Toleranz von Spannungsteilern mit unterschiedlichen Werten für R1 und R2

Wenn ich zwei 1k-Widerstände mit einer Nennspannung von 1% habe, die von einer perfekten 10-V-Quelle gespeist werden, wie hoch ist dann der garantierte Ausgang? 5V ± 1% oder 5V ± 2% oder ein anderer Wert?

Ich kann diesen Fall leicht herausfinden, nehme an, dass R1 am Minimum ist, R2 am Maximum ist, dann ist der Ausgang 4,95 V; im umgekehrten Fall sind es 5,05 V, was ± 1% entspricht.

Aber gibt es eine allgemeine Regel für unterschiedliche Werte? Was ist mit unterschiedlichen Toleranzen - was wäre, wenn ein Widerstand ± 0,1% und einer ± 1% wäre? Während Sie es herausfinden können, indem Sie Werte in die Spannungsteilerformel einfügen, suche ich nach einer allgemeinen Faustregel.

Ich denke, Sie fragen nach einer Sensitivitätsanalyse von f (x, y) = x / (x + y). Da es zwei Variablen gibt, mache ich zuerst eine allgemeine Analyse und betrachte dann die Abhängigkeit von jeder Variablen separat. Da Sie sich möglicherweise nicht für die Algebra interessieren, habe ich versucht, jeden Fall nach der fett gedruckten Überschrift zusammenzufassen.

Die schlechte Nachricht ist, dass die Toleranz für die gemessene Spannung sehr weit von der vorhergesagten Spannung entfernt sein kann, 1000000% oder mehr relativer Fehler. Die gute Nachricht ist, dass es in vernünftigen Fällen nur ein bisschen mehr als doppelt so schlecht sein kann wie die Widerstandstoleranzen, und oft kann man es viel besser machen.

Wenn X x sein soll, ist der vorzeichenbehaftete relative Fehler (Xx) / x = dx und X = x * (1 + dx). Wenn dx 1% = 0,01 ist, dann ist X x * 101%, und wenn dx -1% ist, dann ist X x * 99%. Mit anderen Worten, wir kümmern uns um X = x * (1 + dx).

Wenn X der Widerstand von R1 ist und Y der Widerstand von R2 ist, wobei R1 und R2 in Reihe + 10 V mit Masse verbunden sind, ist die gemessene Spannung mit einer Sonde zwischen R1 und R2 und der anderen Sonde an Masse f (X, Y) = X / (X + Y), aber es sollte f (x, y) = x / (x + y) sein.

Wenn x zu X = x * (1 + dx) und y zu Y = y * (1 + dy) wechselt, ändert sich f (x, y) zu f (X, Y):

x * (1 + dx) / (x * (1 + dx) + y * (1 + dy))

Der relative Fehler ist:

E (x, y, dx, dy) = | f (x, y) - f (X, Y) | / f (x, y) = (x / (x + y) - x * (1 + dx) / (x * (1 + dx) + y * (1 + dy)) / (x / (x +) y))

was vereinfacht zu:

Genauer relativer Fehler

E (x, y, dx, dy) = y * | dy-dx | / (X + Y)

Diese Formel ist nicht schlecht, um Werte einzufügen, und es ist nicht schlecht, in bestimmten Fällen zu analysieren.

Schnelle symmetrische Bindung

Angenommen, | dx | und | dy | sind begrenzt durch 0 ≤ e <100%, dies ist begrenzt durch:

E ≤ 2 * y * e / ((x + y) * (1-e)) = y / (x + y) * 2 * (e + e * e + e * e * e + ...)

Wenn zum Beispiel x = R1 = 1K und y = R2 = 1K und dx = 1% = 0,01 und dy = -1% = -0,01, erhalten Sie den relativen Fehler E = 1% = 0,01. Die Grenze, die ich gegeben habe, ist etwas locker, da sie 1,0101 ...% vorhersagt, aber wahrscheinlich ist dies keine allzu große Sache.

Großer R1

Wenn R1 im Vergleich zu R2 sehr groß ist, sinkt der relative Fehler erheblich.

Wenn x → ∞, dann ist E (x, y, dx, dy) → 0.

Es geht ungefähr so ​​schnell auf Null 1 / x: x * E (x, y, dx, dy) → y * (dx-dy) / (1 + dx).

