Mathematischer Beweis, dass die Effektivspannung mal der Effektivstrom die mittlere Leistung ergibt

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Ich weiß, dass dies wahr ist, weil ich es in einer seriösen Quelle gelesen habe. Ich verstehe auch intuitiv, dass die Leistung für eine ohmsche Last proportional zum Quadrat der Spannung oder des Stroms ist und dass das "S" in RMS für "Quadrat" steht. Ich suche einen harten mathematischen Beweis.

Lassen die aktuelle zum Zeitpunkt bezeichnen und ebenfalls zu diesem Zeitpunkt die Spannung bezeichnet. Wenn wir zu allen Zeitpunkten Spannung und Strom messen können und es Zeitpunkte gibt, dann ist die mittlere Scheinleistung: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Was ist ein eleganter mathematischer Beweis dafür?

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

erzielt das gleiche Ergebnis für ohmsche Lasten?

power math rms

— Phil Frost
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Wenn ich mich richtig erinnere, sollte es einen Beweis geben, der angibt, wie RMS die engste Annäherung an den tatsächlichen Wert eines Signals in der interessierenden Zeitdauer darstellt. Damit könnten wir wahrscheinlich beweisen, dass

. Leider scheint ich das Buch verloren zu haben, das den Beweis dafür hatte. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

RMS-Strom mal RMS-Spannung entspricht nicht der mittleren Leistung. Es entspricht der (mittleren) Scheinleistung. Wenn Sie nicht ohmsche Lasten haben, kann dies einen Unterschied machen.

— SomeoneSomewhereSupportsMonica

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Ohmsches Gesetz

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

Die momentane Verlustleistung ist das Produkt aus Spannung und Strom

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Ersetzen Sie 1 durch 2, um eine momentane Leistung durch einen Widerstand in Bezug auf Spannung oder Strom zu erhalten:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T} = P_{a v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— Stephen Collings
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Der sehr einfache Beweis (im diskreten Stichprobenfall in der Frage) ist die Substitution von I durch E / R in der RMS-Gleichung

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

und sehr einfache Algebra.

Und ja, dies ist wahr, weil angegeben ist, dass wir eine rein ohmsche Last haben, so dass kein Phasenwinkelproblem und keine Harmonische in I vorhanden sind, die nicht auch in E vorhanden ist.

BEARBEITEN

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (I_{1}^{2} + I_{2}^{2} + \dots + I_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

I_{i} = V_{i} / R

$I_i = V_i/R$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

dann:

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

1 / R ^ 2 herausziehen

I_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

so:

V_{R M S} * I_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

Verteilen des 1 / R:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Verwenden Sie erneut die Ohmsche Gesetzesersetzung:

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

welches ist:

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
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Wenn die Algebra einfach ist, können Sie uns zeigen? Sie können LaTeX-Markup verwenden, um die Mathematik zu setzen.

— Phil Frost

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Danke für die Ermutigung. Ich hatte LaTex seit 1983 nicht mehr benutzt.

— George White

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Der Schlüssel ist, dass für eine ohmsche Last die Spannung und der Strom in Phase sind.

$\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

$1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

$\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Um die Frage zu beantworten, werden die Effektivspannung und der Effektivstrom basierend auf der mittleren Leistung definiert: Jede wird aus der Quadratwurzel der mittleren Leistung abgeleitet. Durch Multiplizieren von zwei Werten, die aus der Quadratwurzel der mittleren Leistung erhalten werden, wird die mittlere Leistung wiederhergestellt.

— Kaz
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Ich denke, Stephen Collings Antwort ist die beste. Es basiert nicht auf den Details der Wellenform und deckt den Continuos-Fall ab. "Die quadratische mittlere Spannung oder der quadratische Mittelwert sind die äquivalenten Gleichspannungen und Ströme, die im Laufe der Zeit die gleiche Verlustleistung erzeugen" scheint die Frage zu beantworten, indem man die Antwort annimmt und dann in einem Kreis geht, um die Antwort zu erhalten.

— George White

-2

Vereinfachen wir dieses Problem ohne Mathematik. Nehmen Sie diese einfache Schaltung, die eine Rechteckwellenform mit einer Periode von 10 Sekunden erzeugt.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Spannung ist so

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

und aktuell ist

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dann wird die Leistungswellenform sein

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wenn der Schalter geöffnet ist, wird der Widerstand nicht mit Strom versorgt, sodass die Gesamtenergie 10 Watt x 5 Sekunden = 50 Joule beträgt. Dies entspricht der Leistung von 5 Watt in 10 Sekunden Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

und das ist die durchschnittliche Leistung. Die durchschnittliche Spannung beträgt 5 Volt und der durchschnittliche Strom beträgt 0,5 Ampere. Bei einfacher Berechnung ergibt die durchschnittliche Leistung 2,5 Watt oder 25 Joule, was nicht stimmt.

Machen wir diesen Trick mit DIESER BESTELLUNG:

Quadrieren Sie zuerst die Spannung (und den Strom)
Zweitens nehmen Sie den Durchschnitt des Quadrats
Nehmen Sie dann die Quadratwurzel des Durchschnitts

Das Quadrat der Spannungswellenform ist

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Und der Durchschnitt liegt bei 50 V ^ 2 (nicht 50 ^ 2 Volt). Ab diesem Punkt vergessen Sie die Wellenform. Nur Werte. Die Quadratwurzel des obigen Werts ist 7.071… Volt RMS. Wenn Sie dasselbe mit dem Strom tun, werden 0,7071 .. A RMS gefunden. Die durchschnittliche Leistung beträgt 7,071 V x 0,7071 A = 5 Watt

Wenn Sie versuchen, dasselbe mit RMS-Leistung zu tun, ergibt sich ein Mittelwert von 7.071 Watt.

Die einzige äquivalente Heizleistung ist also die durchschnittliche Leistung, und die einzige Möglichkeit zur Berechnung besteht darin, die Effektivwerte von Spannung und Strom zu verwenden

— GR Tech
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Können wir die in einem Widerstand verbrauchte durchschnittliche Leistung nicht als Durchschnitt der momentanen Leistung berechnen? Wo ist der mathematische Beweis, dass das OP angefordert hat?

— Joe Hass

Für einige komplexe Wellenformen außerhalb des Kurses müssen wir sie in Zeitintervallen nahe Null integrieren, um genaue Durchschnittswerte zu erhalten. Ich vermeide es, überhaupt Mathe zu verwenden, deshalb verwende ich Rechteckwellen, bei denen die Bedeutung des Durchschnitts sehr leicht zu erkennen ist. RMS ist auch ein Durchschnittswert.

— GR Tech

Es scheint mir, dass Sie zeigen, dass die tatsächliche durchschnittliche Leistung 5 Watt beträgt und dass RMS V * RMS I = 5 Watt ist, was in diesem Fall zeigt, dass das OP korrekt ist. Sie zeigen auch, dass in diesem Fall der Durchschnitt V * Durchschnitt I = 2,5 Watt ist.

— George White

OK ich verstehe. Wieder Sprachproblem. Ich habe versucht zu sagen, dass die Berechnung Vavg x Iavg nicht korrekt ist. Danke, dass du mich entmutigt hast!

— GR Tech

Wenn "RMS ist auch ein Durchschnittswert", warum ist der Effektivwert der Netzspannung dann nicht gleich 0,0 V wie der Durchschnittswert?

— Joe Hass