Reaktion eines Systems auf eine Sprungfunktion (Heaviside-Funktion)

Ich möchte die Antwort auf eine Sprungfunktion eines elektrischen / thermischen Systems berechnen. Generell kann ich die Übertragungsfunktion "leicht" berechnen : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Da die Fourier-Transformation ( ) der Heaviside-Funktion (berechnet mit WA) ist: $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Beachten Sie daher die Inverse Fourier-Transformation: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Um meine Mathematik zu überprüfen, habe ich versucht, die Antwort für ein einfaches RC-System zu berechnen:

Ich sollte die bekannte Ladung des Kondensators bekommen. Die Übertragungsfunktion:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Berechnen der inversen Fourier-Transformation ( ) mit WA ( ) Ich erhalte: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Dies wäre richtig, wenn wir in der Zeit zurückgehen würden: /. Die Frage ist also ... Was mache ich falsch?

Ich habe das gleiche mit Laplace Transforms gemacht und alles funktioniert gut ... Aber ich verstehe nicht warum.

PS Ich möchte keine andere Methode, ich möchte nur verstehen, was in meinem Ansatz falsch ist.

PS Der Grund, warum ich WA verwende, ist, dass ich für mein komplizierteres System die Fourier-Transformationen mit WA berechnen muss.

— Weltschaf
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Dies ist nicht die Antwort, nach der Sie suchen, aber dieser Artikel über die Durchführung einer diskreten inversen Laplace-Transformation für praktisch jede Übertragungsfunktion kann für Sie von Interesse sein.

— user5108_Dan

Danke für den interessanten Link! Ich versuche immer noch zu verstehen, warum Laplace-Transformationen benötigt werden. Oder besser, warum Fourier-Transformationen nicht funktionieren ...

— Worldsheep

Kennen Sie Laplace-Transformationen? Die Laplace- und Fourier-Transformationen sind ziemlich ähnlich, aber ich bin kein guter Mathematiker, um die genauen Unterschiede zu beschreiben. EEs arbeiten normalerweise in der s-Domäne (Laplace-Transformation), die Ihrer H (w) -Gleichung entspricht, wenn Sie jw durch s ersetzen. Außerdem erhalten Sie wahrscheinlich eine bessere Antwort, wenn Sie diese Frage auf der Website dsp.stackexchange.com veröffentlichen. Diese Jungs sind auf dieses Zeug eingestellt.

— user5108_Dan

Ja, ich habe festgestellt, dass EE in diesen Fällen immer mit Laplace zusammenarbeitet, und wenn ich das ausprobiert habe, hat es gut funktioniert! Aber intuitiv würde ich Fourier verwenden. Ich werde Ihrem Rat folgen und die andere Seite besuchen!

— Worldsheep

Eine Antwort auf diese Frage finden Sie hier: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

Der Hauptgrund liegt wahrscheinlich darin, dass Wolfram Alpha die inverse Fourier-Transformation als zweite Fourier-Transformation anwendet. In der Tat "dreht die Zeit um" - wie mathematisch gezeigt werden kann :

Definieren des '' 'Flip-Time-Operators' '' , der die Zeit invertiert, $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Wenn Sie die Fourier-Transformation dreimal auf das System anwenden, erhalten Sie die Version in normaler Zeit. Da Wellen zeitlich konsistent sind, spielt es normalerweise keine Rolle.

— Kennzeichen
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