Was ist die "Nyquist" -Rate zum Abtasten der Ableitung eines Signals?

Hintergrund: Ich nehme den Strom über einen Kondensator auf. Das interessierende Signal ist die Spannung am Kondensator. Ich werde die Strommessung digital integrieren, um die Spannung zu erhalten.

Frage: Angesichts der Tatsache, dass die Spannung am Kondensator bandbreitenbegrenzt ist und ich die Ableitung dieser Spannung abtaste, wie hoch ist die minimale Abtastrate, die erforderlich ist, um das Spannungssignal aus den aktuellen Abtastwerten perfekt zu rekonstruieren?

Wenn es keine Antwort auf diese Frage gibt, wäre alles hilfreich, was mich in die richtige Richtung weisen könnte. Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe!

dsp sampling data-acquisition

— VIANDERN
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Sie möchten das Originalsignal aus den Samples "perfekt rekonstruieren"? Was meinst du damit?

— Elliot Alderson

Die Nyquist-Rate ist doppelt so hoch wie die höchste Frequenz im Originalsignal.

— Peter Karlsen

@Dweerberkitty wie Dave schon sagte, Signal ist nur ein Signal :). Im Ernst, wenn Sie reale Messsysteme verwenden, kann es zu Verzögerungen kommen, die sich auf Ihren Derivatbetrieb auswirken. Wenn Sie sie berücksichtigen (mit etwas Glück, wenn das System einfach ist), können Sie den erforderlichen Stichprobenzeitraum analytisch ableiten.

— Raaja

Msgstr "Die Spannung am Kondensator ist bandbreitenbegrenzt". Warum?

— Rodrigo de Azevedo

@ RodrigodeAzevedo, dies ist nur eine Annahme, um die Problemstellung zu vereinfachen. In Wirklichkeit ist die Bandbreite nicht begrenzt, aber der interessierende Frequenzbereich ist in diesem Problem genau definiert. Vielen Dank!

— VIANDERN

Antworten:

Eine Ableitung (oder ein Integral) ist eine lineare Operation - sie erzeugt keine Frequenzen, die nicht im ursprünglichen Signal enthalten sind (oder entfernt keine), sondern ändert nur ihre relativen Pegel.

Die Nyquist-Rate für die Ableitung ist also die gleiche wie für das ursprüngliche Signal.

— Dave Tweed
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Richtig in einer idealen Welt, in der es perfekt bandbegrenzte Signale, ideale Tiefpassfilter und überhaupt kein thermisches Rauschen gibt.

— Rodrigo de Azevedo

Das gesamte SNR-Gleichgewicht ändert sich. Eine kleine hochfrequente Komponente, die möglicherweise ein Alias ist, aber aufgrund ihrer Größe nicht viel bewirkt, kann zu einem beträchtlichen, sicher verursachenden großen niederfrequenten Monster werden.

— Scott Seidman

-1

Mit der Ableitung wird die Transformation mit s multipliziert, wodurch der Betragsgraph gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Somit können durchaus höherfrequente Anteile in der Ableitung sein. Ein prägnanterer Weg, dies auszudrücken, besteht darin, dass die Ableitung den Hochfrequenzgehalt verstärkt.

Die Laplace-Transformation (das wäre die Sprungantwort eines einpoligen Hochpassfilters) $\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ]))

Die Laplace-Transformation ihrer Ableitung, $\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ]))

Die Ableitung weist in diesem Fall eindeutig höhere Frequenzkomponenten auf. Vielleicht genauer gesagt, es hat viel größere Hochfrequenzkomponenten als das Nicht-Derivat. Man könnte das erste Signal mit einiger Sicherheit mit 200 rad / s abtasten, da die Energie bei der Nyquist-Rate sehr klein ist, aber ein Aliasing wäre erheblich, wenn Sie die Ableitung mit derselben Rate abtasten würden.

Es kommt also auf die Art des Signals an. Die Ableitung einer Sinuskurve ist eine Sinuskurve mit derselben Frequenz, aber die Ableitung eines bandbegrenzten Rauschens hat höhere Frequenzkomponenten als das Rauschen.

