Warum unterscheiden sich die Zahlen der E-Serie von den Zehnerpotenzen?

Die Zahlen der E-Serie sind die in Widerständen üblichen Werte. Zum Beispiel sind die E6-Werte:

• 1,0
• 1.5
• 2.2
• 3.3
• 4.7
• 6.8

Wie Sie sehen können, ist jeder ungefähr auseinander. Aber ich frage mich, warum das nicht die Potenzen von10$10^\frac16$ auf 2 signifikante Stellen gerundet.$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 sollte nicht auf 3.3 gerundet werden, egal ob aufwärts oder abwärts gerundet wird. Durch Runden auf die nächste Zahl werden 4,6416 Runden auf 4,6.

Gleiches gilt für andere Werte der E-Serie. Zum Beispiel die Potenzen von gerundet auf 2 signifikante Stellen sind:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

Während die E12-Werte sind:

• 1,0
• 1.2
• 1.5
• 1.8
• 2.2
• 2.7
• 3.3
• 3.9
• 4.7
• 5.6
• 6.8
• 8.2

Die Zahlen 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 und 8.2 von E12 unterscheiden sich von den oben berechneten Zahlen.

Warum unterscheiden sich die E-Reihen der bevorzugten Zahlen von den Zehnerpotenzen, die auf die nächstliegende Zahl gerundet sind?

Ich habe Ihre Frage wirklich genossen und sie definitiv verbessert. Ihre Frage hat mich zum Nachdenken und zum Lesen des Themas veranlasst. Und ich weiß wirklich zu schätzen, was ich aus dem Prozess gelernt habe und dass Sie diesen Prozess für mich stimuliert haben. Vielen Dank!

Historischer Zusammenhang

Ich werde hier nicht in die babylonischen Tage zurückkehren. (Wahrscheinlich geht das ganze Konzept so weit und weiter zurück.) Aber ich werde vor ungefähr einem Jahrhundert anfangen.

Charles Renard schlug einige spezielle Methoden zur Anordnung von Zahlen vor, um (Dezimal-) Intervalle zu unterteilen. Er konzentrierte sich auf die Aufteilung eines Jahrzehntbereichs in 5, 10, 20 und 40 Schritte, wobei der Logarithmus jedes Schrittwerts eine arithmetische Reihe bilden würde. Und diese wurden als R5, R10, R20 und R40 bekannt. Natürlich kann man noch viele andere Entscheidungen treffen. Aber das waren zu der Zeit seine.

$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$$10$$40$

Wenn Sie weiterlesen möchten, finden Sie das Obige und vieles mehr in einer Veröffentlichung namens NBS Technical Note 990 (1978) . (Das National Bureau of Standards [NBS] ist jetzt NIST.)

In der Zwischenzeit, nach dem Zweiten Weltkrieg, gab es einen starken Schub zur Standardisierung von gefertigten Teilen. Daher haben verschiedene Gruppen zu verschiedenen Zeiten hart daran gearbeitet, die Standardwerte zu "rationalisieren", um die Herstellung, die Instrumentierung, die Anzahl der Zähne an den Zahnrädern und ... nun, fast alles zu unterstützen.

Überfliegen Sie die E-Serie der bevorzugten Nummern und notieren Sie sich die zugehörigen Dokumente und deren Verlauf. In den Dokumenten, auf die auf dieser Wikipedia-Seite verwiesen wird, wird jedoch nicht behandelt, wie diese bevorzugten Nummern ausgewählt wurden. Dafür gibt es "ISO 497: 1973, Leitfaden zur Auswahl von Serien bevorzugter Zahlen und von Serien, die gerundetere Werte bevorzugter Zahlen enthalten". und auch "ISO 17: 1973, Leitfaden für die Verwendung von Vorzugsnummern und Serien von Vorzugsnummern." Ich habe keinen Zugang zu diesen Dokumenten, daher konnte ich sie nicht lesen, obwohl insbesondere ISO 497: 1973 ein guter Ausgangspunkt zu sein schien.

