Einer meiner Kollegen arbeitet mit Daten, die auf zwei UTM-Zonen verteilt sind. Der Großteil der Daten befindet sich in einer Zone, einige Ausreißer in einer anderen Zone. Er möchte wissen, wie groß die Gebietsverzerrung dieser Ausreißer wäre, wenn sie sich in der Haupt-UTM-Zone befinden würden.
Gibt es eine Formel zur Berechnung der Flächenverzerrung, die weiß, wie weit die Merkmale in der anderen UTM-Zone liegen?
Antworten:
UTM verwendet eine transversale Mercator-Projektion mit einem Skalierungsfaktor von 0,9996 am Mittelmeridian. Im Mercator ist der Abstandsskalierungsfaktor die Sekante des Breitengrads (eine Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), wobei der Flächenskalierungsfaktor das Quadrat dieses Skalierungsfaktors ist (da er in gilt) alle Richtungen, wobei der Mercator konform ist). Wenn wir den Breitengrad als sphärischen Abstand zum Äquator verstehen und das Ellipsoid mit einer Kugel approximieren, können wir diese Formel auf jeden Aspekt der Mercator-Projektion anwenden. Somit:
Der Skalierungsfaktor ist das 0,9996-fache der Sekante des (Winkel-) Abstands zum Mittelmeridian. Der Flächenskalierungsfaktor ist das Quadrat dieser Größe.
Um diesen Abstand zu ermitteln, betrachten Sie das sphärische Dreieck, das sich aus einer geodätischen Bewegung von einem beliebigen Punkt bei (lon, lat) = (lambda, phi) in Richtung des Mittelmeridians bei mu und entlang dieses Meridians zum nächsten Pol ergibt Zurück entlang des Lambda-Meridians zum ursprünglichen Punkt. Die erste Kurve ist ein rechter Winkel und die zweite ist ein Lambda-mu-Winkel. Die entlang des letzten Abschnitts zurückgelegte Strecke beträgt 90 Phi Grad. Das auf dieses Dreieck angewendete sphärische Gesetz der Sinuszustände
sin (lambda-mu) / sin (abstand) = sin (90 grad) / sin (90-phi)
mit lösung
Abstand = ArcSin (sin (Lambda-mu) · cos (phi)).
Dieser Abstand wird als Winkel angegeben, der für die Berechnung der Sekante zweckmäßig ist.
Beispiel
Betrachten Sie die UTM-Zone 17 mit einem Mittelmeridian bei -183 + 17 * 6 = -81 Grad. Der äußere Ort sei bei -90 Grad Länge, 50 Grad Breite. Dann
Schritt 1: Der sphärische Abstand von (-90, 50) zum -81-Grad-Meridian entspricht ArcSin (sin (9 Grad) * cos (50 Grad)) = 0,1007244 Radiant.
Schritt 2: Die Flächenverzerrung beträgt (0,9996 * s (0,1007244 Radiant)) ^ 2 = 1,009406.
(Numerische Berechnungen mit dem GRS 80-Ellipsoid ergeben den Wert 1,009435, was zeigt, dass die von uns berechnete Antwort 0,3% zu niedrig ist: Dies entspricht der Größenordnung der Abflachung des Ellipsoids, was darauf hinweist, dass der Fehler auf die sphärische Approximation zurückzuführen ist.)
Annäherungen
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sich der Bereich ändert, können wir einige Triggeridentitäten verwenden, um den Gesamtausdruck zu vereinfachen und ihn als Taylor-Reihe in Lambda-mu (die Verschiebung zwischen dem Längengrad des Punkts und dem Längengrad des UTM-Zentralmeridians) zu erweitern. Es klappt
Flächenskalierungsfaktor ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (Lambda-mu) ^ 2).
Wie bei allen derartigen Ausdehnungen muss der Winkel Lambda-mu im Bogenmaß gemessen werden. Der Fehler ist kleiner als 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (Lambda-mu) ^ 4, was nahe am Quadrat der Differenz zwischen der Näherung und 1 liegt, dh dem Quadrat des Werts nach dem Dezimalpunkt .
In dem Beispiel mit phi = 50 Grad (mit einem Cosinus von 0,642788) und Lambda-mu = -9 Grad = -0,15708 Bogenmaß ergibt die Näherung 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Wenn wir nach dem Komma und der Quadratur schauen, schließen wir (auch ohne den richtigen Wert zu kennen), dass sein Fehler nicht größer als (0,009387) ^ 2 = kleiner als 0,0001 sein kann (und tatsächlich ist der Fehler nur ein Fünftel dieser Größe).
Aus dieser Analyse geht hervor, dass in hohen Breiten (wo cos (phi) klein ist) Skalierungsfehler immer klein sind; und bei niedrigeren Breiten verhalten sich Flächenskalierungsfehler wie das Quadrat des Längenunterschieds.
GeographicLibs Tool GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
ermöglicht eine großzügige Überlappung zwischen UTM-Zonen (insbesondere ist die Konvertierung in eine benachbarte Zone zulässig, sofern der resultierende Ostwert im Bereich [0 km, 1000 km] liegt). GeoConvert kann auch die Konvergenz und Skalierung des Meridians angeben. Wie bereits erwähnt, ist die Flächenverzerrung das Quadrat der Skalierung.
Zum Beispiel ist Ihre "Haupt" -Zone 42 und Sie erhalten einen bestimmten Punkt
41N 755778 3503488
(Kandahar University), die etwa 29 km westlich von Zone 42 liegt. Verwenden Sie zum Konvertieren in Zone 42
Echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Fügen Sie das Flag -c hinzu, um die Konvergenz und Skalierung des Meridians in Zone 42 zu bestimmen
Echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Die Flächenverzerrung beträgt also 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.