Was ist Quantenverschränkung und welche Rolle spielt sie bei der Quantenfehlerkorrektur?

11

Ich möchte verstehen, was Quantenverschränkung ist und welche Rolle sie bei der Quantenfehlerkorrektur spielt.

HINWEIS : Richtet sich nach den Vorschlägen von @JamesWootton und @NielDeBeaudrap, ich habe eine andere Frage für die klassische Analogie fragte hier .

entanglement error-correction

— Chinni
quelle

3

Ich würde argumentieren, dass dies etwas zu weit gefasst ist, als gefragt. Vielleicht eher so etwas wie "Warum ist eine Verschränkung für die Quantenfehlerkorrektur erforderlich?" Und eine separate Frage für die klassische Analogie.

— James Wootton

1

Ich habe mich auf eine Frage beschränkt und dann festgestellt, dass meine Antwort eher der von Pyramiden entspricht. Aber @Chinni, ich stimme James zu, dass Sie sich auf eine der beiden Fragen konzentrieren sollten.

— Niel de Beaudrap

@ JamesWootton und Niel, vielen Dank für den Rat. Ich werde das von jetzt an berücksichtigen. Aber da es bereits drei Antworten auf diese Frage gibt, ist es in Ordnung, wenn ich sie in zwei separate Fragen aufteile?

— Chinni

@Chinni Ich denke es ist in Ordnung. Vielleicht sollten Sie den Antwortenden in den Kommentaren unter ihrer Antwort mitteilen, dass sie auch ihre Antwort "aufteilen" können (falls zutreffend).

— Diskrete Eidechse

6

Klassische Korrelationen zwischen Variablen treten auf, wenn die Variablen zufällig erscheinen , deren Werte jedoch systematisch in irgendeiner Weise übereinstimmen (oder nicht übereinstimmen). Es wird jedoch immer jemanden (oder etwas) geben, der genau weiß, was die Variablen in einem bestimmten Fall tun.

Die Verschränkung zwischen Variablen ist bis auf den letzten Teil gleich. Die Zufälligkeit ist wirklich zufällig. Zufällige Ergebnisse sind bis zum Zeitpunkt der Messung völlig unentschieden. Aber irgendwie stimmen die Variablen, obwohl sie durch Galaxien getrennt sein können, immer noch überein.

Was bedeutet das für die Fehlerkorrektur? Lassen Sie uns zunächst ein wenig über die Fehlerkorrektur nachdenken .

Wenn Sie ein klassisches Bit speichern, müssen Sie sich über Fehler wie Bitflips und Löschungen Gedanken machen. Etwas könnte dich also 0zu einem machen 1oder umgekehrt. Oder dein Stück könnte irgendwo abwandern.

Um die Informationen zu schützen, können wir sicherstellen, dass unsere logischen Bits (die tatsächlichen Informationen, die wir speichern möchten) nicht nur auf einzelne physische Bits konzentriert sind . Stattdessen verbreiten wir es. So könnten wir beispielsweise eine einfache Wiederholungscodierung verwenden, bei der wir unsere Informationen über viele physikalische Bits kopieren. Auf diese Weise können wir unsere Informationen auch dann weitergeben, wenn einige der physischen Bits ausgefallen sind.

Dies ist die grundlegende Aufgabe der Fehlerkorrektur: Wir verbreiten unsere Informationen, um es Fehlern zu erschweren, sie durcheinander zu bringen.

Bei Qubits gibt es weitere Arten von Fehlern, über die Sie sich Sorgen machen müssen. Beispielsweise wissen Sie möglicherweise, dass sich Qubits in Überlagerungszuständen befinden können und dass Messungen diese ändern. Unerwünschte Messungen sind daher eine weitere Geräuschquelle, die durch die Interaktion der Umgebung (und damit in gewissem Sinne durch das Betrachten unserer Qubits) verursacht wird. Diese Art von Rauschen wird als Dekohärenz bezeichnet.

Wie wirkt sich das auf die Dinge aus? Angenommen, wir verwenden die Wiederholungscodierung mit Qubits. Also ersetzen wir die in unserem gewünschten logischen Qubit Zustand mit , wiederholt über viele physikalische Qubits, und ersetzen Sie die mit . Dies schützt wiederum vor Bitflips und Löschungen, macht es jedoch für Streumessungen noch einfacher. Jetzt misst die Umwelt, ob wir oder durch auf jeder viele Qubits suchen. Dies wird den Effekt der Dekohärenz viel stärker machen, was wir überhaupt nicht wollten! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Um dies zu beheben, müssen wir es der Dekohärenz schwer machen, unsere logischen Qubit-Informationen zu stören, genauso wie wir es den Bit-Flips und Löschungen schwer gemacht haben. Dazu müssen wir es schwieriger machen, unser logisches Qubit zu messen. Natürlich nicht zu schwer, dass wir es nicht tun können, wann immer wir wollen, aber zu schwer für die Umwelt, um es einfach zu machen. Dies bedeutet, dass die Messung eines einzelnen physischen Qubits nichts über das logische Qubit aussagt. Tatsächlich müssen wir dafür sorgen, dass eine ganze Reihe von Qubits gemessen und ihre Ergebnisse verglichen werden müssen, um Informationen über das Qubit zu extrahieren. In gewissem Sinne handelt es sich um eine Form der Verschlüsselung. Sie benötigen genügend Puzzleteile, um eine Vorstellung davon zu haben, was das Bild ist.

