Ist es nicht erlaubt, mit einer positiven Karte auf einen Zustand zu reagieren, der nicht Teil eines größeren Systems ist?

In den Kommentaren zu einer Frage, die ich kürzlich gestellt habe, gibt es eine Diskussion zwischen user1271772 und mir über positive Operatoren.

Ich weiß, dass für einen positiven spurerhaltenden Operator (z. B. die partielle Transponierung), wenn er auf einen gemischten Zustand einwirkt, obwohl eine gültige Dichtematrix ist, die Dichtematrix des Systems, das es ist, durcheinander gebracht wird verwickelt in - daher ist dies kein gültiger Operator. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Dies und die Kommentare von user1271772 haben mich jedoch zum Nachdenken gebracht. , das auf einen Zustand einwirkt, der nicht Teil eines größeren Systems ist, ergibt tatsächlich eine gültige Dichtematrix, und es gibt kein zugehöriges verschränktes System, um es zu vermasseln. $\Lambda$

Meine Frage lautet daher: Ist eine solche Operation zulässig (dh die Wirkung einer positiven Karte auf einen Zustand, der nicht Teil eines größeren Systems ist)? Wenn nicht, warum nicht? Und wenn ja, ist es wahr, dass jede positive Karte zu einer vollständig positiven Karte erweitert werden kann (möglicherweise nicht trivial)?

— Quantenspaghettifizierung
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In Bezug auf den letzten Satz der Frage kann es hilfreich sein zu bemerken, dass jede lineare Karte von quadratischen Matrizen zu quadratischen Matrizen, unabhängig davon, ob sie positiv oder vollständig positiv ist, eindeutig durch ihre Wirkung auf reine Zustandsdichtematrizen bestimmt wird (einfach weil die reine Zustandsdichtematrizen überspannen den Raum aller Matrizen). Es gibt also keine Möglichkeit, eine solche Karte zu "erweitern", um sie vollständig positiv zu machen, ohne ihre Wirkung auf reine Zustände zu ändern.

Λ

$\Lambda$

— John Watrous

Warum würde die partielle Transponierung, die auf einen reinen Zustand einwirkt, eine gültige Dichtematrix ergeben? Oder meinst du nur "auf einen Staat einwirken, der nicht Teil eines größeren Systems ist"? (Ersteres scheint keinen Sinn zu ergeben - jede Karte ist in gemischten Zuständen "positiver" als in reinen Zuständen. Letzteres wird einfach als "positive Karte" bezeichnet.)

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch Ich meine "auf einen Zustand einwirken, der nicht Teil eines größeren Systems ist" - ist dies nicht ein und dasselbe wie ein reiner Zustand?

— Quantenspaghettifizierung

@Quantumspaghettification Nein. (Nun, es ist ein bisschen Glaubenssache, aber die Art und Weise, wie es formuliert ist, ist in Bezug auf die übliche Sprache sehr irreführend. Ich musste es mehrmals lesen, um zu erraten, was Sie meinen. Ich würde vorschlagen formulieren Sie es entsprechend um.

— Norbert Schuch

@Quantumspaghettification: Ein reiner Zustand. Andernfalls (dh der Rang von ist ): gemischter Zustand. Bei beiden ergibt die Transponierung ein positives . Nur wenn wir auf einen größeren Zustand anwenden (sei es rein oder gemischt), erhalten wir einen nicht-postiven Zustand.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

— Norbert Schuch

Antworten:

Eine Karte, die nicht vollständig positiv ist, Trace Preserving (CPTP), ist in der Quantenmechanik nicht als "zulässige Operation" (eine mehr oder weniger vollständige Darstellung der Transformation einiger Systeme) möglich, unabhängig davon, für welche Zustände sie bestimmt ist wirken auf.

Die Einschränkung, dass Karten CPTP sind, kommt von der Physik selbst. Physikalische Transformationen in geschlossenen Systemen sind aufgrund der Schrödinger-Gleichung einheitlich. Wenn wir die Möglichkeit zulassen, Hilfssysteme einzuführen oder Hilfssysteme zu ignorieren / zu verlieren, erhalten wir eine allgemeinere CPTP-Karte, ausgedrückt als Stinespring-Dilatation. Darüber hinaus müssen wir Karten berücksichtigen, die möglicherweise nur mit einer signifikanten Ausfallwahrscheinlichkeit auftreten (wie bei der Nachauswahl). Dies ist vielleicht eine Möglichkeit, eine "Erweiterung" für Nicht-CPTP-Karten zu CPTP-Karten zu beschreiben - sie so zu konstruieren, dass sie mit einiger Wahrscheinlichkeit als provokativ und mit möglicherweise größerer Wahrscheinlichkeit als uninteressant beschrieben werden kann.

