Warum ist die Zeitkonstante 63,2% und nicht 50% oder 70%?

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Ich studiere über RC- und RL-Schaltungen. Warum entspricht die Zeitkonstante 63,2% der Ausgangsspannung? Warum ist es als 63% definiert und kein anderer Wert?

Beginnt eine Schaltung bei 63% der Ausgangsspannung zu arbeiten? Warum nicht zu 50%?

— Bala Subramanian
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1-e ^ -1 = 0,6321 ...

— Andrew Morton

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Sie stimmt mit 1 / Bandbreite überein und ist der Zeitwert in der Verzögerung

erster Ordnung

oder

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

. Beim radioaktiven Zerfall verbrauchen sie 50% ("Halbwertszeit").

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Chu

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@ AndrewMorton: Ich bin nicht ganz sicher, was es über mich aussagt, dass ich vermutete, dass dies die Antwort nur aus dem Titel sein würde.

— Ilmari Karonen

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@code_monk: So interessant wie

?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Nominale Tier

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Nur nitpick: die Zeitkonstante nicht definiert 63% sein. Es ist definiert als das Inverse des Koeffizienten im Exponenten einer Exponentialfunktion (siehe die hervorragenden Antworten in diesem Thread). Dies hat zur Folge, dass der Wert der Menge nach einer Zeitspanne, die der Zeitkonstante entspricht, ungefähr (mit zweistelliger Genauigkeit) 63% des Anfangswerts beträgt.

— Lorenzo Donati unterstützt Monica

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Andere Antworten haben noch nicht getroffen, was e besonders macht : Wenn Sie die Zeitkonstante als die Zeit definieren, die erforderlich ist, damit etwas um den Faktor e abfällt, bedeutet dies, dass die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt so hoch ist, dass - falls dies der Fall ist Die Rate wurde fortgesetzt - die Zeit, die erforderlich ist, um zu nichts zu zerfallen, wäre eine Zeitkonstante.

Wenn zum Beispiel eine 1uF-Kappe und ein 1M-Widerstand vorhanden sind, beträgt die Zeitkonstante eine Sekunde. Wenn der Kondensator auf 10 Volt aufgeladen wird, fällt die Spannung mit einer Geschwindigkeit von 10 Volt / Sekunde. Wenn es auf 5 Volt aufgeladen ist, fällt die Spannung mit einer Rate von 5 Volt / Sekunde. Die Tatsache, dass die Änderungsrate mit der Spannung abnimmt, bedeutet, dass die Spannung nicht in einer Sekunde zu nichts abfällt, sondern die Abnahmerate zu jedem Zeitpunkt die aktuelle Spannung geteilt durch die Zeitkonstante ist.

Wenn die Zeitkonstante als eine andere Einheit definiert wäre (zB Halbwertszeit), würde die Abklingrate nicht mehr so gut mit der Zeitkonstante übereinstimmen.

— Superkatze
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Dies ist wahrscheinlich die beste Antwort, da hier die Frage nach dem Warum greifbar beantwortet wird , anstatt zu zeigen, wie man es berechnet.

— Bort

Genial, ich kann nicht glauben, dass ich das noch nie gelernt habe! (Übrigens würde ein Diagramm diese Antwort noch besser machen).

— Setzen Sie Monica

1

Das ist eine hervorragende intuitive Einsicht. +1

— Spehro Pefhany

1

"Die Abnahmerate zu jedem Zeitpunkt ist die aktuelle Spannung" Ich nehme an, dass, während "Strom" in diesem Kontext nicht eindeutig ist, beide Bedeutungen funktionieren.

— Akkumulation

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@supercat - Ich habe ein Diagramm Ihres Beispiels hinzugefügt. Sie können jederzeit Änderungen vorschlagen.

— Setzen Sie Monica

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$e^{-1} = 0.36788$

Die "Zeiteinheit" wird als "Zeitkonstante" des Systems bezeichnet und wird üblicherweise mit τ (tau) bezeichnet. Der vollständige Ausdruck für die Systemantwort über die Zeit (t) ist

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Die Zeitkonstante ist also eine nützliche Größe. Wenn Sie die Zeitkonstante direkt messen möchten, messen Sie die Zeit, die benötigt wird, um 63,2% des Endwerts zu erreichen.

