Wie genau ist die Annäherung der Erde als Kugel?

Auf welche Fehlerstufe stoße ich bei der Annäherung der Erde als Kugel? Insbesondere, wenn es um die Position von Punkten und zum Beispiel die Abstände der Großkreise zwischen ihnen geht.

Gibt es Studien zum Durchschnitts- und Worst-Case-Fehler im Vergleich zu einem Ellipsoid? Ich frage mich, wie viel Genauigkeit ich opfern würde, wenn ich mich für einfachere Berechnungen für eine Kugel entscheiden würde.

In meinem speziellen Szenario werden WGS84-Koordinaten direkt abgebildet, als wären sie Koordinaten auf einer perfekten Kugel (mit dem vom IUGG definierten mittleren Radius ) ohne Transformation.

Kurz gesagt, die Entfernung kann je nach den fraglichen Punkten bis zu ungefähr 22 km oder 0,3% fehlerhaft sein. Das ist:

• Der Fehler kann auf verschiedene natürliche und nützliche Arten ausgedrückt werden , wie z. B. (i) (verbleibender) Fehler, der der Differenz zwischen den beiden berechneten Entfernungen (in Kilometern) entspricht, und (ii) relativer Fehler, der der Differenz dividiert durch "Richtiger" (ellipsoidaler) Wert. Um Zahlen zu erzeugen, mit denen man bequem arbeiten kann, multipliziere ich diese Verhältnisse mit 1000, um den relativen Fehler in Teilen pro Tausend auszudrücken .

• Die Fehler hängen von den Endpunkten ab. Aufgrund der Rotationssymmetrie von Ellipsoid und Kugel und ihrer bilateralen (Nord-Süd- und Ost-West-) Symmetrie können wir einen der Endpunkte irgendwo entlang des Nullmeridians (Längengrad 0) in der nördlichen Hemisphäre (Breitengrad zwischen 0 und 90) platzieren ) und der andere Endpunkt auf der östlichen Hemisphäre (Längengrad zwischen 0 und 180).

Um diese Abhängigkeiten zu untersuchen, habe ich die Fehler zwischen den Endpunkten bei (lat, lon) = (mu, 0) und (x, lambda) als Funktion des Breitengrads x zwischen -90 und 90 Grad aufgezeichnet. (Alle Punkte befinden sich nominal auf einer Ellipsoidhöhe von Null.) In den Figuren entsprechen die Zeilen den Werten von mu bei {0, 22,5, 45, 67,5} Grad und die Spalten den Werten von Lambda bei {0, 45, 90, 180}. grad. Dies gibt uns einen guten Überblick über das Spektrum der Möglichkeiten. Wie erwartet betragen ihre Maximalgrößen ungefähr das Abflachen (ungefähr 1/300) der Hauptachse (ungefähr 6700 km) oder ungefähr 22 km.

Fehler

Relative Fehler

Konturdiagramm

Eine andere Möglichkeit, die Fehler zu visualisieren, besteht darin, einen Endpunkt zu reparieren und den anderen variieren zu lassen und die auftretenden Fehler zu konturieren. Hier ist zum Beispiel eine Konturdarstellung, bei der der erste Endpunkt bei 45 Grad nördlicher Breite und 0 Grad Länge liegt. Nach wie vor sind die Fehlerwerte in Kilometern angegeben und positive Fehler bedeuten, dass die Kugelberechnung zu groß ist:

Es ist möglicherweise einfacher zu lesen, wenn Sie um den Globus gewickelt sind:

Der rote Punkt in Südfrankreich zeigt die Position des ersten Endpunkts an.

Für die Aufzeichnung ist hier der Mathematica 8- Code, der für die Berechnungen verwendet wird:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Und einer der Plotbefehle:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Ich habe diese Frage vor kurzem untersucht. Ich denke, die Leute wollen es wissen

1. Welchen Kugelradius soll ich verwenden?
2. Was ist der resultierende Fehler?

Eine vernünftige Metrik für die Qualität der Approximation ist der maximale absolute relative Fehler in der Großkreisentfernung

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

wobei das Maximum über alle möglichen Punktepaare ausgewertet wird.

Wenn die Abflachung f klein ist, liegt der sphärische Radius, der err minimiert, sehr nahe bei (a + b) / 2 und der resultierende Fehler ist ungefähr

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(bewertet mit 10 ^ 6 zufällig ausgewählten Punktepaaren). Es wird manchmal empfohlen, (2 * a + b) / 3 als Kugelradius zu verwenden. Dies führt zu einem etwas größeren Fehler, err = 5 * f / 3 = 0,56% (für WGS84).

Geodäten, deren Länge durch die sphärische Approximation am meisten unterschätzt wird, liegen in der Nähe eines Pols, z. B. (89.1,0) bis (89.1.180). Geodäten, deren Länge durch die sphärische Approximation am meisten überschätzt wird, sind in Äquatornähe meridional, z. B. (-0,1,0) bis (0,1,0).

ADDENDUM : Hier ist eine andere Möglichkeit, dieses Problem anzugehen .

Wählen Sie Paare gleichmäßig verteilter Punkte auf dem Ellipsoid aus. Messen Sie die ellipsoidale Abstand s und der Abstand auf einer Einheitssphäre t . Für jedes Paar von Punkten gibt s / t einen äquivalenten Kugelradius an. Diese Menge über alle Punktpaare mitteln und dies ergibt einen mittleren äquivalenten Kugelradius. Es ist eine Frage, wie genau der Durchschnitt gemacht werden soll. Jedoch alle Entscheidungen, die ich versucht habe

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

Alle Werte ergaben sich innerhalb weniger Meter vom vom IUGG empfohlenen mittleren Radius, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Somit minimiert dieser Wert den RMS-Fehler bei der Berechnung des sphärischen Abstands. (Es ergibt sich jedoch ein etwas größerer maximaler relativer Fehler im Vergleich zu ( a + b ) / 2; siehe oben.) Angesichts der Tatsache, dass R ₁ wahrscheinlich für andere Zwecke (Flächenberechnungen und dergleichen) verwendet wird, gibt es einen guten Grund dafür bleibe bei dieser Wahl für Entfernungsberechnungen.

Die Quintessenz :

• Verwenden Sie für jede Art von systematischer Arbeit, bei der Sie einen Fehler von 1% bei der Abstandsberechnung tolerieren können, eine Kugel mit dem Radius R ₁ . Der maximale relative Fehler beträgt 0,56%. Verwenden Sie diesen Wert konsistent, wenn Sie die Erde mit einer Kugel approximieren.
• Wenn Sie zusätzliche Genauigkeit benötigen, lösen Sie das ellipsoidische geodätische Problem.
• Verwenden Sie für die Berechnung der Rückseite des Umschlags R ₁ oder 6400 km oder 20000 / pi km oder a . Daraus ergibt sich ein maximaler relativer Fehler von ca. 1%.

WEITERES ADDENDUM : Sie können den Großkreisabstand etwas genauer ausdrücken, indem Sie μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (den gleichrichtenden Breitengrad eines armen Mannes) als Breitengrad in der Großkreisberechnung verwenden. Dies verringert den maximalen relativen Fehler von 0,56% auf 0,11% (unter Verwendung von R ₁ als Radius der Kugel). (Es ist nicht klar, ob es sich wirklich lohnt, diesen Ansatz zu wählen, anstatt die ellipsoidische geodätische Entfernung direkt zu berechnen.)