Unter welchen Bedingungen ist die Sternnetztransformation invertierbar?

Wir alle kennen und lieben die Transformationen Δ-Y (Delta-Stern) und Y-Δ (Stern-Dreieck) zur Vereinfachung von Drei-Widerstands-Netzen:

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Die Δ-Y- und Y-Δ-Transformationen haben die nette Eigenschaft, dass ein Δ immer in ein Y und ein Y immer in ein Δ umgewandelt werden kann, unabhängig vom Wert der beteiligten Widerstände.

Es gibt eine verallgemeinerte Version der Y-Δ-Transformation, die als Sternnetztransformation bezeichnet wird . Dies wandelt einen "Stern" von Widerständen in ein "Geflecht" von Widerständen um.$N$$^{N}C_{2}$

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Wikipedia schlägt vor, dass die Stern-zu-Netz-Transformation immer existieren wird - aber dass die inverse Transformation, Netz-zu-Stern, möglicherweise nicht existiert. Nämlich:

Die Transformation ersetzt N Widerstände durch Widerstände. Für N> 3 ist das Ergebnis eine Erhöhung der Anzahl der Widerstände, so dass die Transformation ohne zusätzliche Einschränkungen keine allgemeine Inverse aufweist.$^{N}C_{2}$

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Inverse existiert?

Ich bin besonders daran interessiert, ein 4-Knoten-Maschennetz in ein 4-Widerstands-Sternnetz umzuwandeln.

Motivation für die Frage: Ich habe ein industrielles Energiesystemmodell (eigentlich nur ein sehr großes Netzwerk von Konstantspannungsquellen und Impedanzen) mit ~ 2.000 Knoten. Ich versuche, es auf nur vier Knoten von Interesse zu reduzieren.

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Es gibt einige veröffentlichte Artikel zu diesem Thema.

• Versfeld, L., "Bemerkungen zur Sterngitter -Transformation elektrischer Netze", Electronics Letters, Band 6, Nr. 19, S. 597.599, 17. September 1970

  Zwei neue Aspekte der bekannten Sternnetztransformation werden untersucht: (a) die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für die Transformation eines gegebenen allgemeinen Maschennetzes in ein äquivalentes Sternnetz; b) eine Ausweitung auf Netze, die Quellen enthalten.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Mesh-Star Transformation", Electronics Letters, Band 10, Nr. 6, S. 73, 74, 21. März 1974

  Ein äquivalentes Sternennetz existiert für ein gegebenes Maschennetz, wenn dieses die Wheatstone-Beziehung erfüllt. Anhand dieser Tatsache wird gezeigt, dass alle nichtdiagonalen Cofaktoren der Datenknoten-Admittanzmatrix eines solchen Maschennetzwerks gleich sind. Aus dieser Eigenschaft wird eine einfache Beziehung zwischen den Elementen der beiden Netzwerke abgeleitet.

Ich habe keinen IEEE Xplore-Zugriff und kann sie daher nicht lesen.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$

Ich nehme an, all dies bedeutet, dass die Bedingung auch eine ausreichende Bedingung ist.

Dies besagt (ob es wahr ist oder nicht), dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, einem Sternnetzwerk aus fünf Widerständen Werte zuzuweisen, sodass alle Konfigurationen gemäß allen externen "Blackbox" -Widerstandsmessungen nicht unterscheidbar erscheinen.

Die Maschentransformation ist hier ein roter Hering. Wenn die Sternennetzwerke eindeutig bestimmt wären, gäbe es natürlich immer eine Umkehrung einer Zuordnung von diesem Netzwerk zu einem anderen Typ, zurück zu diesem Netzwerk.