In der Elektronik stellt sich heraus, dass die Zeitkonstante (in Sekunden) in einer RC-Schaltung gleich R × C oder in einer RL-Schaltung gleich L / R ist, wenn Sie Ohm, Farad und Henries als Einheiten für die Komponentenwerte verwenden. Das heißt, wenn Sie die Zeitkonstante kennen, können Sie einen der Komponentenwerte ableiten, wenn Sie den anderen kennen.

— Dave Tweed
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Für einen exponentiellen Abfall oder Anstieg sollten wir die Sprungantwort verwenden, um die Komplexität zu verringern. Damit wird e − 1 berücksichtigt. Stimmt das?

— Bala Subramanian

@BalaSubramanian: ja, richtig.

— Dave Tweed

Aber ich habe einen Zweifel, zum Beispiel beim Entwerfen einer RC-Schaltung für einen Timer oder einen Zähler. Sie entlädt und lädt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt auf. Ist der Zeitraum gleich wie die Zeitkonstante. Funktioniert der erforderliche IC oder das Gerät bei 63% der Spannung nicht mehr?

— Bala Subramanian

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- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

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Der Zerfall einer RC-Parallelschaltung mit auf Vo aufgeladenem Kondensator

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

Mit anderen Worten, die Zeitkonstante wird durch das RC-Produkt (oder das L / R-Verhältnis) definiert, und die scheinbar willkürliche Spannung ist ein Ergebnis dieser Definition und der Art und Weise, wie ein exponentieller Abfall oder eine exponentielle Aufladung auftritt.

Der exponentielle Zerfall ist bei verschiedenen physikalischen Prozessen wie dem radioaktiven Zerfall, einigen Arten von Abkühlung usw. üblich und kann durch eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung (ODE) beschrieben werden.

Angenommen , Sie wollen die wissen , Zeit , wenn die Spannung 0,5 der Anfangsspannung (oder Endspannung wenn von 0 Laden). Es ist (von oben)

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— Spehro Pefhany
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Das ist eine sehr grobe Annäherung.

— Arsenal

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@ Arsenal Ich könnte MATLAB verwenden und es auf einige tausend Dezimalstellen bringen, wenn Sie möchten.

— Spehro Pefhany

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@ Arsenal, ich nehme an, 22/7 ist auch nicht gut genug für dich? : D

— Wossname

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22/7 ist eine schreckliche Annäherung an e. 19/7 ist viel besser.

— Alephzero

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@SpehroPefhany (in Bezug auf die Näherung, auf die Sie verwiesen haben) Ich bin immer wieder erstaunt, wie gerne Mathematiker ihre Zeit verbringen (ich denke, Kreuzworträtsel sind zu einfach für sie!) :-)

— Lorenzo Donati unterstützt Monica

3

Als Ergänzung zu den anderen hervorragenden Antworten von Dave Tweed, Supercat und Spehro Phefany füge ich meine 2 Cent hinzu.

Zunächst ein bisschen Nitpicking, wie ich in einem Kommentar schrieb, ist die Zeitkonstante nicht als 63% definiert . Formal ist es definiert als das Inverse des Koeffizienten des Exponenten einer Exponentialfunktion. Das heißt, wenn Q die relevante Größe ist (Spannung, Strom, Leistung, was auch immer), und Q mit der Zeit abnimmt als:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

Was andere Antworten nur am Rande berührt haben, ist, warum diese Wahl getroffen wurde. Die Antwort ist einfach : Die Zeitkonstante bietet eine einfache Möglichkeit, die Entwicklungsgeschwindigkeit ähnlicher Prozesse zu vergleichen. In der Elektronik kann die Zeitkonstante oft als "Reaktionsgeschwindigkeit" einer Schaltung interpretiert werden. Wenn Sie die Zeitkonstanten von zwei Kreisen kennen, können Sie ihre "relative Geschwindigkeit" leicht vergleichen, indem Sie diese Konstanten vergleichen.

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

Mit anderen Worten, die Zeitkonstante ist eine einfache und verständliche Methode, um die Zeitskala zu übermitteln, auf der ein Phänomen auftritt.

— Lorenzo Donati unterstützt Monica
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-1

$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— Matthijs Huisman
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