E-Serie (Geometrisch)

Ich habe noch keine Einzelheiten zu dem genauen Algorithmus gefunden, der vor einigen Jahrzehnten auf die von Ihnen gestellte Frage angewendet wurde. Die Idee der "Rationalisierung von Zahlen" ist keine schwierige Idee, aber der genaue Prozess, der angewendet wurde, liegt weit über meiner Fähigkeit, sicher zu sein, dass ich jetzt rückgängig machen kann. Und ich konnte kein historisches Dokument aufdecken, das es enthüllte. Einige der Elemente können nur durch das Vorhandensein der vollständigen Dokumente in Bezug auf ihre endgültigen Entscheidungen ans Licht gebracht werden. Und ich habe diese Dokumente noch nicht gefunden. Aber ich bin zuversichtlich, dass ich in der Lage war, herauszufinden, was ihr Prozess für die Widerstandsfrage gewesen sein muss.

Eines der Dinge, die in NBS Pub erwähnt werden. 990, ist die Tatsache , dass die Unterschiede und Summen bevorzugter Zahlen sollten nicht selbst, sein bevorzugten Zahlen. Dies ist in einem Versuch zu bieten Abdeckung für andere Werte im Jahrzehnte Bereich , wenn explizite Werte nicht ein Bedürfnis gerecht zu werden (unter Verwendung von zwei Werten in einer Summe oder Differenz Anordnung.)

Beachten Sie, dass diese Deckung Frage ist mehr wichtig für die Serie wie E3 und E6 und ist fast gar nicht wichtig für E24, zum Beispiel, die direkt viele dazwischen liegenden Werte enthalten. In diesem Sinne ist das Folgende mein Denken über ihr Denken. Vielleicht wird es nicht allzu weit von der eigentlichen Begründung für ihren Prozess der "Rationalisierung" der Werte und der endgültigen Entscheidung über die von ihnen letztendlich gewählten bevorzugten Werte entfernt sein.

Meine Argumentation

Es gibt ein sehr schönes, einfaches Blatt, das die Werte der E-Serie für Widerstände zusammenfasst: die Vishay E-Serie .

Hier ist mein Bild der zweistelligen Werte der E-Serie, das auch die berechneten Werte enthält:

Hier ist mein Prozess vor dem Hintergrund des oben Gesagten, von dem ich glaube, dass er zumindest der Argumentation ähnelt, die vor vielen Jahren verwendet wurde:

1. Die Idee der Berichterstattung ist für E3 am wichtigsten und für E24 am wenigsten wichtig. Ein kurzer Blick auf E3 deutet auf ein Problem mit den geraden Werten von 10, 22 und 46 hin. Es sind alles gerade Zahlen, und es gibt keine Möglichkeit, ungerade Zahlen nur mit geraden Zahlen zu bilden. Eine dieser Zahlen muss sich also ändern. Sie können 10 nicht ändern. Und für das Ändern von einer sind die einzigen verbleibenden zwei Möglichkeiten: (1) 10, 22, 47; oder (2) 10, 23, 46. Option (2) hat jedoch ein Problem: Der Unterschied zwischen 46 und 23 ist 23, was selbst eine Zahl in der Sequenz ist. Und das ist Grund genug, die Option (2) zu streichen. Dies lässt nur Option (1) 10, 22 und [47]. Das bestimmt also E3. (Ich verwende [], um geänderte Sequenzwerte zu umgeben, und <>, um Werte zu umgeben, die von der vorherigen Sequenz beibehalten werden müssen.)
2. Für E6 müssen die Werteauswahlen von E3 beibehalten und eigene Werte dazwischen eingefügt werden. Nominell ist E6 dann <10>, 15, <22>, 32, [47] und 68. Die Differenz zwischen 32 und 22 beträgt jedoch 10, und dies ist einer der Werte, die bereits in der Sequenz enthalten sind. Auch 47 minus 32 ist 15. Auch hier ist 32 in eine Problemsituation verwickelt. Weder 22 noch 47 können geändert werden (sie werden vererbt). Daher besteht die naheliegende (und einzige) Wahl darin, die E6-Sequenz auf <10>, 15, <22>, [33], [47] und 68 anzupassen. die Differenz und Summenwerte jetzt bieten Abdeckung , auch.
3. Für E12 müssen die Werteauswahlen von E6 beibehalten und eigene Werte eingefügt werden. Nominell ist E12 dann <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> und 83. Die Zahl 83 hat bereits ein Problem. seit 83 minus 68 ist 15 und das ist schon in der folge. 82 ist die nächste Alternative. Außerdem beträgt die Spanne zwischen 22 und 26 4, während die Spanne zwischen 26 und 33 7 beträgt. Die Spannen sollten ungefähr monoton ansteigen. Diese Situation ist ernst und die einzige Möglichkeit besteht darin, 26 auf die nächstgelegene Auswahl 27 einzustellen. Die Reihenfolge ist jetzt <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, 68 und [82]. Aber wir haben wieder ein Problem mit 38, mit einer vorhergehenden Spanne von 5 und einer folgenden Spanne von 9. Auch hier besteht die einzige Lösung darin, 38 auf die nächstgelegene Wahl 39 einzustellen.
4. E24 durchläuft einen ähnlichen Prozess. Es beginnt nominell mit: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] und 91. Ich denke, Sie können jetzt die Logik anwenden, die ich zuvor angewendet habe, und das Finale erreichen Folge von (nicht das <> fallen lassen, sondern das [] -Indikator verlassen): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] und 91.

