Ist das Buch über das Nyquist Sampling Criterion falsch?

Ist die folgende Aussage aus einem Buch falsch?

Ich dachte, dass das Abtasten mit der doppelten höchsten Frequenzkomponente des Signals ausreichen würde, um das Signal vollständig wiederherzustellen. Aber darüber steht, dass zweimaliges Abtasten eine sägezahnähnliche Welle erzeugt. Ist das Buch falsch?

Ich dachte, dass das Abtasten mit der doppelten höchsten Frequenzkomponente des Signals ausreichen würde, um das Signal vollständig wiederherzustellen. Aber darüber steht, dass zweimaliges Abtasten eine sägezahnähnliche Welle erzeugt. Ist das Buch falsch?

Das Buch ist falsch, aber nicht aus dem Grund, den Sie denken. Wenn Sie auf die Punkte schielen, die auf Samples hinweisen, erfolgt das Sampling mit der doppelten Häufigkeit.

Sie sollten also zuerst einige Signale zeichnen und selbst abtasten (oder ein Mathematikpaket verwenden, wenn Sie nicht mit Bleistift und Papier vertraut sind).

Zweitens besagt das Nyquist-Theorem, dass es theoretisch möglich ist, ein Signal zu rekonstruieren, wenn Sie bereits wissen, dass das Spektrum des Signalinhalts genau unter der Hälfte der Abtastrate liegt.

Sie rekonstruieren das Signal durch Tiefpassfilterung. Vor dem Filtern kann das Signal verzerrt werden. Sie müssen also wissen, was Sie sehen, um zu sehen, ob das Ergebnis in Ordnung ist. Je näher das Spektrum Ihres Signalinhalts an der Nyquist-Grenze liegt, desto schärfer muss der Cutoff in Ihren Anti-Alias- und Rekonstruktionsfiltern sein. Theoretisch ist dies in Ordnung, aber in der Praxis wird die Reaktion eines Filters im Zeitbereich ungefähr proportional dazu, wie stark der Übergang von seinem Durchlassbereich zu seinem Sperrbereich erfolgt, länger. Wenn Sie können, probieren Sie also im Allgemeinen weit über Nyquist.

Hier ist ein Bild, das zu dem passt, was Ihr Buch hätte sagen sollen.

Fall A: eine Probe pro Zyklus (Proben offensichtlich gemacht)

Fall B: zwei Abtastwerte pro Zyklus, Landung auf den Kreuzungen - Beachten Sie, dass dies die gleiche Ausgabe ist wie der Fall mit einem Abtastwert pro Zyklus, jedoch nur, weil ich den ersten an den Kreuzungen abgetastet habe.

Fall C: Wieder zwei Proben pro Zyklus, diesmal jedoch im Extremfall. Wenn Sie genau die doppelte Frequenz der Signalkomponente abtasten, können Sie nicht rekonstruieren. Theoretisch könnten Sie ach so etwas niedriger abtasten, aber Sie benötigen einen Filter mit einer Impulsantwort, die genug vom Ergebnis abdeckt, damit Sie es rekonstruieren können.

Fall D: Abtastung mit 4-facher Signalfrequenz. Wenn Sie die Punkte verbinden, erhalten Sie eine Dreieckwelle, die jedoch nicht korrekt ist. In der Abtastzeit sind die Abtastwerte nur "an den Punkten" vorhanden. Beachten Sie, dass , wenn Sie dies durch ein anständiges Rekonstruktionsfilter setzen Sie eine Sinuswelle zurück zu bekommen, und wenn Sie die Phase Ihres dann wird die Ausgabe Abtasten ändern gleich in der Phase verschoben werden, aber ihre Amplitude wird sich nicht ändern.

Bild B ist extrem falsch. Es enthält sehr scharfe Ecken im Ausgangssignal. Sehr scharfe Ecken entsprechen sehr hohen Frequenzen, viel höher als die Abtastfrequenz.

Um die Nyquist-Beispielsätze zu erfüllen, müssen Sie das rekonstruierte Signal tiefpassfiltern. Nach der Tiefpassfilterung würde das Signal B wie das Eingangssignal aussehen und nicht wie ein Dreieck (da alle scharfen Ecken das Tiefpassfilter nicht passieren können).

Um genau zu sein, müssen Sie sowohl das Eingangssignal als auch das Ausgangssignal tiefpas- sen. Das Eingangssignal muss tiefpassgefiltert werden, um die Hälfte der Abtastfrequenz zu erreichen, um höhere Frequenzen nicht zu "falten".

Leider ist es eine häufige falsche Darstellung der Funktionsweise von Stichproben. Bei einer korrekteren Beschreibung wird die sinc-Funktion für die Rekonstruktion verwendet (ich empfehle die Suche nach der sinc-Funktion).

In realen Anwendungen ist es unmöglich, ein "perfektes" Tiefpassfilter zu haben (das alle Frequenzen unter- und alle darüber blockiert). Dies bedeutet, dass Sie normalerweise mit einer Frequenz abtasten, die mindestens das 2,2-fache der maximal zu reproduzierenden Frequenz beträgt (Beispiel: Bei 44,1 kHz abgetastete CD-Qualität, um eine maximale Frequenz von 20 kHz zu ermöglichen). Selbst dieser Unterschied würde es schwierig machen, analoge Filter zu erstellen - die meisten realen Anwendungen "überabtasten", ebenso wie das Tiefpassfilter, das sich teilweise im digitalen Bereich befindet.