Dies ist nicht allzu überraschend: Wenn Sie einen offenen Stromkreis mit +10 V an Ihrer Sonde und die andere Sonde an R2 an Masse angeschlossen haben, ist der Strom 0 und beide Anschlüsse von R2 bleiben bei + 0V, sodass Sie + messen 10V unabhängig vom Wert von R2.

Großes R2

Wenn R2 im Vergleich zu R1 sehr groß ist, kann der relative Fehler sehr groß sein, aber für vernünftige Toleranzen für R1 und R2 ist E nur etwas mehr als doppelt so schlecht.

Wenn y → ∞, dann ist r (x, y, dx, dy) → | dx-dy | / (1 + dx).

Wenn dy = -dx = 0,10 = 10%, erhalten Sie 22% Fehler (etwas mehr Bräune doppelt so schlecht).

Wenn dy = -dx = 0,50 = 50%, dann ist r = 2 = 200% relativer Fehler (viermal so schlecht).

Da dx → 1 = 100%, r → ∞ (unendlich schlechter).

Wenn | dx | und | dy | sind begrenzt durch e <1 = 100%, dann ist r für großes y durch 2e / (1-e) begrenzt, was etwas größer als doppelt so groß wie e ist.

Wenn dy = -dx = 0,01 = 1%, erhalten Sie E = 2 * 1% / (99%) = 2,0202…% relativer Fehler bei der gemessenen Spannung (etwas mehr als doppelt so schlecht).

Wenn dy = -dx = 0,001 = 0,1%, erhalten Sie 2 * 0,1% / (99,9%) = 0,2002002…% relativer Fehler (etwas mehr als doppelt so schlimm).

Asymmetrische Toleranzen

Wenn R2 sehr genau ist und R1 ≈ R2, dann ist der Fehler höchstens etwas mehr als halb so schlimm.

Wenn dy = 0, dann ist E = dx * y / (X + y) und wenn x = y, dann ist E = dx / (2 + dx).

Wenn -dx = 0,01%, dann ist E = 0,01 / 1,99 = 0,005025… = 0,5025…% (etwas mehr als halb so schlecht).

Zwei beliebige Toleranzen unterscheiden sich um einen Faktor von mindestens 5 (wie in 5% gegenüber 1%). Als grobe Annäherung können Sie den Effekt der kleineren ignorieren. Dies bedeutet, dass am Rand des Toleranzbereichs die Spannung in der Mitte des Teilers um einen Prozentsatz abweicht, der ungefähr der Hälfte der größeren Toleranz entspricht.

Beachten Sie, dass dies nur gilt, wenn die beiden Widerstände ähnliche Größen haben, wie in Ihrem 1k-Beispiel. Wenn der Teiler aus einem 1k- und einem 100k-Widerstand besteht, kann ein Fehler im größeren Widerstand den kleineren Widerstand in den Schatten stellen.

Wenn Sie eine Reihe von Komponenten mit unterschiedlichen Toleranzen haben, führen Sie eine Monte-Carlo-Analyse durch, um festzustellen, welches Risiko der schlimmste Fall ist, aber auch, was ein wahrscheinlicher Fall ist, da es nicht wahrscheinlich ist, dass jede Komponente am schlimmsten ist. Dies wird so detailliert, wie Sie es machen möchten.

Keine Faustregel für unterschiedliche Toleranzen.

Nehmen Sie R2 zwischen Vout und GND an.

Ihre obige Mathematik gilt nur für R1 = R2. Das heißt, wenn R1 = R2 beide mit gleicher Toleranz sind, hat Ihr Ausgang eine Toleranz, die der Widerstandstoleranz entspricht. Wenn R1! = R2 und die Toleranzen jedes Widerstands gleich sind, nähert sich der Gesamtfehler logarithmisch 200% der Toleranz eines indikativen Widerstands, wenn das Verhältnis von R1 zu R2 zunimmt. Wenn R1 100-mal größer als R2 ist, ist die Ausgangstoleranz ungefähr doppelt so groß wie die Toleranz eines einzelnen Widerstands. Ich überlasse die Umkehrung Ihnen zur Berechnung.

Wenn die Ausgangstoleranzen nicht gleich sind, haben Sie der Gleichung eine zusätzliche Variable hinzugefügt. Sie würden sich eine mehrdimensionale Gleichung ansehen und versuchen, Maxima und Minima zu lokalisieren, um die Vout-Toleranz zu bestimmen, was nicht trivial ist. Verwenden Sie daher für beide Widerstände die gleiche Toleranz.