Warum erleichtert die Erhöhung der Abtastrate die Implementierung eines Anti-Aliasing-Filters?

Aus einer Antwort auf eine Frage zu Abtastrate und Anti-Aliasing-Filter habe ich folgendes gelesen:

Je näher Sie der theoretischen Mindestabtastrate kommen, desto schwieriger wird es, das analoge Filter praktisch zu realisieren.

Wenn ich mich nicht irre, heißt es, dass das Entwerfen des analogen Anti-Aliasing-Filters schwieriger sein wird, wenn unsere Abtastrate in der Nähe unserer theoretisch erforderlichen Mindestabtastrate liegt.

Ich bin sicher, dass es für viele Sinn macht, aber ich konnte nicht herausfinden, was hier gemeint ist und warum das so ist. Könnte dies einfacher an einem Beispiel erklärt werden?

Wenn Sie die Abtastfrequenz verringern, werden die Bilder im Frequenzbereich weniger voneinander getrennt.

Quelle

Denken Sie daran, dass die Wiederholung des Spektrums bei der Abtastfrequenz erfolgt. Wenn die Bilder näher beieinander liegen, müssen Sie in Ihrem Anti-Aliasing-Filter eine stärkere Dämpfung erzielen. Der Filter muss vom Durchlassband zum Stoppband übergehen, bevor das nächste Bild angezeigt wird.

Quelle aus dieser Präsentation

Um ein Signal im digitalen Bereich aus dem analogen Bereich zu rekonstruieren, benötigen Sie mindestens zwei Abtastwerte in jedem Zyklus der höchsten im analogen Signal vorhandenen Frequenz. Beispielsweise verwenden sie bei CDs 44,1 kHz, um eine maximale Frequenz im Audioband von 20 kHz abzutasten. Sie hätten 40 kHz verwenden können, aber das ist genau das Richtige und der Anti-Alias-Filter wäre unmöglich.

Bei einer Abtastrate von 44,1 kHz wäre das Audiosignal mit der theoretisch höchsten Frequenz, das digital erfasst werden könnte, ohne dass ein Aliasing auftritt, 22 kHz. Was würde also passieren, wenn 24 kHz in das digitale 44,1-kHz-Abtastsystem eingespeist würden, das Sie vielleicht fragen.

Dies würde sich in ein 20 kHz-Signal im digitalen Bereich verwandeln und es könnte sich verschlechtern. Was wäre, wenn das Signal 30 kHz wäre? Dies würde im digitalen Bereich zu 16 kHz.

Dies liegt daran, dass Unterabtastung einen Alias-Ausgang erzeugt:

Bild von hier .

Um dies zu verhindern, verwenden Sie einen Filter, der eine ausreichende Dämpfung zwischen 20 kHz und 24 kHz bietet. Ich sage 24 kHz, weil ein 24-kHz-Signal genau an der Grenze liegt, ein aliasiertes echtes 20-kHz-Audiosignal zu werden. Für Menschen mit einem hervorragenden Hörvermögen von bis zu 20 kHz (ich nicht mehr) muss der Anti-Alias-Filter bei 20 kHz praktisch keine Dämpfung und bei 24 kHz möglicherweise bis zu 80 dB (oder mehr) Dämpfung bieten.

Das ist ein Filter höherer Ordnung, und die meisten Ingenieure, die sich mit solchen Systemen befassen, würden ein Verhältnis von 3: 1 für die Abtastrate zur höchsten analogen Frequenz vorziehen.

Ihr Antialias-Filter hat drei Bänder

1) Durchlassband von DC bis Fwanted
2) Stoppband von Fsample-Fwanted bis unendlich
3) Übergangsband von Fwanted zu Fsample-Fwanted

Die Kosten eines Filters (Anzahl der Stufen, Komponente Q, Anzahl der Multiplikatoren) sind in etwa proportional zum Kehrwert des Übergangsbandes und steigen mit der Tiefe des Sperrbandes in dB.

Je höher Fsample, desto breiter das Übergangsband und desto billiger das Filter

Angenommen, Ihre Abtastrate ist $f_s$

$f_s/2$

$f_s/2$$f_s/2$ werden die Probenahme und mein rekonstruierte Signal stören wird nicht das gleiche sein mehr. Dieser Effekt wird als Aliasing bezeichnet .

$f_s/2$

$f_s/2$

Der Filter muss also idealerweise:

$f < f_s/2$

aber

$f > f_s/2$

Das ist unmöglich zu machen! Es muss also einen Kompromiss geben.

$f_s/2$$f_s/2$

Die Dinge werden viel einfacher, wenn wir entweder:

$f_s/2$

oder

$f_s/2$ endet an einer viel höheren Frequenz auf.

$f_s/2$ - Frequenz.

$f_s/2$

Angenommen, Ihr interessierendes Band reicht von Gleichstrom bis 100 Hz und Ihr Signal hat bandbegrenztes weißes Rauschen bis 10 kHz. Angenommen, Sie möchten mit 2 kHz abtasten. Sie können ein nettes Filter mit niedriger Polzahl und einer Dämpfung von 20 dB / Dekade erstellen und das Rauschen dämpfen, um das Aliasing zu minimieren

Angenommen, Sie möchten mit 210 Hz abtasten. Sie müssen einen Filter höherer Ordnung erstellen, um eine ausreichende Dämpfung zu erzielen. Solche Filter sind schwieriger und teurer zu konstruieren und herzustellen. Wenn Sie es richtig machen, erhalten Sie ein Signal mit erheblicher Phasenverzerrung im Durchlassbereich.

Für das analoge Filter müssen Sie die Leistung des Filters im Bereich der höchsten interessierenden Frequenz berücksichtigen. Häufig bedeutet dies, dass Sie das "fc" für das analoge Filter etwas höher als die höchste interessierende Frequenz einstellen müssen (und / oder ein schärferes Filter verwenden müssen).

Um Aliasing zu vermeiden, müssen Sie mit einer Frequenz abtasten, die mindestens doppelt so hoch ist wie die der höchsten Komponente, die durch Ihren Filter mit einem Maximalpegel kommt, bei dem Sie eine Verschmutzung durch das Aliasing-Signal tolerieren können. Das bedeutet, dass die Abtastrate mindestens das Doppelte von fc beträgt und häufig etwas höher sein muss.

Wenn Sie also rückwärts arbeiten, bedeutet eine höhere Abtastrate, dass Sie ein höheres fc haben können, und das bedeutet, dass Sie bis zu einer bestimmten Frequenz von Interesse, die unter fc liegt, einfacher eine flache Antwort haben können.

Aber . Wie Sie wahrscheinlich wissen, nimmt das Rauschen mit der Bandbreite zu. Für eine rauscharme Anwendung müssen Sie die Bandbreite des Filters möglicherweise konservativ einstellen.