Das Abtasttheorem besagt, dass das Signal perfekt rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastfrequenz streng größer ist als der höchste Frequenzgehalt im Signal. Diese Rekonstruktion basiert jedoch auf der Einfügung (unendlicher) Sinc-Impulse bei jeder Probe. Aus theoretischer Sicht ist dies ein sehr wichtiges Ergebnis, das in der Praxis jedoch nicht exakt erreicht werden kann. Was auf der Buchseite beschrieben wird, ist eine Rekonstruktionsmethode, die auf dem Zeichnen von geraden Linien zwischen den Samples basiert, was etwas völlig anderes ist. Ich würde also sagen, dass das Buch korrekt ist, aber es hat nichts mit dem Abtasttheorem zu tun.

Ein sehr schönes Überblickspapier ist Unser: Sampling - 50 Jahre nach Shannon . Ihr Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass reine, unendliche Sinussignale vom Shannon-Abtastsatz nicht abgedeckt werden. Der anwendbare Satz für periodische Signale ist der frühere Nyquist-Abtastsatz.

Das Shannon-Abtasttheorem gilt für Funktionen, die als dargestellt werden können

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

wobei X eine quadratintegrierbare Funktion ist. Dann kann dieses Signal aus diskreten Abtastwerten als genau dargestellt werden

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

mit $T=\frac1{W}$eine Periode, ein Zeitabstand". Beachten Sie, dass die perfekte Rekonstruktion von Proben aus beliebig großen Zeiten in der Zukunft und Vergangenheit abhängt. Da ihr Einfluss nur so fällt$\frac1t$Wenn die Summe abgeschnitten wird, muss eine große Anzahl von Begriffen enthalten sein, um Fehler zu reduzieren.

Eine reine Sinusfunktion ist in dieser Klasse nicht enthalten, da ihre Fourier-Transformation aus Dirac-Delta-Verteilungen besteht.

Das frühere Nyquist-Abtasttheorem besagt (oder interpretiert eine frühere Einsicht neu), dass, wenn das Signal periodisch mit der Periode T und der höchsten Frequenz W = N / T ist , es ein trigonometrisches Polynom ist

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

mit 2N + 1 (nicht-trivialen) Koeffizienten und diese Koeffizienten können (durch lineare Algebra) aus 2N + 1 rekonstruiert werden Abtastwerten in der Periode werden.

Der Fall einer reinen Sinusfunktion fällt in diese Klasse. Es verspricht eine perfekte Rekonstruktion, wenn 2N + 1 Abtastwerte über einen Zeitraum von NT entnommen werden.

Was aus dem Buch stammt, sagt nichts über "Nyquist Sampling Criterion" aus - es geht nur darum, eine Sinuswelle mit einem hypothetischen ADC punktweise abzutasten und dann (implizit) ein Ausgangssignal unter Verwendung eines (nicht erwähnten) zu konstruieren. einfacher DAC, der eine lineare Interpolation zwischen den Abtastwerten durchführt.

In diesem Zusammenhang ist die These von 'ABBILDUNG 6.10' im Allgemeinen richtig und gut demonstriert.

Wenn die Abtastfrequenz des ADC erhöht wird, verbessert sich die Wiedergabetreue des digitalisierten Signals.

Wenn Sie über die Treue einer idealisierten Rekonstruktion sprechen wollten , ist das eine ganz andere Sache. Jegliche Diskussion der Nyquist-Rate impliziert die Verwendung von Sinc-Interpolation, die wiederum in der gezeigten Abbildung nicht erwähnt wird.

Der eigentliche Fehler in dieser Abbildung ist die Idee, dass eine Punktprobe ein aussagekräftiges Konzept für das Engineering ist. In der Praxis wird ein ADC mit einer Sensorkomponente verbunden, die über einen gewissen Zeitraum ein reales Eingangssignal akkumuliert.

Es ist jedoch lustig, dass diese Zahl anscheinend falsch (um den Faktor zwei) in Bezug auf die in den Diagrammen gezeigten spezifischen Abtastfrequenzen ist - obwohl der gezeigte "Output" nur im Fall "C" davon betroffen ist.

Unter Verwendung der oben zitierten Aussage fand ich ein unheimlich ähnliches Diagramm in "Ein praktischer Ansatz zur neurophysiologischen intraoperativen Überwachung" in einer Diskussion über die EEG-Wellenformverarbeitung. Für das, was es wert ist, beinhaltet diese Diskussion Folgendes:

Das Theorem, das die minimale Abtastfrequenz beschreibt, die ein ADC benötigt, um ein analoges Signal getreu darzustellen, ist als Nyquist-Theorem bekannt. Es besagt, dass die Abtastfrequenz eines ADC mehr als das Doppelte der schnellsten Frequenzkomponente einer Wellenform betragen muss.