Unterschied zwischen natürlicher Reaktion und erzwungener Reaktion?

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Das Zeitverhalten eines Systems ist die zeitliche Entwicklung der Variablen. In Schaltungen wären dies die Wellenformen von Spannung und Strom gegen die Zeit.

Natürliche Reaktion ist die Reaktion des Systems auf Anfangsbedingungen, bei denen alle äußeren Kräfte auf Null gesetzt sind. In Schaltkreisen wäre dies die Reaktion des Schaltkreises mit Anfangsbedingungen (Anfangsströme an Induktivitäten und Anfangsspannung an Kondensatoren zum Beispiel), wobei alle unabhängigen Spannungen auf Null Volt (Kurzschluss) und Stromquellen auf Null Ampere (offener Stromkreis) eingestellt sind ). Die natürliche Reaktion der Schaltung wird durch die Zeitkonstanten der Schaltung und im Allgemeinen durch Wurzeln der Charakteristikgleichung (Pole) bestimmt.

Die erzwungene Reaktion ist die Reaktion des Systems auf einen externen Reiz ohne Anfangsbedingungen. In Schaltkreisen wäre dies nur die Reaktion des Schaltkreises auf eine externe Spannungs- und Stromquellen-Forcierungsfunktion ... lesen Sie weiter

Fragen

1. Wie kann es überhaupt eine natürliche Reaktion geben? Muss etwas eingegeben werden, um eine Ausgabe zu erstellen? So wie ich es sehe, ist es, als würde man die Hauptwasserleitung drehen und dann den Wasserhahn aufdrehen und erwarten, dass Wasser austritt.

2. Wie können wir v(t)(über den obigen Link) gelöst werden, wenn wir es nicht wissen dv(dt), um die natürliche Antwort zu finden?

3. Wenn Sie bitte die beiden Konzepte (natürliche Reaktion und erzwungene Reaktion) erweitern können, indem Sie ihre Unterschiede in Laienbegriffen erläutern, wäre dies sehr schön.

1. Gegeben eine Gleichung 10dy/dt + 24y = 48bedeutet rate of change of output + 24 * output = 48. Die Anfangsbedingungen sind y(0)=5und dy/dt=0.
   • Das würde bedeuten, dass die Eingabe lautet. 48/(24*5)Ist das eine korrekte Annahme? Die Lösung dafür 0.4ist die konstante Eingabe?

Stellen Sie sich in der realen Welt ein einfaches mechanisches System wie eine elastische Stange oder einen Block vor, der an einer Feder gegen die Schwerkraft befestigt ist. Wann immer Sie dem System einen Impuls geben (zum Block oder zur Stange), beginnen sie eine Schwingung und bald hören sie auf, sich zu bewegen.

Es gibt Möglichkeiten, wie Sie ein solches System analysieren können. Die zwei häufigsten Wege sind:

1. Komplettlösung = homogene Lösung + bestimmte Lösung

2. Vollständige Antwort = Natürliche Reaktion (Null-Eingabe) + erzwungene Antwort (Null-Zustand)

Da das System dasselbe ist, sollten beide dieselbe endgültige Gleichung ergeben, die dasselbe Verhalten darstellt. Sie können sie jedoch trennen, um besser zu verstehen, was jeder Teil physikalisch bedeutet (insbesondere die zweite Methode).

Bei der ersten Methode denken Sie mehr aus der Sicht eines LTI-Systems oder einer mathematischen Gleichung (Differentialgleichung), in der Sie die homogene Lösung und dann die jeweilige Lösung finden können. Die homogene Lösung kann als vorübergehende Reaktion Ihres Systems auf diese Eingabe (plus deren Anfangsbedingungen) angesehen werden, und die bestimmte Lösung kann als permanenter Zustand Ihres Systems nach / mit dieser Eingabe angesehen werden.

