Wie wirkt sich die Lastkraft auf die Lastträgheit aus?

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Ich versuche, eine Winde als drehzahlgeregelten Motor zu simulieren, der über ein Getriebe eine Masse anhebt. Der Ausgang des Getriebes ist eine Trommel, die sich dreht, um Kabel anzusammeln.

Ich fühle mich wohl dabei , die Masse in ein Trägheitsmoment umzuwandeln , und ich fühle mich auch wohl darin, dieses Trägheitsmoment (Ausgangsseite) in das Trägheitsmoment umzuwandeln , das der Motor (Eingangsseite) mit dem Getriebeübersetzungsverhältnis "sieht" . Mit einer einfachen Simulation habe ich kein Problem damit, die Bewegungsgleichungen zu schreiben.

Meine Komplikation kommt, wenn ich "Stretch" im Kabel modellieren möchte. Ich dachte, ich könnte dies tun, indem ich einfach eine Feder beliebiger Steifheit zwischen die Windentrommel und die Masse setze, wie unten abgebildet.

Bei diesem Modell gehe ich zur Simulation davon aus, dass ich die "Trommelhöhe" kenne, dh wie weit sich die Trommel gedreht hat, multipliziert mit dem Trommelradius und der Höhe der Last. Die Federkraft wäre , aber wie wende ich dies auf den Motor an ? $k(\phi r - y)$

Ich habe ein Motormodell:

\frac{Θ}{V} = \frac{K_{T}}{R_{a} J s + K_{T} K_{b}}

$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$ und ein PI- :

\frac{V}{Θ_{error}} = \frac{k_{p} (s + \frac{k_{i}}{k_{p}})}{s}

$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\$ wobei die Motordrehzahl ist die Klemmenspannung, ist die Trägheit der Last und der Maschine, und , und sind der , die Drehmomentkonstante bzw. die Gegen-EMK-Konstante.

Θ

$\Theta$

V

$V$

J

$J$

R_{a}

$R_a$

K_{T}

$K_T$

K_{b}

$K_b$

Die Wechselwirkung, die ich untersuchen möchte, tritt auf, wenn der PI-Regler auf die erwartete Lastträgheit abgestimmt ist , die sich mit dem Motor, dem Getriebe, der Trommel und der Lastmasse ergibt , das System jedoch die Federmasse "sieht". $J$

Die Vereinfachung erfolgt durch Setzen des Verhältnisses gleich . $k_i/k_p$ $K_TK_b/R_aJ$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = \frac{V}{Θ_{error}} \frac{Θ}{V} = (\frac{k_{p} (s + \frac{K_{T} K_{b}}{R_{a} J})}{s}) (\frac{\frac{K_{T}}{R_{a} J}}{s + \frac{K_{T} K_{b}}{R_{a} J}})

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$

(Hinweis: Ich kann als Variable , da das Verhältnis über das eingestellt werden kann, was ich will, solange nicht Null ist.) $k_p$ $k_i/k_p$ $k_i$ $k_p$

In einer idealen Welt, in der der Wert der "Gesamt" -Trägheit im Voraus bekannt ist, bricht der Pol ab und das gesamte System reduziert sich auf: $J$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = (\frac{k_{p}}{s}) (\frac{\frac{K_{T}}{R_{a} J}}{1})

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = \frac{1}{\frac{R_{a} J}{k_{p} K_{T}} s}

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$

Schließlich ist , also mit Algebra: $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$

\frac{Θ_{out}}{Θ_{ref}} = \frac{1}{\frac{R_{a} J}{k_{p} K_{T}} s + 1}

$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$

Es tut mir leid, dass die Schrotflinte so viele Details enthält, aber ich wollte jeden, der liest, beeindrucken, dass ich mit all meinen bisherigen Schritten zuversichtlich bin und erhebliche Anstrengungen unternommen habe, um an diesem Problem zu arbeiten. Nun noch einmal zu meiner Frage: Ich möchte die Dehnung des Kabels zwischen Trommel und Last simulieren , bin mir aber nicht sicher, wie ich die Federkraft verwenden soll, um die Lastträgheit zu modulieren.

