Warum beeinflusst die Ausrichtung eines Bodenbalkens seine Stärke?

Beim Bauen von Fußböden verwenden wir Materialien wie 2 "x 10" Holzbalken oder Stahl-I-Träger. Ich bin in erster Linie daran interessiert zu wissen, warum ein 2 "x 10" großes Stück Holz nicht nach unten gebogen werden kann, wenn es "aufsteht" (dh die 2 "Seite zum Himmel zeigt), im Gegensatz dazu, wenn es" abgelegt "wird ( dh die 10 "Seite zum Himmel).

Aufgrund meiner Erfahrung erscheint es mir intuitiv, aber ich kann nicht erklären, warum wir Bodenbalken so ausrichten, wie wir es tun, obwohl es offensichtlich ist, dass dies zu einem stärkeren Boden führen wird. Ich stelle mir vor, was auch immer der Grund ist, es erklärt auch, warum I-Träger zwischen den beiden Seiten ein so dünnes Gurtband haben.

Holen Sie sich eine Gallone Milch und schütteln Sie sie auf und ab, indem Sie nur Ihr Handgelenk bewegen.

Halten Sie dann Ihren Unterarm heraus und schütteln Sie ihn, indem Sie nur Ihren Ellbogen bewegen.

Halten Sie dann Ihren gesamten Arm heraus und schütteln Sie ihn, indem Sie nur Ihre Schulter bewegen.

Die Masse hat sich nicht verändert, aber die Kraft, die nötig war, um sie zu bewegen, steigt (sehr!), Weil sie weiter von dir entfernt ist. Dieses Phänomen wird beim Drehen einer Masse (wie beim Drehen um Handgelenk, Ellbogen oder Schulter) als "Trägheitsmoment" oder speziell als " Massenträgheitsmoment " bezeichnet.

In ähnlicher Weise wird es "schwieriger", dieselbe Kraft auf alles anzuwenden, je weiter Sie vom Kraftursprung entfernt sind. In anderen Fällen als der spezifischen Masse , wie bei I-Trägern oder Holzträgern, wird die interessierende Eigenschaft als "Flächenträgheitsmoment" oder, um die Verwirrung zu verstärken, auch als " zweites Flächenmoment " bezeichnet.

Je mehr Material (Querschnittsfläche) Sie von der Kraft entfernen können, desto geringer ist im Wesentlichen der Einfluss dieser Kraft auf das Material. Es ist sehr ähnlich, wie Ihre Schulter so hart arbeiten muss, um die Milch zu schütteln.

Sie können auch berücksichtigen, dass für einen bestimmten Bewegungsbogen das von diesem Bogen überspannte Material linear mit der Entfernung zunimmt, und Sie können auch berücksichtigen, dass Ihre Kraft auf mehr Material angewendet wird (obwohl dies technisch nicht ganz korrekt ist). und weil es auf mehr Material angewendet wird, wird die effektive Kraft verringert.

:BEARBEITEN:

Ich habe ein Bild gemacht (nicht animiert, sorry), das einen durchquerten Bogen zeigt und wie er konstant bleibt, wenn der durchquerte Winkel mit zunehmender Entfernung linear abnimmt .

Der Sinn dieser Grafik ist es, die Belastung zu demonstrieren. Wenn Ihre Schulter die gleiche Arbeit wie Ihr Handgelenk verrichten würde, würde die Gallone Milch den gleichen linearen Abstand auf und ab gehen , aber nicht den gleichen Winkel zurücklegen .

Wenn Sie versuchen, etwas zu biegen, wie bei einem Bodenbalken, kann die Änderung der Länge (Dehnung) des Materials gleich sein. Wenn Sie das Material jedoch weiter von der Biegeachse entfernen können, entspricht diese Dehnung einer geringeren Durchbiegung .

Versuchen wir ein numerisches Beispiel. Stellen Sie sich einen sehr kurzen, sehr breiten rechteckigen Balken vor, dessen Querschnittsbreite 10 m und dessen Querschnittshöhe 0,1 m beträgt. Dieser Strahl ist repräsentativ für eine Scheibe, aber ich verwende ihn für dieses Beispiel, um den Punkt hoffentlich zu überqueren.