Ich denke, Sie werden zustimmen, dass dieser Prozess rational ist und direkt zu dem führt, was wir heute sehen.

(Ich habe die Logik, die auf alle 3-stelligen Werte der E-Serie angewendet wurde, nicht durchgearbeitet: E48, E96 und E192. Aber ich denke, es ist bereits genug oben, und ich glaube, es wird ähnlich verlaufen. Wenn Sie etwas anderes finden Ich werde mich auch gerne darum kümmern.)

Der abschließende Rationalisierungsprozess in Richtung bevorzugter Zahlen sieht dann ungefähr so ​​aus:

Oben sehen Sie, um welche Schritte es sich handelt, wo die Änderungen vorgenommen werden und wie sie dann fortgeführt werden (natürlich von rechts nach links).

Anmerkungen

• Die Summe oder Differenz der bevorzugten Zahlen vermeidet nach Möglichkeit, eine bevorzugte Zahl zu sein. Dies ist erforderlich, um eine möglichst hohe Abdeckung zu gewährleisten.
• Das Produkt oder der Quotient oder eine ganzzahlige positive oder negative Potenz von Vorzugszahlen ist eine Vorzugszahl.
• Das Quadrieren einer bevorzugten Zahl in der E12-Serie ergibt einen Wert in der E6-Serie. Ebenso ergibt das Quadrieren einer bevorzugten Zahl in der E24-Serie einen Wert in der E12-Serie. Etc.
• Wenn Sie die Quadratwurzel einer bevorzugten Zahl in der E12-Reihe ziehen, erhalten Sie einen Zwischenwert in der E24-Reihe, der in der E12-Reihe nicht vorhanden ist. In ähnlicher Weise ergibt sich aus der Quadratwurzel einer bevorzugten Zahl in der E6-Reihe ein Zwischenwert in der E12-Reihe, der in der E6-Reihe nicht vorhanden ist. Etc.

Das Obige trifft genau zu, wenn die theoretischen Werte anstelle der bevorzugten Werte verwendet werden. (Die Vorzugswerte wurden angepasst, sodass es aufgrund dieser Tatsache zu Abweichungen kommt, wenn Vorzugswerte anstelle der genauen Werte verwendet werden.)

Interessante Frage, die mich veranlasste, etwas über die Geschichte der Probleme und die Gründe für die bevorzugten Zahlen zu erfahren, die ich zuvor nicht so vollständig verstanden hatte.

So danke!