EDIT: Als Antwort auf die Ablehnung werde ich dieses Haus mit einem konkreten Beispiel hämmern. Lassen Sie mich eine Sinuswelle nehmen und ein zufälliges normales Rauschen hinzufügen (ein Zehntel der Größe der Sinuswelle)

Das fft dieses Signals ist:

Lassen Sie mich nun die Ableitung des Signals nehmen:

und das fft der Ableitung

Unterabtastung führt natürlich zu einem Alias des Signals oder der Ableitung. Die Auswirkungen der Unterabtastung sind für das Signal bescheiden, und das Ergebnis der Unterabtastung der Ableitung ist absolut nutzlos.

— Scott Seidman
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Ich bin mir nicht sicher, was Sie hier planen, aber es handelt sich nicht um bandbegrenzte Signale.

— Dave Tweed

Die Fourier-Transformation eines Signals und die Fourier-Transformation seiner Ableitung.

— Scott Seidman

Welche Sprache ist das überhaupt?

— Dave Tweed

Ah. Stellt in diesem Fall tf()kein Signal dar, sondern eine Übertragungsfunktion. Auf keinen Fall bandbegrenzt.

— Dave Tweed

Sie vermissen immer noch den Punkt, an dem das Signal bandbegrenzt ist. Sie fügen dem Signal nicht-bandbegrenztes Rauschen hinzu, um Ihren Standpunkt zu verdeutlichen, was nicht im Rahmen der Frage liegt. Ja, das ist eine praktische Überlegung, aber die Frage ist (wie ich es sehe) theoretisch.

— Dave Tweed

-2

Das kannst du nicht.

Die Integration gibt nur Auskunft darüber, wie sich die Spannung während der Abtastzeit ändert.

Der Kondensator startet jedoch immer mit einer vorhandenen Ladung, sodass eine gewisse Anfangsspannung vorhanden ist. Ihre Berechnung kann diese Spannung nicht kennen, so dass sie die tatsächliche Spannung über dem Kondensator während Ihrer Messzeit nicht kennen kann . Dies sollte aus dem Mathematikunterricht bekannt sein - Sie integrieren immer zwischen zwei Punkten.

Sie haben auch das Problem, dass Ihre aktuellen Messwerte zwar Nyquist-begrenzt sind, der tatsächliche Strom durch den Kondensator jedoch möglicherweise nicht. Wenn Sie nicht garantieren können, dass der Strom durch den Kondensator einen harten Tiefpassfilter irgendwo unterhalb der Nyquist-Grenze hat, können Sie den Strom nie genau genug messen, um die Spannung wiederzugeben. Ich muss klar sein, dass dies tatsächlich mathematisch unmöglich ist, da es eine Abtastrate von unendlich erfordern würde.

Aber wenn Sie die Startspannung kennen und wenn der tatsächliche Strom durch den Kondensator geeignet Tiefpassgefiltert ist, dann ist DaveTweed richtigdass die NyquistGrenze für das Integral ist die gleiche wie für die abgetasteten Daten.

— Graham
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Ich verstehe nicht, warum Sie einen Unterschied zwischen dem tatsächlichen Strom durch den Kondensator und dem bandbegrenzten Messwert machen müssen. Was ist an dieser Situation so magisch, dass die bekannte Linearität von Ableitungen, Filtern und Integration nicht mehr gilt?

— Pipe

@pipe Mit einem Wort, Sampling. Angenommen, wir arbeiten mit einer Abtastrate von 1 kHz. Angenommen, wir haben eine 0,5 ms lange Stromspitze. Die abgetastete Version wird niemals die Spitze sehen, aber die tatsächliche Kondensatorspannung wird es sicherlich tun. Dann haben Sie die verbleibenden Fehler zwischen jeder Form der digitalen Integration und dem tatsächlichen Wert. Und ich habe noch nicht einmal mit dem Thema Auflösung angefangen, was eine weitere Dose Würmer ist.

— Graham

Aber die Energie in diesem Impuls wird in Bänder verteilt , dass der Sampler wird sehen. Zum Beispiel: Eine Impulsfolge mit sehr kurzen Impulsen wird nach einer Bandbegrenzung einen leicht erhöhten Gleichstrompegel aufweisen. Der Bereich Ihres Pulses bleibt derselbe, und die Integration der bandbegrenzten Version führt zum selben Ergebnis.

— Pipe