Das Flächenträgheitsmoment des Strahls um seine x-Achse ( ) ist gegeben durch :$I_x$

Das Flächenträgheitsmoment für den Strahl ist um die x-Achse sehr klein - es ist sehr einfach, sich um die x-Achse zu "verdrehen".

Lassen Sie uns nun unter Verwendung des Satzes der parallelen Achse diesen in einem Abstand von 1 m von der Biegeachse einstellen. Dies bedeutet, dass das Flächenträgheitsmoment um die Biegeachse ist:

Sie sehen also, dass das Flächenträgheitsmoment für das Biegen in diesem Beispiel ungefähr 1 beträgt, wobei der Abstand des Trägers von der Biegeachse 1 beträgt. Wenn der Balken nun auf einen Abstand von 2 m von der Biegeachse herausbewegt wird, Der Satz der parallelen Achse gibt das neue Flächenträgheitsmoment an:

Wenn also der Abstand verdoppelt wird, vervierfacht sich das Flächenträgheitsmoment ungefähr . Betrachten Sie nun die Biegespannung:

Das Biegemoment multipliziert mit dem Abstand von der Biegeachse geteilt durch das Flächenträgheitsmoment. Für das erste Beispiel befand sich der Strahl nun bei 1 m und das Flächenträgheitsmoment betrug ungefähr 1. Dies bedeutet, dass die Spannung ungefähr oder .$\sigma = \frac{M(1)}{(1)}$$M$

Wenn der Balken auf 2 m herausbewegt wird, beträgt das Trägheitsmoment ungefähr 4, aber jetzt beträgt der Abstand , um zu diesem Balken zu gelangen, , so dass die Biegespannung ungefähr oder . Wenn der Balken doppelt so weit entfernt war, halbierte sich die Biegespannung. Die Dehnung ist durch den Elastizitätsmodul (unter der Annahme einer elastischen Verformung) linear mit der Spannung verbunden. Dies bedeutet, dass die Dehnung oder Dehnung auch halbiert wird, indem der Balken doppelt so weit bewegt wird.$y$$2$ $\sigma = \frac{M(2)}{4}$$\frac{1}{2}M$

Auch dies war ein anschauliches Beispiel, bei dem ich die Strahlgröße ausgewählt habe, um das Flächenträgheitsmoment des Strahls selbst auf einen vernachlässigbaren Wert zu bringen, so dass der Satz der parallelen Achse der dominierende Faktor war. Dies wurde durchgeführt, um das Konzept zu bekräftigen, dass Material, das weiter von der Biegeachse entfernt platziert ist, zu weniger Spannungen (und damit weniger Verformungen / Biegungen) am Materialrand führt.

Die Bahn oder der breite Teil des 2x10 ist der Teil, der dem Biegen widersteht. Ein breiteres 2x? oder die Bahn widersteht dem Biegen unter schwereren Lasten. Die Kraft, die durch die Bahn übertragen wird, bedeutet, dass mehr Material gedehnt oder zusammengedrückt werden muss, damit es versagt.

Stellen Sie sich vor, Sie biegen eine 2x10 in der Ebene mit dem 10-Zoll-Teil. Der untere Teil wird sich entlang der Länge des Balkens dehnen und der obere Teil wird zusammengedrückt. Mehr Material zu haben, um diesen Kräften zu widerstehen, macht einen stärkeren Balken (oder I-Träger). Die Verwendung eines 2x10 mit der Bahn nach oben würde sehr wenig Material haben, das dem Dehnen oder Zusammendrücken widersteht, was viel leichter zum Versagen führen würde.

Im Zusammenhang mit technischen Berechnungen ist dies auf eine Eigenschaft zurückzuführen, die als "zweites Moment der Fläche" bezeichnet wird. Die Art und Weise, wie dies definiert wird, ist etwas stumpf, beschreibt jedoch etwas, das einigermaßen intuitiv ist.

Wenn Sie einen Balken betrachten, der an beiden Enden mit einem Gewicht an einem Punkt in der Mitte abgestützt ist, wird er sich (offensichtlich) verbiegen. Diese Biegekraft versucht, die Unterkante zu dehnen und die Oberkante zusammenzudrücken, so dass logischerweise eine Linie entlang der Mitte vorhanden ist, in der sie weder gebogen noch zusammengedrückt wird, und in ähnlicher Weise ist die größte Spannung an der Ober- und Unterkante und nimmt zur Mitte hin ab.