Die zweite Methode ist intuitiver: Natürliche Reaktion bedeutet, wie das System auf seinen Ausgangszustand reagiert. Und erzwungene Reaktion ist die Systemreaktion auf diese gegebene Eingabe, jedoch ohne Anfangsbedingungen. Wenn Sie an die Stange oder das Blockbeispiel denken, die ich gegeben habe, können Sie sich vorstellen, dass Sie die Stange irgendwann mit Ihren Händen gedrückt haben und sie dort halten. Dies kann Ihr Ausgangszustand sein. Wenn Sie es einfach loslassen, schwingt es und hört dann auf. Dies ist die natürliche Reaktion Ihres Systems auf diesen Zustand.

Sie können es auch loslassen, geben dem System aber dennoch etwas zusätzliche Energie, indem Sie es wiederholt treffen. Das System reagiert wie zuvor auf natürliche Weise, zeigt jedoch aufgrund Ihrer zusätzlichen Treffer auch ein zusätzliches Verhalten. Wenn Sie die vollständige Antwort Ihres Systems mit der zweiten Methode finden, können Sie deutlich sehen, wie sich das System aufgrund dieser Anfangsbedingungen auf natürliche Weise verhält und wie das System reagiert, wenn nur die Eingabe erfolgt (ohne Anfangsbedingungen). Beide zusammen repräsentieren das gesamte Verhalten des Systems.

Beachten Sie, dass die Nullzustandsantwort (erzwungene Antwort) auch aus einem "natürlichen" Teil und einem "bestimmten" Teil bestehen kann. Dies liegt daran, dass selbst ohne Anfangsbedingungen, wenn Sie dem System eine Eingabe geben, es eine Einschwingreaktion + eine permanente Zustandsreaktion hat.

Beispielantwort: Stellen Sie sich vor, Ihre Gleichung repräsentiert die folgende Schaltung:

Welches Ihr Ausgang y (t) ist der Stromkreis. Stellen Sie sich vor, Ihre Quelle ist eine Gleichstromquelle mit +48 V. Auf diese Weise erhalten Sie, wenn Sie die Summe der Elementspannung in diesem geschlossenen Pfad summieren:

$\epsilon=V_L+V_R$

Wir können die Induktorspannung und die Widerstandsspannung in Bezug auf den Strom umschreiben:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Wenn wir eine Stromquelle von +48 VDC und L = 10H und R = 24 Ohm haben, dann:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

Das ist genau die Gleichung, die Sie verwendet haben. Ihre Eingabe in das System (RL-Schaltung) ist also eindeutig Ihre Stromversorgung von nur +48V. Also deine Eingabe = 48.

Die Anfangsbedingungen, die Sie haben, sind y (0) = 5 und y '(0) = 0. Physikalisch bedeutet dies, dass mein Strom der Schaltung zum Zeitpunkt = 0 5A beträgt, aber nicht variiert. Sie können denken, dass zuvor etwas in der Schaltung passiert ist, das einen Strom in der Induktivität von 5A hinterlassen hat. In diesem gegebenen Moment (Anfangsmoment) hat es noch diese 5A (y (0) = 5), aber es nimmt nicht zu oder ab (y '(0) = 0).

Lösung:

Wir nehmen zunächst die natürliche Antwort im Format an:$Ae^{st}$

und dann werden wir das Systemverhalten aufgrund seines Anfangszustands finden, als ob wir keine Stromversorgung hätten ( ), was die Null-Eingangs-Antwort ist:$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

So,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Da wir wissen, dass i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

Beachten Sie, dass bis jetzt alles konsistent ist. Diese letzte Gleichung repräsentiert die Systemantwort ohne Eingabe. Wenn ich t = 0 setze, finde ich i = 5, was der Anfangsbedingung entspricht. Und wenn ich setze, finde ich i = 0, was auch Sinn macht, wenn ich keine Quelle habe.$t=+\infty$