Auf einer höheren Ebene - während wir Verschränkung als ein seltsames Phänomen betrachten können und in gewisser Weise speziell für die Quantenmechanik sind, unterscheiden die Gesetze der Quantenmechanik selbst nicht zwischen verschränkten Zuständen und Produktzuständen. Es gibt keinen Sinn, in dem die Quantenmechanik empfindlich oder empfindlich gegenüber dem bloßen Vorhandensein nichtlokaler Korrelationen ist (die Korrelationen in Dingen sind, die wir sindbefassen sich mit), was eine Transformation von verschränkten Zuständen unmöglich machen würde, nur weil dies zu einem peinlichen Ergebnis führen könnte. Entweder ist ein Prozess unmöglich - und insbesondere bei Produktzuständen nicht möglich - oder es ist möglich, und jede Verlegenheit über das Ergebnis für verschränkte Zustände ist unsere eigene, da es schwierig ist zu verstehen, was passiert ist. Das Besondere an der Verschränkung ist die Art und Weise, wie sie unsere klassisch motivierten Vorurteile in Frage stellt und nicht, wie sich die verschränkten Zustände selbst im Laufe der Zeit entwickeln.

— Niel de Beaudrap
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Welches physikalische Gesetz verlangt, dass sich Subsysteme des Universums auf diese Weise entwickeln müssen? Wenn wir nur annehmen, dass sich das Universum gemäß der Schrödinger-Gleichung entwickelt, können wir dann beweisen, dass sich alle Subsysteme auf CPTP-Weise entwickeln müssen? Ich habe noch nie einen solchen Beweis gesehen, und andere sind sich einig: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . Ich habe die Frage hier gestellt: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

— user1271772

Nach mehr Lektüre habe ich ein Gegenbeispiel zu Ihrer Behauptung gefunden, dass Dynamik CPTP sein muss. Wenn die anfängliche Dichtematrix durch Gl. 6 von sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , und der Hamilton-Operator wird in demselben Absatz angegeben. führt zu einer "Gesamt" in der die Subsystem-Dichtematrix ist nicht einmal positiv. Die Schlüsselidee ist, dass das System und sein Bad bereits zum Zeitpunkt verwickelt sind . Ich glaube, Sie müssen bei keine Verstrickung zwischen System und Bad annehmen , um CPTP auf Chois oder Alickis Art zu erzwingen.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

— user1271772

@ user1261772: Wenn Sie keine Verstrickung zwischen System und Bad annehmen dürfen, inwiefern ist es dann überhaupt sinnvoll, eine Karte nur auf dem System zu betrachten? Die bereits bestehende Verstrickung macht einen Unsinn aus der Idee, dass wir sogar versuchen, einen "mehr oder weniger vollständigen Bericht" über die Entwicklung des Systems zu liefern. Und --- schließlich --- wenn der Subsystemoperator nicht einmal positiv ist, wie um alles in der Welt interpretieren wir die Möglichkeit, negative Wahrscheinlichkeiten (oder übernormierte Wahrscheinlichkeiten) einiger Eigenzustände zu erhalten?

— Niel de Beaudrap

"Dies ist vielleicht eine Möglichkeit, eine" Erweiterung "für Nicht-CPTP-Karten zu CPTP-Karten zu beschreiben - sie so zu konstruieren, dass sie mit einiger Wahrscheinlichkeit als provokativ und mit möglicherweise größerer Wahrscheinlichkeit als uninteressant beschrieben werden kann" - haben Sie ein Beispiel dafür? Es scheint mir, dass dies mit einiger Wahrscheinlichkeit zu einer nicht positiven Ausgabe führen würde, die nicht sein kann.