Wenn Sie die vollständige Analyse durchführen, stellt sich heraus, dass die Steifheit des Trägers direkt proportional zu seiner Breite, aber auch zum Würfel seiner Tiefe ist.

In Bezug auf die Biegung ist der Abstand zwischen der Mittellinie und der Kante eines Trägers (in Lastrichtung) viel wichtiger als nur seine Querschnittsfläche.

Durch die Erweiterung trägt das Material in der Nähe der Mittellinie viel weniger zur Steifheit bei als das Material in der Nähe der Kante, und so etwas wie ein I-Träger ist nur eine Möglichkeit, auf einen Großteil dieses Materials zu verzichten, das Masse hinzufügt, aber nicht viel zur Steifheit beiträgt.

Das erste, was berücksichtigt werden muss, ist, wie sich Stress in einem Material aufbaut. Dies ist ziemlich intuitiv und etwas, das wir alle wissen, aber es erfordert ein wenig Nachdenken, um es mathematisch zu sichern. Es ist ziemlich einfach, in die Welt des "zweiten Momentes des Gebiets" einzutauchen, was für Berechnungen unglaublich wichtig ist, aber nicht unbedingt notwendig, um zu verstehen, wie es funktioniert (ich höre Schreie der "Häresie" ..).

Wenn sich ein Balken biegt, werden im Wesentlichen die unteren Fasern gedehnt und auseinandergezogen ( Spannung ), während die oberen Fasern zusammengedrückt werden ( Kompression ). Der Balken versagt (z. B. bricht), wenn entweder die oberen Fasern ihre maximale Druckfestigkeit erreichen oder die unteren Fasern ihre maximale Zugfestigkeit erreichen . Wirklich einfach! Siehe meine vquick Skizze unten:

Dies hat zur Folge, dass es irgendwann zwischen den unteren und oberen Fasern einen Punkt gibt, an dem keine Spannung auftritt (an dem es von Spannung zu Kompression übergeht). Das maximale Biegemoment (Ingenieurgespräch, nicht unbedingt wichtig für das Verständnis!), Das ein Balken aufnehmen kann, ist durch die Druck- oder Zugfestigkeit eines Balkens begrenzt. Wenn wir also rückwärts arbeiten, können wir den Unterschied zwischen einem aufrecht stehenden Balken und einem Balken ermitteln einer liegt flach.

Ich habe eine schnelle Handberechnung mit einigen Annahmen durchgeführt (der Einfachheit halber habe ich angenommen, dass der Balken bei der Kompression versagt und eine Druckfestigkeit von 10 N / mm 2 hat, und den Balken von 2 "x 10" auf 20 mm x 100 mm geändert). . Ausgehend davon können Sie den 'Bereich' des Spannungsdreiecks berechnen. Sie multiplizieren dies dann mit der Fläche des Trägers, über der dieses Spannungsdreieck auftritt.

Wie Sie sehen können, hat der "größere" der beiden Träger ein größeres Spannungsdreieck und kann somit einer stärkeren Biegung widerstehen! Dies liegt daran , mehr des Strahls befindet sich weiter entfernt von der neutralen Achse (der Punkt , wo der Strahl weder in Kompression oder Spannung)! Wenn Sie die Last langsam erhöhen würden, würde die obere Faser des höheren Trägers länger brauchen, um die von mir angegebene Grenze von 10 N / mm ^ 2 zu erreichen.

Ich hoffe, das ist klar und einfach. Es ist ein wenig irritierend zu erklären, was ein relativ einfaches Konzept ist, weil es so viel zu behandeln gibt.

EDIT: Ich plane, diese Skizzen / Berechnungen bald wieder zu machen, hoffentlich mit etwas Farbe. Ich habe sie bei der Arbeit schnell erstellt und mich nicht viel Mühe gegeben!

Alle Strukturmaterialien kollabieren, wenn sie übermäßigen Verformungen und Spannungen ausgesetzt sind. Wenn Sie ein Gummiband zu weit dehnen, schnappt es.