Ein Gedanke, den ich hatte, war zu versuchen, eine "äquivalente Masse" zu fälschen, indem ich annahm:

F = m_{equivalent} a m_{equivalent} = \frac{F_{spring}}{a}

$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\$

aber das fühlt sich nicht richtig an und ich bin mir nicht sicher, was ich für die Beschleunigung verwenden würde . $a$

Ich bin frustriert, so weit mit dem Problem beschäftigt zu sein und mich über etwas zu wundern, das anscheinend ein einfaches Problem sein sollte, aber ich kann mir wirklich keine Möglichkeit vorstellen, dieses Problem anzugehen. Ich denke, wenn ich es richtig einrahmen könnte, könnte ich die Mechanik herausarbeiten, aber es ist die Umwandlung von Kraft in Trägheit, die ich für nötig halte, die mich verblüfft.

Schließlich habe ich versucht, mein Motormodell zurückzuverfolgen, um das Lastdrehmoment einzubeziehen. Dies ergibt scheinbar vernünftige Ergebnisse, aber am Ende subtrahiere ich das Lastdrehmoment vom Motordrehmoment, um das Nettodrehmoment zu erhalten, und wende dieses Nettodrehmoment dann auf die Gesamtträgheit an, um die Motorbeschleunigung zu erhalten. Das speist sich auf der ganzen Linie und ich bin mir auch nicht sicher, ob ich die totale Trägheit richtig behandle.

— Futter
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Ich habe dies ursprünglich in der Physik gepostet, aber die einzige Antwort waren zwei Kommentare, die darauf hindeuten, dass ich hier frage. Ich habe die Frage dort inzwischen gelöscht, um Cross-Posting zu vermeiden.

— Chuck

Die Federkonstante kann anhand der Steifigkeit des Kabels (Young-Module) modelliert werden. Bei einer bestimmten Last wird sich das Kabel stärker dehnen, wenn es über eine längere Länge abgewickelt wird. Dies würde die Feder "umgekehrt" ungefähr umgekehrt proportional zur Länge des abgewickelten Kabels machen. Diese Spannung muss jedoch auch auf die Trommel übertragen werden, so dass diese Spannung auch in gewissem Maße im Kabel vorhanden ist, das auf die Trommel gerollt wird.

— Fibonatic

@fibonatic - Das ist der Plan. Die "gespeicherte" Spannung in der Trommel kann eine Art Hysterese oder Memory-Effekt erzeugen. Das sollte nicht zu schwer zu modellieren sein, aber der besondere Punkt, an dem ich gerade festhalte, ist die Bestimmung der Berechnung der Gesamtträgheit des Systems. Ich glaube nicht, dass ich die Lastmasse direkt verwenden kann, aber ich bin nicht sicher, wie ich sie mit der Feder (oder der Federauslenkung) modulieren soll.

— Chuck

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Berechnen wir zunächst das Modell. Das Steuerungsdesign ist eine separate Anstrengung.

Das auf die Trommel Drehmoment beträgt , wobei n das Übersetzungsverhältnis und die vom Motor erzeugte Leistung ist. , wobei eine Proportionalitätskonstante und der Motorstrom ist. $n T_M$ $T_M$ $T_M= K_T i(t)$ $K_T$ $i(t)$

Jetzt können wir die Gleichungen für das mechanische System schreiben:

m y^{″} (t) + m g - k (y (t) - r θ (t)) = 0

$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$

J θ^{″} (t) + k r (y (t) - r θ (t)) = n K_{T} i (t)

$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$

Hier ist m die Masse und k die Federkonstante.

Um die Motorgleichung zu schreiben, müssen wir die Gegen-EMK bestimmen. Die Gegen-EMK ist proportional zur Motordrehzahl und um sie als Trommeldrehzahl zu schreiben, multiplizieren wir sie auch mit dem Übersetzungsverhältnis n.

L i^{'} (t) + R i (t) + n K_{b} θ^{'} (t) = V (t)

$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$

Hier ist die angelegte Spannung, ist die Induktivität, ist der Widerstand und ist die Proportionalitätskonstante. $V(t)$ $L$ $R$ $K_b$

Diese drei Gleichungen haben als Eingang und , und als Zustände / Ausgänge. Dies kann verwendet werden, um das Zustandsraummodell oder das Übertragungsfunktionsmodell zu erhalten. (Die folgenden wurden unter Verwendung von Mathematica erhalten) $V(t)$ $i(t)$ $\theta (t)$ $y(t)$

Jetzt kann das Steuerungsdesign beginnen ...