— Norbert Schuch

@Neil: Ich habe nie gesagt, dass du keine Verstrickung zwischen System und Bad annehmen darfst. Das Papier sagte, dass die Argumente, die Choi und Alicki für CPTP-Karten vorbrachten, beide keine anfängliche Korrelation annahmen, und gab dann ein Beispiel dafür, wie ein OQS, das anfänglich mit seinem Bad korreliert, eine nicht positive Entwicklung haben kann, wenn das System + Bad unter Verwendung von entwickelt wird und dann wird das Bad nachgezeichnet. Sie sagen, dass die Idee der Vorverschränkung "Unsinn" ist, aber wenn Sie nach "anfänglichen Korrelationen" suchen, finden Sie eine große Menge an Literatur zu OQSs, die anfänglich mit ihren Bädern korreliert sind.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

— user1271772

Die Situation nicht vollständig positiver Karten (oder allgemeiner nichtlinearer Karten) ist teilweise aufgrund der genauen Definition der Art und Weise, wie Sie die Karte erstellen sollten, umstritten . Es ist jedoch einfach, ein Beispiel für etwas zu finden, das NCP oder gar nicht linear zu sein scheint.

Nichtlineare Karte.

Betrachten wir eine Vorbereitungseinrichtung , die ein Qubit in einem beliebigen Zustand schaffen können (Dieses Gerät hat 3 wählt). Nun lassen Sie dieses Gerät so konstruiert sein, dass es auch einen zweiten Zustand bereitet in der Umwelt. Das heißt, Sie denken, Sie haben einen Ein-Qubit-Zustand vorbereitet, aber tatsächlich haben Sie einen Zwei-Qubit-Zustand vorbereitet . Das zweite Qubit ist die Umgebung (auf die Sie nicht zugreifen können). Wenn Sie also eine Tomographie an Ihrem Qubit durchführen, scheint alles in Ordnung zu sein. $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

Stellen Sie sich nicht vor, dass Sie auch die folgende Blackbox haben - sie hat (soweit Sie das beurteilen können) einen Eingang und zwei Ausgänge. In Wirklichkeit (Ihnen unbekannt) hat es zwei Eingänge und zwei Ausgänge und spuckt einfach sowohl das System-Qubit als auch das Umgebungs-Qubit aus. Soweit Sie sehen können, handelt es sich bei dieser Black Box um eine Klonmaschine, die gegen die Linearität verstößt.

Ähnlich wie oben, aber das Vorbereitungsgerät bereitet (dies könnte natürlich im Labor erfolgen). Die Black Box ist jetzt eine One-Rail-Box (ein Qubit-Eingang, ein Qubit-Ausgang für den Benutzer), die das System und die Umgebung austauscht. Für Sie scheint es eine Transpositionskarte zu sein. $\rho\otimes\rho^T$

Beachten Sie, dass beide Vorbereitungsgeräte physisch sind. Die Art und Weise, wie Sie die Karte erstellen, hängt jedoch möglicherweise davon ab, wie Sie sie verwenden. In dem obigen Beispiel I angenommen , dass ein Mischzustand würde nur durch die Verwendung der drei Zifferblätter in der Maschine aufgebaut sein. Im Prinzip könnte ich versuchen, einen gemischten Zustand zu konstruieren, indem ich Münzen umwerfe und reine Zustände mit der richtigen Wahrscheinlichkeit vorbereite. Tomorgraphy würde zeigen, dass die Prozesse gleichwertig sind, aber die Umgebung wäre anders, und die Karte, die Sie für die Black Boxes erstellen würden, wäre anders. $\rho$

— Aharon Brodutch
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-3

Kein Gesetz der Physik besagt, dass wir in der Lage sein müssen, ein Teilsystem des Universums selbst zu entwickeln.

Es gäbe keine Möglichkeit, ein solches Gesetz endgültig zu prüfen.