Wir könnten versuchen, dies klassisch zu tun. Informationen könnten in komplexen Korrelationen zwischen vielen Bits verteilt werden. Indem wir uns genügend Bits ansehen und die Korrelationen analysieren, können wir einige Informationen über das logische Bit extrahieren.

Dies wäre jedoch nicht der einzige Weg, um diese Informationen zu erhalten. Wie ich bereits erwähnt habe, gibt es klassisch immer jemanden oder etwas, der bereits alles weiß. Es spielt keine Rolle, ob es sich um eine Person handelt oder nur um die Muster in der Luft, die bei der Verschlüsselung verursacht wurden. In jedem Fall existieren die Informationen außerhalb unserer Codierung, und dies ist im Wesentlichen eine Umgebung, die alles weiß. Seine Existenz bedeutet, dass Dekohärenz in irreparablem Maße aufgetreten ist.

Deshalb brauchen wir Verstrickungen. Damit können wir die Informationen mithilfe von Korrelationen in den wahren und nicht erkennbaren zufälligen Ergebnissen von Quantenvariablen verbergen.

— James Wootton
quelle

5

Die Verschränkung ist ein natürlicher Bestandteil der Quanteninformation und der Quantenberechnung. Wenn es nicht vorhanden ist - wenn Sie versuchen, Dinge so zu tun, dass keine Verschränkung auftritt -, profitieren Sie nicht von der Quantenberechnung. Und wenn ein Quantencomputer etwas Interessantes tut, führt dies zumindest als Nebeneffekt zu einer starken Verstrickung.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass Verschränkung "das ist, was Quantencomputer zum Laufen bringt". Verschränkung ist wie das Drehen von Zahnrädern einer Maschine: Nichts passiert, wenn sie sich nicht drehen, aber das bedeutet nicht, dass das schnelle Drehen dieser Zahnräder ausreicht, um die Maschine dazu zu bringen, das zu tun, was Sie wollen. (Verschränkung ist auf diese Weise eine primitive Ressource für die Kommunikation , aber nicht für die Berechnung, soweit jemand dies gesehen hat.)

Dies gilt für die Quantenfehlerkorrektur ebenso wie für die Berechnung. Wie alle Formen der Fehlerkorrektur funktioniert die Quantenfehlerkorrektur, indem Informationen in einem größeren System verteilt werden, insbesondere in den Korrelationen bestimmter messbarer Informationen. Verschränkung ist nur die übliche Art und Weise, in der Quantensysteme korreliert werden. Daher sollte es nicht überraschen, dass ein guter Quantenfehlerkorrekturcode dann viel Verschränkung beinhaltet. Dies bedeutet jedoch nicht, dass der Versuch, "Ihr System voller Verstrickungen zu pumpen", wie eine Art Heliumballon, nützlich oder sinnvoll ist, um Quanteninformationen zu schützen.

Während die Quantenfehlerkorrektur manchmal vage in Bezug auf die Verschränkung beschrieben wird, ist es wichtiger, wie Paritätsprüfungen unter Verwendung verschiedener "Observablen" durchgeführt werden. Das wichtigste Instrument zur Beschreibung ist der Stabilisatorformalismus. Der Stabilisatorformalismus kann verwendet werden, um einige Zustände mit großen Verschränkungsgraden zu beschreiben. Noch wichtiger ist jedoch, dass Sie relativ leicht über Multi-Qubit-Eigenschaften ("Observable") nachdenken können. Aus dieser Perspektive kann man verstehen, dass die Quantenfehlerkorrektur viel enger mit der energiearmen Vielkörperphysik von Spin-Hamiltonianern zusammenhängt als nur mit der Verschränkung im Allgemeinen.

— Niel de Beaudrap
quelle

4

Es gibt kein klassisches Äquivalent zur Verschränkung. Verschränkung lässt sich vielleicht am besten mit der Dirac-Notation (Bra-Ket) verstehen.

