Wofür steht die Quantenfehlerkorrektur-Code-Notation?

Ich verstehe die Notation für klassische Fehlerkorrekturcodes. Beispielsweise steht " Hamming (7,4) " für einen Hamming-Code, der 7 Bits verwendet, um Blöcke mit 4 Bits zu codieren.

Was bedeutet die Notation für Quantenfehlerkorrekturcodes? Zum Beispiel gibt es ein Papier , das sich mit einem [[4,2,2]] - Code befasst. Was sind diese drei Zahlen? Wofür stehen doppelte Klammern?

Ein Code ist ein Quantenfehlerkorrekturcode, der k Qubits in einem n- Qubit-Zustand so codiert, dass jede Operation, die einen codierten Zustand einem anderen codierten Zustand zuordnet, auf mindestens d Qubitseinwirken muss. (So ​​kann beispielsweise jeder codierte Zustand, der einem Fehler ausgesetzt wurde, der aus höchstens ⌊ ( d - 1 ) / 2 ⌋ Pauli-Operationen besteht, im Prinzip perfekt wiederhergestellt werden.)$[\![n,k,d]\!]$$k$$n$$d$$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$

Diese Notation verallgemeinert die Notation für klassische Fehlerkorrekturcodes, bei denen k- Bit "Klartext" -Strings in n- Bit "Codeword" -Strings so codiert sind , dass mindestens d Bits umgedreht werden müssen zwischen zwei beliebigen Codewörtern zu transformieren, die unterschiedliche Klartexte darstellen. (In diesem Zusammenhang und im Quantenfall wird d als Codeabstand bezeichnet .) Die doppelten Klammern werden lediglich verwendet, um anzuzeigen, dass der Code, auf den Bezug genommen wird, eher ein Quantenfehlerkorrekturcode als ein klassischer Code ist.$[n,k,d]$$k$$n$$d$$d$

Einen Code nehmen:$\left[\left[n, k, d\right]\right]$

Das klassische Äquivalent dazu ist ein -Code, der sich auf die Anzahl der Bits bezieht, n , die k Bits codieren . Die dritte Zahl d ist die minimale Hamming-Distanz zwischen zwei beliebigen Codewörtern. Dies ist gleich dem minimalen Hamming-Gewicht (dh der Anzahl von Nicht-Null-Bits) von Nicht-Null-Codewörtern.$\left[n, k, d\right]$$n$$k$$d$

Wie im klassischen Fall beziehen sich die ersten beiden Zahlen im Quantenfall auf die Anzahl der Qubits , die k Qubits codieren . d wird immer noch verwendet, um sich auf die Entfernung zu beziehen, aber die Definition der Entfernung muss geändert werden.$n$$k$$d$

$t$$E_a$$\left(X, Y \text{ or } Z\right)$$E_1 = X\otimes I\otimes I\otimes Z\otimes I$$E_1$$t=2$$\left<j\vert E_a\vert i\right>\neq C_a\delta_{ji}$$C_a$$i$$j$

Weitere Einzelheiten finden Sie beispielsweise in Kapitel 7 der Preskill-Anmerkungen zur Quantenberechnung .