Warum Veff statt V Mittelwert?

Ich betrachte eine Gleichung für die durchschnittliche Leistung in einem Signal

und frage mich, warum es nicht ist

Einfach: Der Durchschnitt eines Sinus ist Null.

Die Leistung ist proportional zur Spannung im Quadrat:

$P = \dfrac{V^2}{R}$

Um die durchschnittliche Leistung zu erhalten, berechnen Sie die durchschnittliche Spannung im Quadrat. Dies ist, worauf sich der Effektivwert bezieht: Root Mean Square: Nimmt die Quadratwurzel des Durchschnitts (Mittelwerts) der quadratischen Spannung. Sie müssen die Quadratwurzel ziehen, um die Dimension einer Spannung wieder zu erhalten, da Sie sie zuerst quadriert haben.

Diese Grafik zeigt den Unterschied zwischen den beiden. Die violette Kurve ist das Quadrat des Sinus, die gelbe Linie der absolute Wert. Der RMS-Wert ist oder ungefähr 0,71, der Durchschnittswert ist oder ungefähr 0,64, eine Differenz von 10%. $\sqrt{2}/2$$2/\pi$

RMS gibt Ihnen die äquivalente Gleichspannung bei gleicher Leistung. Wenn Sie die Temperatur des Widerstands als Maß für die Verlustleistung messen, werden Sie feststellen, dass dies das gleiche ist wie bei einer Gleichspannung von 0,71 V und nicht 0,64 V.

Bearbeiten Die
Messung der Durchschnittsspannung ist jedoch billiger als die Messung der Effektivspannung, und das ist, was billigere DMMs tun. Sie nehmen an, dass das Signal eine Sinuswelle ist, messen den gleichgerichteten Mittelwert und multiplizieren das Ergebnis mit 1,11 (0,71 / 0,64), um den Effektivwert zu erhalten. Der Faktor 1.11 gilt aber nur für Sinuswellen. Für andere Signale ist das Verhältnis unterschiedlich. Dieses Verhältnis hat einen Namen: Es heißt der Formfaktor des Signals . Für ein PWM-Signal mit 10% Einschaltdauer beträgt der Formfaktor oder ungefähr 0,316. Das ist viel weniger als die 1.11 der Sine. DMMs, die nicht "True RMS" sind, führen zu großen Fehlern bei nicht sinusförmigen Wellenformen.$1/\sqrt{10}$

Nun in Form von Gleichungen ausgedrückt:

$P_{avg}= avg(P_{inst})$

$P_{inst} = v(t) \cdot i(t)$$v(t)$$i(t)$

$P_{inst} = \dfrac{(v(t))^2}{R}$

$P_{avg} = avg(\dfrac{((v(t))^2}{R})$

$P_{avg}= \dfrac{V_{rms}^2}{R}$

$\sqrt{\text{average of squares of inst.}}$

Das Warum ist einfach.

Sie wollen 1 W = 1 W.

Stellen Sie sich eine primitive Heizung vor, einen 1-Ohm-Widerstand.

Betrachten Sie 1 VDC in einem 1 Ohm Widerstand. Der Stromverbrauch beträgt offensichtlich 1 W. Wenn Sie dies eine Stunde lang tun, brennen Sie eine Wattstunde und erzeugen Wärme.

Jetzt möchten Sie anstelle von Gleichstrom Wechselstrom in den Widerstand einspeisen und dieselbe Wärme erzeugen. Welche Wechselspannung verwenden Sie?

Es stellt sich heraus, dass die Effektivspannung das gewünschte Ergebnis liefert.

Deshalb wird RMS so definiert, wie es ist, damit die Leistungszahlen richtig herauskommen.

Weil die Leistung gleich V ^ 2 / R ist, so dass Sie den Durchschnitt der quadrierten Spannungen entlang der Sinuswelle berechnen, um V ^ 2avg zu erhalten. Der Einfachheit halber nehmen wir den Durchschnitt dieses Mittels und können dann damit umgehen, wie wir es wünschen.

Die Antwort ist der von John R. Strohm angegebene Grund und die Erklärung lautet wie folgt: (erfordert einige Ergänzungen zu Stevenvhs Antwort)

Sie sehen, wenn Sie einen Gleichstrom durch einen Widerstand und eine Wechselstromwelle durch einen Widerstand senden, wird der Widerstand in beiden Fällen erwärmt, aber gemäß der Gleichung für den Durchschnittswert sollte der Heizeffekt für ac 0 sein, aber nicht warum? Dies liegt daran, dass wenn sich die Elektronen in einem Leiter bewegen und sie auf Atome treffen und diese den Atomen verliehene Energie folglich als Wärme empfunden wird. Jetzt macht Wechselstrom dasselbe, nur die Elektronen bewegen sich in verschiedene Richtungen, aber der Energietransfer ist hier unabhängig von die richtung und damit der leiter heizt sich trotzdem auf.

Wenn wir den Durchschnittswert finden, werden die Wechselstromkomponenten aufgehoben und können daher nicht erklären, warum die Wärme erzeugt wird, aber die RMS-Gleichung korrigiert dies - wie stevenvh sagt, indem wir das Quadrat und dann die Quadratwurzel nehmen, transponieren wir den negativen Teil nach oben die Achse so, dass sich der positive und der negative Anteil nicht aufheben.

Aus diesem Grund sagen wir, dass der Mittelwert und der Effektivwert einer Gleichstromwelle gleich sind.

Dasselbe gilt für jedes reale Signal (damit meine ich unvollkommen - nicht reines Wechselstrom), da die Fourier-Reihe besagt, dass jede Welle durch eine korrekte Kombination von Sinus- und Cosinuswellen ersetzt werden kann und da die Frequenzen der Wellen höher sind (ganzzahlige Vielfache) der Grundfrequenz) werden sie ebenfalls aufgehoben, wodurch die Gleichstromkomponente isoliert wird.

Das Obige ist der Grund, warum wir den Effektivwert als den äquivalenten Wert von Gleichstrom definieren, der die gleiche Wärmemenge wie die Wechselstromwelle erzeugt.

Hoffe das hilft.

PS: Ich weiß, dass die Erklärung, wie Wärme erzeugt wird, ziemlich zweideutig ist, aber ich bin nicht in der Lage, eine bessere zu finden. Ich habe sie trotzdem gewählt, weil sie dazu beiträgt, die Botschaft zu vermitteln

y (x) = | x | ist nicht differenzierbar, da y '(0) undefiniert ist.

y (x) = sqrt (x * x) ist differenzierbar.

Sie sind jedoch ansonsten gleichwertig.

Veff = Durchschnitt (abs (v (t))) = Durchschnitt (sqrt (v (t) * v (t)))

Warum haben sie eine Definition über die andere gewählt? Nun, man ist ein Durchschnitt einer differenzierbaren Funktion.