Dies ist das Ergebnis der Abbildung des geraden Linienpfads von einem Punkt in den USA nach Polen mit dem Entfernungsmesswerkzeug .
Auch Flugzeuge von Asien nach USA würden fast über den Nordpol fliegen.
Warum ist der Weg so gekrümmt? Ich stimme zu, dass dies eine flache Darstellung einer Kugel ist, also erwarte ich einen Bogen, aber ich glaube nicht, dass die Erde so stark gekrümmt ist.
Was vermisse ich hier?
Antworten:
Schauen Sie sich den Pfad auf der Kugel an. Hier ist es in Google Earth:
Der Pfad auf Ihrer Karte ist stark gekrümmt, da Ihre Karte eine Projektion mit vielen Verzerrungen verwendet. (Die Verzerrung nimmt zu, ohne an die Pole gebunden zu sein, und dieser Pfad nähert sich dem Nordpol.)
Die Verzerrung ist notwendig, um die Krümmung dieser Geodätik auf der Karte zu erklären, aber die Verbindung zwischen ihnen ist subtil. Es kann mehr gesagt werden, das zugleich nützlich, informativ und elegant ist. Sehen Sie, ob Sie einverstanden sind.
Die Karte des OP verwendet eine Mercator-Projektion. Seine herausragenden Eigenschaften sind, dass es ist
Zylindrisch : Insbesondere sind Meridiane vertikale Linien auf der Karte.
Konform : Jeder Winkel, in dem sich zwei Pfade auf der Erde kreuzen, wird korrekt auf der Karte dargestellt
Loxodrom : Jede Route mit konstanter Peilung (auf der Erde) wird auf der Karte als gerades Liniensegment dargestellt.
Mit diesen Eigenschaften können einige wichtige Informationen direkt von der Karte gelesen werden. In diesem Zusammenhang interessieren mich die Winkel, die jeder Pfad mit jedem der Meridiane, die er kreuzt, einnimmt. (Dies sind die von Norden gemessenen Peilungen .) Beispielsweise beginnt der in der Frage dargestellte Pfad in Kanada, ungefähr bei 54 Grad Breite, und bildet mit seinem Meridian einen Winkel von ungefähr 30 Grad.
Was wir auch über einen Punkt bei 54 Grad Breite wissen müssen, ist, dass er näher an der Erdachse liegt als Punkte entlang des Äquators. Tatsächlich ist es cos (54) * R von der Achse, wobei R der Erdradius ist. (Dies ist im Wesentlichen die Definition des Kosinus. Es ist hilfreich, mit dem Kosinus vertraut zu sein, damit Sie verstehen, wie er sich verhält, aber Sie müssen keine andere Trigonometrie wirklich kennen. Ich verspreche es. Nun, eine weitere Sache: Der Sinus eines Winkels ist der Cosinus seines Komplements, zB sin (32 Grad) = cos (90-32) = cos (58).
Schließlich ist zu beachten, dass die Erde um ihre Achse rotationssymmetrisch ist. Dadurch können wir Clairauts schönes aufrufen
Satz (1743): Auf einer Bahn in einer glatten Rotationsfläche ist das Produkt des Abstands zur Achse mit dem Sinus der Peilung genau dann konstant, wenn die Bahn lokal geodätisch ist.
Da wir also bei einem Winkel von 30 Grad bei einem Breitengrad von 54 Grad beginnen, ist das Produkt im Satz gleich cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.
Wie hilft das? Überlegen Sie, was passieren würde, wenn der Pfad ungefähr direkt auf der Karte verläuft . Früher oder später würde es einen Breitengrad von 73 Grad erreichen. Mit Clairauts Theorem können wir nach der Peilung auf diesem Breitengrad auflösen:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.Dies besagt, dass wir, wenn wir einen Breitengrad von 73 Grad erreichen, genau nach Osten reisen müssen ! Das heißt, der Pfad muss sich so stark krümmen, dass die anfängliche Peilung von 30 Grad (östlich von Norden) zu 90 Grad (östlich von Norden) wird , um eine Geodät zu sein .
(Natürlich fand ich den Wert 73 Grad durch Lösen der Gleichung cos (Breite) = cos (Breite) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Um dies selbst zu tun, müsste man wissen, dass (a ) sin (90) = 1 (weil sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1 ist) und (b) die meisten Taschenrechner und Tabellenkalkulationen haben eine Funktion zum Auflösen von Cosinus, die als ArcCos oder inverser Cosinus bezeichnet wird. Ich hoffe, dass Sie dieses kleine Detail nicht als Verstoß gegen mein früheres Versprechen ansehen, dass es keinen Trigger mehr gibt ...)