Balken gelten als Balkenelemente. Dies bedeutet, dass die primäre innere Kraft, der sie standhalten müssen, das Biegemoment ist. Das Biegemoment wird durch einen Widerstand Kraftpaar innerhalb der Unterzug. Der Moment bewirkt eine Drehung des Balkens: Die Oberseite des Balkens wird zusammengedrückt und die Unterseite wird gedehnt. Dies bedeutet, dass sich das Kraftpaar aus der gesamten Druckkraft auf die obere Hälfte des Balkens und der gesamten Zugkraft auf der unteren Hälfte zusammensetzt (die bei einfachem Biegen gleich sein muss).

Nun ist der Moment aufgrund eines Kraftpaares gleich dem Produkt einer der Kräfte und dem Abstand zwischen ihnen. Für einen Balken, der im Gegensatz zur schwachen ("breiten") Konfiguration in der starken ("hohen") Konfiguration platziert ist, ist der Abstand größer, was bedeutet, dass die erforderlichen Kräfte, um dem Biegemoment standzuhalten, verringert werden. Da das Element am Ende des Tages durch übermäßige Spannungen zusammenbricht, möchten Sie die gesamten inneren Druck- / Zugkräfte (und damit die Spannungen) minimieren und die Elemente daher immer in ihre "starke" Konfiguration bringen.

Ein Balken reagiert auf das Biegemoment, indem er sich tatsächlich ein wenig in Momentrichtung biegt. Diese Biegung erzeugt eine Dehnung im Querschnitt des Trägers, eine Spannung an der Unterseite und eine Kompression an der Oberseite. Die Dehnung ist direkt proportional zur Spannung.

Nehmen wir zur Vereinfachung an, wir haben einen Balken mit 1 cm ² Material oben und unten und eine Bahn mit einer Breite von 10 cm gebogen, und die maximale Beanspruchung, der dieses Material widerstehen kann, beträgt 1 kg / cm ² .

Das maximale Moment, das dieser Balken verarbeiten kann, beträgt 1 kg x 10/2 oben und 1 kg x 10/2 unten. Zusammengenommen kann er 1 kg x 10 cm = 10 kg cm Impuls verarbeiten.

Wenn wir den Balken so verbreitern, dass die Bahn 20 cm breit ist, aber dieselbe Materialmenge aufweist, hat der neue Balken wieder 1 cm ² Material oben und 1 cm ² Material unten. Dieser Strahl kann jedoch 1 kg x 20 cm = 20 kg cm Impuls verarbeiten. Wenn Sie den Balken auf den Kopf stellen, wird die Bahnbreite effektiv vergrößert!

Warum richten wir Bodenbalken mit der längsten Seite vertikal aus? wie in der Form des Buchstabens "Ich"?

Wie in anderen Beiträgen erwähnt, lautet der Name der Theorie "Massenträgheitsmoment", für dessen Erklärung ganze Lehrbücher geschrieben wurden.

Die Formel für die Berechnung dieses Trägheitsmoments (für ein Rechteck wie einen 2x10-Balken) lautet jedoch ganz einfach (bh ^ 3) / 12 oder auf Englisch "B" x "H Cubed" über 12.

Wenn der Balken auf diese Weise ausgerichtet ist, ist seine längere Seite (10 ") als" H "ausgerichtet (und die Basis ist 2). Wenn er auf diese Weise ausgerichtet ist, widersteht das Holz Belastungen, die viel schwerer sind als wenn es" flach gelegt "wurde. .

Versuchen Sie, ein Plastiklineal auf verschiedene Arten zu biegen. Es gibt einen Weg, der sehr schwierig sein wird. Dies erklärt sich aus dem Trägheitsmoment!

Der Grund, warum ich Balken in der Mitte so schlank bin, ist, dass sie ihre Stärke in dieser Ausrichtung behalten können, aber um Gewicht zu sparen, sind sie minimal im Design (weil das Gewicht des Balkens auch die Kräfte erhöht, die benötigt werden berechnet werden) Warum sollten Sie den Balken schwerer machen als nötig, wenn er ohne zusätzliches Gewicht genauso stark ist?