Es ist unwichtig, dass sich in diesem Beispiel die verschränkten Qubits in entgegengesetzten Zuständen befinden: Sie können sich genauso gut im selben Zustand befinden und immer noch verwickelt sein. Was zählt ist, dass ihre Staaten nicht unabhängig voneinander sind. Dies hat den Physikern große Kopfschmerzen bereitet, da Qubits (oder die sie tragenden Teilchen) nicht gleichzeitig streng lokale Eigenschaften haben können und von einem Konzept namens Realismus bestimmt werden (das ihre Zustände als intrinsische Eigenschaft widerspiegelt). Einstein nannte das resultierende Paradoxon (wenn man immer noch von Lokalität und Realismus ausgeht) "gruselige Fernwirkung".

Die Verschränkung spielt bei der Quantenfehlerkorrektur keine besondere Rolle: Die Fehlerkorrektur muss für jeden Zustand in der Berechnungsbasis funktionieren (der keine Verschränkung aufweist). Dann funktioniert es automatisch auch für Überlagerungen dieser Zustände (die verschränkte Zustände sein können).

— Pyramiden
quelle

Ich möchte dies besser verstehen. Wenn es Verstrickungen gibt, wird sich dann die Leistung dieser Fehlerkorrekturalgorithmen verbessern oder wird sie schlechter? Ist es auch möglich, ein Quantensystem ohne Verschränkung zu haben?

— Chinni

\otimes

$\otimes$

@pyramids: Ich denke, dass die Aussage "es gibt kein klassisches Äquivalent zur Verschränkung" (obwohl allgemein üblich) eine leicht starke Aussage ist. Es gibt ein klassisches Analogon , obwohl es keineswegs zutiefst mysteriös ist. Wir rufen es jedes Mal auf, wenn wir Erklären Sie, was Verschränkung ist - und behaupten Sie dann mutig, "Verschränkung hat kein klassisches Analogon", um die Menschen davon abzuhalten, Verschränkung mit demselben klassischen Analogon zu verwechseln. Aber im Kontext der Fehlerkorrektur ist die Rolle dieses klassischen Analogons genau das, was es ist in Frage, weil es das ist, was klassische Fehlerkorrektur funktioniert.

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap So wie ich Verschränkung (einen Nichtproduktzustand) verstehe, ist diese Aussage eher präzise als übermäßig stark.

— Pyramiden

Ein Paar korrelierter klassischer Zufallsvariablen ist ebenfalls ein Nichtproduktzustand, und genau auf diese Weise ist es ein klassisches Analogon zur Verschränkung. Was Ihre Aussage "stark" macht, ist, dass es eine Wahlfreiheit gibt, in der man die Grenze zwischen "analogen" und nicht "nicht analogen" Phänomenen zieht und Sie die Linie zufällig an einer hohen Schwelle gezogen haben (wie sie ist) aus historischen Gründen konventionell mit Verstrickung zu tun).

— Niel de Beaudrap

4

Für eine bestimmte Klasse von Codes, die als rein bezeichnet wird , ist das Vorhandensein einer Verschränkung eine notwendige und ausreichende Voraussetzung für die Quantenfehlerkorrektur, dh um alle Fehler zu korrigieren, die bis zu einer bestimmten Anzahl von Subsystemen betreffen.

$\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

$C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

$E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

$(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

$E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

$d$

Nachtrag: Wir haben uns weiter mit dieser Frage befasst. Details finden Sie im Artikel Quantencodes für maximale Entfernung und stark verschränkte Teilräume . Es gibt einen Kompromiss: Je mehr Fehler ein Quantencode korrigieren kann, desto mehr muss jeder Vektor im Code-Raum verwickelt sein. Dies ist sinnvoll, da die Umgebung - durch Lesen einiger Qubits - die Nachricht im Codebereich wiederherstellen kann, wenn die Informationen nicht auf viele Partikel verteilt sind. Dies würde dann notwendigerweise die codierte Nachricht aufgrund des No-Cloning-Theorems zerstören. Daher erfordert eine große Entfernung eine hohe Verschränkung.

— Felix Huber
quelle

3

Hier ist eine Möglichkeit, über die Rolle der Verschränkung in Quantencodes nachzudenken, die meiner Meinung nach die Antwort von Felix Huber ergänzt.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Dann gibt es eine entropische Denkweise über die Fehlerkorrekturbedingungen (im Vergleich zu den algebraischeren Knill-Laflamme-Bedingungen). Insbesondere wenn

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Unter Verwendung dieses entropischen Ansatzes zur Fehlerkorrektur gibt es ziemlich direkte Wege zum Verständnis der Verschränkung in Codes. Zum Beispiel können wir das beweisen,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

wie folgt. Zuerst schreiben wir diese gegenseitigen Informationen in Bezug auf ihre Definition aus,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

Schließlich können wir die rechte Seite hier unten durch $2 \log d_R$ begrenzen . Die Intuition dahinter, wie wir das tun können, ist die folgende $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

Aber dann bemerken wir $I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ seit $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Alex May
quelle