Die Dichtematrix des Universums muss eine Spur von 1 haben und nach der mathematischen Definition der Wahrscheinlichkeiten ¹ positiv semidefinit sein . Jede Änderung im Universum muss ¹ erhält diese, aus mathematischen Gründen und aufgrund von Definitionen. Wenn , haben Sie einfach nicht das gesamte Universum in . Wenn es mehr als 1 ist oder wenn , ist das, was Sie haben, nach der Definition von Wahrscheinlichkeit ¹ keine Dichtematrix . $\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

Die Karte: muss also ¹ positiv und spurerhaltend sein. $\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Der Einfachheit halber modellieren wir gerne Unterregionen des Universums und führen dafür eine vollständige Positivität ein. Aber eines Tages könnte ein Experiment folgen, das wir unmöglich erklären können ² , vielleicht weil wir uns entschieden haben, das Universum auf eine Weise zu modellieren, die nicht mit der tatsächlichen Funktionsweise des Universums vereinbar ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Schwerkraft nicht existiert und wir alles, was wir wollen, auf magische Weise berechnen können, glauben wir, dass sich Verwendung der richtigen positiven Karte zur Erhaltung der Spuren entwickelt und dann eine Teilspur über alle Teile der Karte erstellt Universum nicht von Belang, wird genaue Vorhersagen geben. Wir glauben auch, dass die Einführung des Begriffs der Modellierung nur eines Teilsystems von mithilfe einer CPT-Karte funktionieren wird, aber wir könnten etwas weniger darauf wetten , da wir die Annahme hinzugefügt haben dass Teilsysteme entwickeln auf diese Weise nicht nur das Universum als Ganzes. $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$

1 : Auch dies ist umstritten, da die Beziehung zwischen einer Wellenfunktion oder Dichtematrix und Wahrscheinlichkeiten aus einem Postulat der Quantenmechanik namens Born-Regel stammt, das bis vor weniger als 10 Jahren überhaupt nicht getestet wurde und nur noch bestätigt wurde wahr innerhalb einesund für ein bestimmtes System: Wenn Borns Regel nicht wahr ist, ist Gl. 6 davon wäre nicht Null. Um zu testen, ob Borns Regel für eine bestimmte gilt

ϵ

$\epsilon$ System (in diesem Fall Photonen, die von einer bestimmten Quelle stammen), müssten Sie eine unendliche Anzahl von Instanzen aller 7 dieser Experimente durchführen oder einen anderen Weg finden, um Borns Regel zu testen (und ich weiß es nicht von jedem). Im Jahr 2009 veröffentlichten wir diese Aussage, dass Borns Regel (für dieses System) innerhalb eines wahr war, das kleiner als die experimentelle Unsicherheit war, sodass wir nur wissen, dass Borns Regel für dieses System gilt und innerhalb einer durch das Experiment begrenzten Genauigkeit .

ϵ

$\epsilon$

2 : Dies ist tatsächlich bereits der Fall, aber tun wir so, als ob die Schwerkraft nicht existiert und die Quantenmechanik (QED + QFD + QCD) korrekt ist, und wir finden es immer noch unmöglich, etwas zu erklären, obwohl wir (irgendwie) magische Computerleistung haben Berechnen Sie sofort alles, was wir wollen.

— user1271772
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Sie sprechen Feldtheorien an, und dort ist der Begriff der Spuren viel subtiler. Aber es war unnötig für die Frage. Keine Notwendigkeit, etwas wie zu sagen

T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

— AHusain

@AHusain: Die Frage betraf Spuren bewahrende Karten, die die Spur betreffen. Die Frage richtete sich an mich. Lassen Sie mich entscheiden, wie ich die Frage beantworten möchte.

— user1271772

Ich wollte nur darauf hinweisen, dass endliche und unendlich dimensionale Hilbert-Räume einige wesentliche Unterschiede aufweisen. Staaten auf verschiedenen Arten von VonNeumann-Algebren. Das ist alles.

— AHusain

@AHusain: Okay. Der Hilbert-Raum eines einzelnen Teilchens kann auch unzählig unendlich dimensional sein, so dass diese wesentlichen Unterschiede nicht nur für . Der Punkt, den ich in meiner Antwort ansprechen wollte, war jedenfalls, dass die Quantenmechanik (QED + QFD + QCD) erfordert, dass sich auf eine Weise entwickelt, die Spuren und Positivität bewahrt (unter der Annahme, dass das Axiom der Bornschen Regel vorliegt wahr). Bedeutet dies, dass sich alle Subsysteme des Universums durch eine CPT-Karte entwickeln müssen? Ich habe noch nie einen Beweis dafür gesehen.

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

— user1271772

Wenn Sie eine Antwort ablehnen, deren Schreiben und Formatieren einen ganzen Morgen (vielleicht 3-4 Stunden?) Dauerte, wäre es nicht fair zu erklären, was Ihnen daran nicht gefallen hat?

— user1271772