Nun können wir die spezielle Lösung für die Gleichung finden, die den permanenten Zustand aufgrund des Vorhandenseins der Stromversorgung (Eingang) darstellt:

wir nehmen nun an, dass wobei ein konstanter Wert ist, der die Systemausgabe im permanenten Zustand darstellt, da die Eingabe auch eine Konstante ist. Für jedes System hängt das Ausgabeformat vom Eingabeformat ab: Wenn der Eingang ein sinusförmiges Signal ist, ist auch der Ausgang. In diesem Fall haben wir nur konstante Werte, was die Sache einfacher macht.$i(t)=c$$c$

So,

$\frac{di}{dt}=0$

dann,

$48 = 0.10 + 24c$ (unter Verwendung der Differentialgleichung)

$c=2$

$i(\infty)=2$

Das macht auch Sinn, weil wir eine Gleichstromversorgung haben. Nach dem Einschwingverhalten beim Einschalten der Gleichstromversorgung verhält sich der Induktor wie ein Draht und wir haben eine Widerstandsschaltung mit R = 24 Ohm. Dann sollten wir 2A Strom haben, da das Netzteil über 48 V verfügt.

Beachten Sie jedoch, dass wir, wenn ich nur beide Ergebnisse hinzufüge, um die vollständige Antwort zu finden, Folgendes haben:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Jetzt habe ich die Dinge im Übergangszustand durcheinander gebracht, denn wenn ich t = 0 setze, werden wir i = 5 nicht mehr wie zuvor finden. Und wir müssen i = 5 finden, wenn t = 0 ist, weil es eine gegebene Anfangsbedingung ist. Dies liegt daran, dass die Zero-State-Antwort einen natürlichen Begriff hat, der nicht vorhanden ist und auch das gleiche Format hat, das wir zuvor gefunden haben. Fügen Sie es dort hinzu:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

Die Zeitkonstante ist dieselbe, so dass wir nur noch B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

Und das wissen wir:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$ (t = 0)

So,

$B=-2$

Dann lautet Ihre Komplettlösung:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

Sie können sich diesen letzten Term als Korrekturterm für die erzwungene Reaktion vorstellen, die den Anfangsbedingungen entspricht. Eine andere Möglichkeit, es zu finden, besteht darin, sich dasselbe System vorzustellen, aber nein, ohne Anfangsbedingungen. Dann hätten wir den ganzen Weg wieder gelöst:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Aber da wir jetzt die Anfangsbedingungen (i (0) = 0) nicht berücksichtigen, dann:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

Und wenn t = 0:

$A=-2$

Die erzwungene (Null-Status-) Antwort Ihres Systems lautet also:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Es ist ein bisschen verwirrend, aber jetzt können Sie Dinge aus verschiedenen Perspektiven betrachten.

-Homogene / Besondere Lösungen:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Der erste Term (2) ist die spezielle Lösung und repräsentiert den permanenten Zustand. Der Rest der rechten Seite ist das Einschwingverhalten, auch homogene Lösung der Gleichung genannt. Einige Bücher nennen dies auch natürliche Reaktion und erzwungene Reaktion, da der erste Teil der erzwungene Teil (aufgrund der Stromversorgung) und der zweite Teil der vorübergehende oder natürliche Teil (Systemcharakteristik) ist. Dies ist meiner Meinung nach der schnellste Weg, um die vollständige Antwort zu finden, da Sie den permanenten Zustand und eine natürliche Antwort nur einmal finden müssen. Aber vielleicht ist nicht klar, was was darstellt.

-Zero-Eingang / Null-Zustand:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

Beachten Sie, dass dies dieselbe Gleichung ist, der zweite Term jedoch in zwei Teile geteilt ist. Die ersten beiden Terme ( ) repräsentieren nun die . Mit anderen Worten, was würde mit dem System passieren, wenn es keinen Anfangsstrom gäbe und Sie die + 48V-Stromquelle einschalten würden.$2 - 2e^{-2,4t}$

Der zweite Teil ( ) repräsentiert die Null-Eingabe-Antwort. Es zeigt Ihnen, was mit dem System passieren würde, wenn kein Eingang gegeben würde (die Stromquelle blieb bei 0 V). Es ist nur ein exponentieller Term, der auf Null gehen würde, da er keine Eingabe hat.$5e^{-2,4t}$

Einige Leute nennen dieses natürliche / erzwungene Antwortformat auch. Der natürliche Teil wäre Zero-Input und der Forced-Teil wäre der Zero-State, der sich übrigens aus einem natürlichen Begriff und einem bestimmten Begriff zusammensetzt.

