten. Wenn Sie sich nicht um die Anzahl der Stichproben kümmern, die Sie ziehen müssen, können Sie die Verteilung der Ausgabewahrscheinlichkeit und damit die absoluten Werte der bleibenden Werte mit einer von Ihnen

— gewünschten

O (m 2^{n} + m n^{2})

$\mathcal{O}\left(m2^n + mn^2\right)$

n

$n$

m

$m$

@ user1271772 Ich habe Ihren ersten Punkt in der Bearbeitung genauer beantwortet. Ich glaube , ich habe verwirrt , weil die Einstellung , die Sie nicht sind erwähnens scheinen wirklich viel zu haben , mit Boson Probenahme zu tun, ist aber im Allgemeinen über die Dynamik nicht zu unterscheiden Bosonen durch ein Interferometer

— GLS