Aktualisieren

Lassen Sie mich die Antwort klarstellen, da einige Verwirrung über die zu verwendende Trägheit besteht. Ich werde einen Satz Zahnrad im Getriebe zu übernehmen - ein Getriebe mit Trägheit auf der Trommelseite und ein Getriebe mit Trägheit auf der Motorseite. $J_1$ $J_2$

In der obigen Antwort habe ich die Trägheit der Zahnräder vernachlässigt. Die einzige Änderung, die jetzt vorgenommen werden muss, besteht darin, die zweite Gleichung wie folgt zu ändern.

(J + J_{1}) θ^{″} (t) + k r (y (t) - r θ (t)) = n i (t) K_{T}

$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$

Wenn die Gleichung zur Beschreibung der Übergangsdynamik der Motorwelle ebenfalls gewünscht wird, handelt es sich um eine zusätzliche Gleichung, die (Drehung der Motorwelle), die Trägheit usw. umfasst. Dies ist jedoch nicht erforderlich, wenn das Ziel die Steuerung ist die Trommelposition. $\theta_M$ $J_2$

— Suba Thomas
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Dies ist eine großartige Antwort, aber was genau verwenden Sie als in Ihrer Motordrehmomentgleichung? Nur die Trägheiten von Motor / Getriebe / Trommel?

J

$J$

— Chuck

1

Die Drehmomentgleichung, die ich geschrieben habe, ist nur für die Trommel. ist die Trägheit der Trommel. (Es kann komplizierter gemacht werden, wenn man sagt, dass die Trägheit variiert, wenn das Kabel gewickelt wird, das Kabel nicht masselos ist usw. Aber ich denke, die aktuellen Annahmen werden nicht problematisch sein.)

J

$J$

— Suba Thomas

@ Chuck, das war eine ziemliche Prämie. Vielen Dank!

— Suba Thomas

Kein Problem; Die Frage, die ich hatte, nervt mich schon lange. Ihre Antwort bestätigte mir, dass ich "zurück zu den Grundlagen" gehen muss - Ein Freikörperdiagramm. Ich sehe jetzt, dass die Frage (und meine Denkweise) ziemlich falsch war. Stellen Sie sich vor, ich hätte gefragt, wie ich den Luftwiderstand eines Flugzeugs als geschwindigkeitsabhängige Trägheit für das Flugzeug behandeln könnte. Wirklich, es ist eine dumme Frage - eine Kraft ist eine Kraft und eine Masse (oder Trägheit) nicht. Sie sind verwandt, aber nicht austauschbar. Nochmals vielen Dank für die Auffrischung der Dynamik!

— Chuck

4

Stretch im Frühling Delta Das Delta Y ist also nicht konstant, aber wenn Sie an Delt Y_max interessiert sind $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

Delta nach dem Hooks-Gesetz. Da Ihr System nur am Anfang und am Ende beschleunigt, vorausgesetzt, die Riemenscheibe startet und stoppt plötzlich, sind Sie maximal. Jede allmähliche Start / Stopp-Beschleunigung muss von der Beschleunigung der Feder abgezogen werden, die beträgt $Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

Betrachten des Freikörper-Massendiagramms
Wie Sie festgestellt haben, ist die Kraft $K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
dividiere beide Seiten durch K wir erhalten:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Ich hoffe das wird helfen.

— Kamran
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Ich interessiere mich nicht für statische Analysen - dies ist ein dynamisches System, das ich simulieren möchte. Ich bin auch nicht an der Frühlingsstrecke interessiert; Ich kann das berechnen, wenn ich die Motorbeschleunigung korrekt aktualisieren kann. Mein Problem ist die Bestimmung der Motorbeschleunigung. Es sollte , aber wie groß ist die Lastträgheit, wenn die Feder enthalten ist? Das ist der Kern meiner Frage. Ohne die Feder beträgt die Lastträgheit aus Sicht des Motors . Wie baue ich die Feder ein?

τ_{net} / J

$\tau_{\mbox{net}}/J$

m r^{2} {GB}^{2}

$mr^2\mbox{GB}^2$

— Chuck

Ich werde meine Antwort bearbeiten und versuchen, das System zumindest für eine Basisanregungsvibration einzurichten.