Nach ein paar Berechnungen wie diesen entwickeln Sie eine Intuition für das, was Clairauts Theorem sagt. Ein Weg auf einer Rotationsfläche (wie der Erde) kann nur dann geodätisch sein (lokal kürzester oder "gerader" Weg), wenn (a) seine Peilung zu den Meridianen an von der Achse entfernten Punkten paralleler wird und (b) seine Peilung größer wird senkrecht zu den Meridianen an Punkten, die näher an der Achse liegen. Weil es eine Grenze gibt, wie senkrecht man sein kann - 90 Grad ist es! -, gibt es eine Grenze, wie nahe man der Achse sein kann. Diese konstante Anpassung der Peilung (= Winkel zum Meridian) und des Breitengrads (= Abstand zur Achse) verursacht die scheinbare Krümmung der Geodäten auf den meisten Karten, insbesondere Auf solchen, die zylindrische Projektionen verwenden, bei denen die Meridiane und Breitengrade als vertikale bzw. horizontale Linien gerendert werden.
Hier sind einige einfache Implikationen von Clairauts Theorem. Sehen Sie, ob Sie sie alle beweisen können:
Der Äquator muss eine Geodät sein.
Alle Meridiane sind Geodäten.
Keine andere Breitengradlinie als der Äquator (und die Pole, falls Sie sie einbeziehen möchten) können geodätisch sein. Nicht einmal ein kleiner Teil eines Breitengrads kann geodätisch sein.
Loxodrome (auch bekannt als Rhumb-Linien), Linien mit konstanter Peilung, können keine Geodäten sein, es sei denn, sie sind Meridiane oder der Äquator. Nicht einmal ein kleiner Teil eines solchen Loxodroms kann geodätisch sein. Mit anderen Worten, wenn Sie in einer festen Kompassrichtung segeln oder fliegen, ist Ihr Weg - mit ein paar offensichtlichen Ausnahmen - ständig gebogen!
Punkt 4 besagt, dass Sie, wenn Sie von den kanadischen Rocky Mountains mit einer Anfangspeilung von 30 Grad östlich von Norden fliegen, relativ zum Norden ständig nach rechts abbiegen müssen, um geradeaus fliegen zu können. Sie werden nie weiter nördlich als 73 Grad fahren. und wenn Sie weit genug fahren, werden Sie es nach Polen schaffen und ungefähr 150 Grad östlich von Norden sein, wenn Sie dort ankommen. Natürlich ergeben sich die Details - 73 Grad und Polen und 150 Grad - nur aus der quantitativen Aussage von Clairauts Theorem: Normalerweise können Sie so etwas nicht einfach mit Ihrer intuitiven Vorstellung von Geodäten herausfinden.
Es ist bemerkenswert, dass all diese Ergebnisse auf einem allgemeinen Sphäroid (einer durch eine Ellipse erzeugten Rotationsfläche) zutreffen, nicht nur auf perfekten Sphären. Mit geringfügigen Modifikationen halten sie für Tori (Oberflächen von Bagels oder LKW-Reifen) und viele andere interessante Oberflächen. (Der Science-Fiction-Autor Larry Niven hat einen Roman geschrieben, in dem eine kleine Welt in Form eines künstlichen Torus vorkommt. Der Link enthält ein Bild aus dem Cover des Romans, das einen Teil dieser Welt darstellt.)
In dieser Projektion (Google Mercator) sieht der Großkreisbogen zwischen diesen beiden Orten so aus.
Nur eine kurze Ergänzung:
Auch Flugzeuge von Asien nach USA würden fast über den Nordpol fliegen.
In dieser Richtung verwenden sie häufig den Jetstream. In der anderen Richtung fliegen sie tatsächlich über die Pole.
Die Mercator-Projektion verzerrt an den Polen http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
mehr Infos Tissotsche Indikatrix
So ist die Steilheit in den letzteren Polen spitzer
Ich habe eine sehr elegante Erklärung dieses Phänomens auf Tom MacWrights Blog hier mit Fotos von Orangen gesehen. Die Erklärung für eine 5-jährige Version: "Auf einem Globus sind die kürzesten Pfade flach und die Navigationslinien kurvig. Mercator erstellte eine Karte, auf der die Navigationslinien gerade sind. Dadurch wurden die kürzesten Pfade kurvig."
Es ist auf die Projektion einer 2D-Ebene auf eine Oberfläche mit 2 gepolten Kugeln zurückzuführen. Wenn sich die Linie an den Polen vorbei bewegt, wird sie für Betrachter der 2D-Ebene verzerrt, da die gerade Linie zum Ziel gekrümmt zu sein scheint Arche eines Großkreises, ein mathematischer Begriff, der sich auf den größten Kreis bezieht, der aus einer Kugel herausgeschnitten werden kann, solange der Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft. Ich habe die Bilder in anderen Antworten leicht modifiziert, indem ich zur Veranschaulichung eine Linie darübergekritzelt habe (ich fürchte eher, ich bin neu bei GIMP). Die sogenannte polare Verzerrung. Ich denke, ein ähnliches Konzept steckt hinter den Gravitationskräften, aber ich bin kein Physiker, also kann ich es nicht sagen.
Je näher ein Punkt an die Pole kommt, desto weniger deformiert scheint er zu sein, wenn er auf eine flache 2D-Oberfläche gerendert wird, obwohl er immer noch winzig ist. Dies hängt auch von der verwendeten Projektionsmethode ab, und es gibt einige, die darauf abzielen, die schnellste Route zwischen zwei Punkten flach und dann in der vollständigen sphärischen Ansicht wieder rund erscheinen zu lassen.