Auch hier erhalten Sie alle das gleiche Ergebnis, das das gesamte Situationsverhalten einschließlich der Stromquelle und der Anfangsbedingungen darstellt. Beachten Sie nur, dass es in einigen Fällen nützlich sein kann, die zweite Methode zu verwenden. Ein gutes Beispiel ist, wenn Sie Faltungen verwenden und möglicherweise die Impulsantwort auf Ihr System mit Zero-State finden. Wenn Sie diese Begriffe brechen, können Sie die Dinge möglicherweise klarer sehen und auch einen angemessenen Begriff verwenden, um sich zu falten.

Wie kann es überhaupt eine natürliche Reaktion geben? Muss etwas eingegeben werden, um eine Ausgabe zu erstellen?

Wenn es hilft, stellen Sie sich die natürliche Reaktion als erzwungene Reaktion auf eine Impulseingabe vor.

So wie ich es sehe, ist es, als würde man die Hauptwasserleitung drehen und dann den Wasserhahn aufdrehen und erwarten, dass Wasser austritt.

Stellen Sie sich vor, die Wasserleitung ist an einen großen Vorratsbehälter angeschlossen, wie er in Brunnenwassersystemen verwendet wird, und Sie schließen das Ventil an der Wasserleitung.

Der Tank wurde mit Wasser gefüllt und unter Druck gesetzt, bevor Sie das Ventil geschlossen haben. Dies ist die Ausgangsbedingung .

Wenn Sie den Wasserhahn öffnen, tritt Wasser aus . Der Vorratsbehälter liefert für einige Zeit Wasser, wenn sich der Vorratsbehälter leert und der Druck am Wasserhahn abfällt. Dieser schwindende Wasserfluss und der abfallende Druck wären die natürliche Reaktion des Systems.

Nachdem sich der Vorratsbehälter geleert hat, öffnen Sie schnell das Wasserhauptventil, während der Hahn noch geöffnet ist.

Der größte Teil des Wasserflusses dient zunächst zum "Laden" des Vorratsbehälters, und während sich der Tank füllt und Druck aufbaut, fließt das Wasser mit zunehmender Geschwindigkeit aus dem Wasserhahn, bis der Tank voll ist und sich Durchfluss und Druck stabilisieren.

Dies ist die erzwungene Antwort auf eine Stufeneingabe .

Dies ist das Problem bei Lehrbüchern, die nicht alles klar definieren, damit jeder die Definitionen verstehen kann. Bei der natürlichen Reaktion handelt es sich tatsächlich um ein System, das (irgendwann) so „aufgeladen“ wurde, dass Energiespeicherelemente eine gewisse Menge an Anfangsenergie enthalten, die sich in einer Anfangsspannung in einem Kondensator oder einem Anfangstrom in einer Induktivität niederschlagen kann. Diese ergeben die Anfangszustandswerte für Kondensatoren oder Induktivitäten. Dann wird zum Zeitpunkt t = 0 angenommen, dass die magische Quelle, die für die Erregung des Stromkreises verantwortlich war, sofort entfernt wird. Wenn die magische Quelle eine Spannungsquelle gewesen wäre, könnte "Entfernen" bedeuten, sie physisch zu entfernen oder sie aus dem Stromkreis zu schalten. Zum Zeitpunkt t = 0, Die natürliche Reaktion ist nur das Verhalten eines Stroms durch einen Induktor oder Kondensator oder einer Spannung über einem Kondensator oder Induktor. Und die Schaltung wird nur von diesen anfänglich geladenen Komponenten gespeist (da wir ab der Zeit t = 0 keinen 'externen' Quelleneingang annehmen).