— Kamran

@Chuck Ich denke, dieser mit ein bisschen Modifikation wäre genau das, wonach du suchst. Erzwungene Vibrationen: math.ubc.ca/~israel/m215/forced/forced.html - Sehen Sie sich den dritten Fall an, in dem die Kraft durch Auf- und Abbewegen der Stütze entsteht.

— Kamran

Wenn Sie die dynamische Reaktion nicht wünschen, wenn das System den Start durchlaufen und sich in einer harmonischen Bewegung stabilisiert hat, aber interessiert sind, wie es zu dem Übergangszeitpunkt reagiert, zu dem sich die Trommel zu drehen beginnt, möchten Sie das Duhamel-Integral verwenden. Es zerlegt die Federkraft in kleine dx-Längen, wobei ihr Impuls auf das System wirkt und dann im Laufe der Zeit integriert wird. Dieses Integral heißt Faltungsintegral und Matlab hat es.

— Kamran

2

Mir ist klar, dass dies ein alter Faden ist, und ich bin mir nicht sicher, wie tief Sie einen Tauchgang gemacht haben, aber eine Sache, die ich in Ihren Gleichungen nicht berücksichtigt habe, ist die Reibung zwischen Trommel und Kabel. Dies ist klein, und wie die angesammelte Masse des gewickelten Stahldrahtseils, das Sie nicht aufgenommen haben, ist es möglicherweise nicht auf Ihrer Liste. Das Kabel kann vorgespannt und vorgespannt werden. Bei Bewegungen zwischen Kabel und Trommel aufgrund von Kabeldehnung tritt jedoch auch Reibung auf. In meiner Branche (Theater-Rigging, Bühnenmaschinendesign) berührt die Nut einen größeren Bereich als eine flache Trommelanwendung, und wir haben normalerweise zusätzliche Reibung entlang der Umleitungsscheiben und Maultiere im Liniensatz, was insbesondere in 2: 1 oder 4: 1 berücksichtigt wird. 1 mechanische Vorteilssysteme.

— Eggy
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Dies ist ein guter Vorschlag, danke. Haben Sie Designreferenzen oder andere Texte, die Sie verlinken könnten? Ich wundere mich speziell über Handelshandbücher oder ähnliches. Danke noch einmal!

— Chuck

Es gibt einige handelsspezifische Bücher, aber zum größten Teil ist alles Maschinenbau oder Physik, also das gleiche Maschinendesign und ähnliche Referenzen. Dinge wie Cat-0 E-Stops, die die Verwendung von Kettenmotoren und Traversen berücksichtigen, wie sie für Live-Events oder Rockkonzerte typisch sind, sind in temporären und permanenten Showinstallationen üblich. Ich habe Winden für Bühneneffekte, Handelsgeschwindigkeit für Transportkapazität oder umgekehrt entworfen, aber das alles ist im Maschinenbau oder in der angewandten Mathematik.

— Eggy

Ah okay, ich habe all diese dann lol. Immer auf der Suche nach einem guten Handbuch :)

— Chuck

1

Ich denke, der Ansatz von Suba Thomas liefert ein gutes Modell: Beginnen Sie mit der Summe der Kräfte an der Last und der Summe der Momente an der Trommel. Bestimmen Sie dann das benötigte Motormodell.

Das anfängliche Motormodell des Spannfutters benötigt ein steifes System, bei dem ein einzelner Wert für das Trägheitsmoment berechnet werden kann, während das Ziel des Modells ist:

Die Wechselwirkung, die ich untersuchen möchte, tritt auf, wenn der PI-Regler auf die erwartete Lastträgheit abgestimmt ist , die sich mit dem Motor, dem Getriebe, der Trommel und der Lastmasse ergibt , das System jedoch die Federmasse "sieht". $J$

Ein Hinweis zur Trägheit in der Trommelmomentgleichung von Suba Thomas: Vergessen Sie nicht, dass die Trägheit des Motors zur Trommel erhöht wurde. Je nach gewähltem Motor kann sein Einfluss erheblich sein. Also würde ich wählen $J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$

— jos
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Im Modell (in meiner Antwort) wird die Trägheit des Motors von der aktuellen Variablen erfasst. Was vernachlässigt wurde, waren die Auswirkungen der Zahnräder. Bitte sehen Sie meine aktualisierte Antwort.

— Suba Thomas