Für die natürliche Reaktion ist es also wirklich ein Fall, in dem "einmal" ein externer Eingang vorhanden war, um die Anfangsbedingungen in den Induktivitäten und Kondensatoren zu erzeugen. Wenn das System zunächst nicht aufgeladen wäre, so dass alle Kondensator- und Induktorspannungen und -ströme anfangs Null wären, wie würde dann das System natürlich reagieren? Antwort: Null.

Die erzwungene Antwort ist nun die Antwort einer Schaltung (wie z. B. ein Spannungs- oder Stromverhalten) für den Fall, dass wir davon ausgehen, dass Induktivitäten und Kondensatoren zunächst keine Anfangsenergie haben, was bedeutet, dass in diesen Komponenten keine Anfangsspannung oder Anfangströme vorhanden sind . Und dann üben wir plötzlich eine externe Kraft (Quelle) auf den Eingang der Schaltung aus. Das Verhalten von Strömen und / oder Spannungen der Schaltung für dieses Szenario wird nur mit einem Namen versehen, der als erzwungene Reaktion bezeichnet wird. Grundsätzlich handelt es sich um eine Reaktion auf eine Quelleneingabe, die auf der Annahme basiert, dass wir mit NULL-Energie-Anfangsbedingungen in Induktivitäten und Kondensatoren begonnen haben.

Sobald wir Methoden verwendet haben, um die natürliche Antwort und die erzwungene Antwort bequem zu erhalten, addieren wir einfach beide Teile, um das vollständige Bild zu erhalten. Ein bisschen wie ein Überlagerungsprinzip.

Ich kenne den Begriff "erzwungene Reaktion" in diesem Zusammenhang nicht, aber hier geht es weiter. Viele Systeme können als erste Ordnung plus Totzeit (FOPDT) charakterisiert werden. Die "natürliche Reaktion" eines solchen Systems auf einen Reiz ist eine anfängliche Verzögerung, gefolgt von einer exponentiellen Annäherung an einen neuen stationären Zustand.

Stellen Sie sich ein Heizelement vor, das von einer variablen Spannungsquelle gespeist wird. Anfangsbedingungen sind Ausschalten und Heizung bei Umgebungstemperatur. Schalten Sie bei etwa 10 Volt ein. Für kurze Zeit (die Totzeit) ändert sich die Heizertemperatur nicht. Die Temperatur beginnt dann zunächst schnell anzusteigen und setzt sich dann allmählich in einem neuen stationären Zustand ab. Wenn Sie die Zeiten sorgfältig eingehalten haben, haben Sie drei natürliche Merkmale des Systems:

1. Verstärkung - ausgedrückt als Grad / Volt. Wenn die 10 Volt eine Verstärkung von 20 Grad verursachen, ist die Verstärkung = 2. Für einen 20-Volt-Eingang sollten Sie also einen Anstieg von 40 Grad gegenüber der Umgebung erwarten.
2. Totzeit - Verzögerung, die als Reaktion auf eine Änderung der Eingabe zu erwarten ist. (Trägheit)
3. Zeitkonstante oder Eigenfrequenz - Die Zeit vom Beginn der Änderung bis zum stationären Zustand beträgt 5 Zeitkonstanten. (wie das Laden eines Kondensators)

Mit diesen Daten können Sie vorhersagen, wie viel Temperaturänderung für eine bestimmte Spannungsänderung zu erwarten ist und wie lange dies dauern wird, dh wie natürlich reagiert.

Ich gehe davon aus, dass eine „erzwungene Reaktion“ eine Überstimulation des Systems zur Folge hätte, um ein schnelleres Ergebnis zu erzielen. Um 30 Grad zu erhöhen, müssen wir den Eingang um 15 Volt erhöhen. Durch kurzes Erhöhen der Spannung um 25 Volt und anschließendes Zurücksetzen von 10 Volt könnten wir die gewünschte Endtemperatur schneller erreichen, dh eine schnellere Reaktion erzwingen.