Konstante Leistungsentladung eines nicht idealen Kondensators

Mein Arbeitgeber verkauft Aufwärtswandler, um Motorantriebe während eines Stromausfalls zu halten. Diese Aufwärtswandler werden von Kondensatorbänken gespeist. Um diese Bänke richtig zu dimensionieren, müssen wir ihre Spannung, Kapazität und ESR berücksichtigen, um sicherzustellen, dass von den Kondensatoren genügend Energie zur Verfügung steht, um die Laufwerke für eine bestimmte Zeit mit einer bestimmten Leistung zu halten . Im Moment machen wir das mit einer Approximationsmethode, aber es wäre schön, eine genauere Gleichung zu haben.

Wir gehen davon aus, dass ESR, Kapazität und Lastleistung konstant sind.

ich : Strom P. : Leistung {R.}_{C.} : ESR C. : Kapazität t : Zeit V. : Kondensatorspannung Standardkondensatorgleichung: ich (t) = C. {V.}^{'} (t) Die Leistung aus der Kappe entspricht der Leistung des ESR plus der Leistung der Last: V. (t) ich (t) = P. + {R.}_{C.} {ich}^{2} (t) Ersatz: C. V. (t) {V.}^{'} (t) = P. + {R.}_{C.} {C.}^{2} ({V.}^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Wenn ich recht habe, gibt mir dies eine nichtlineare Differentialgleichung, die mich weit über meine mathematische Komfortzone hinaus bringt. Wenn ich das richtig verstehe, würde das Lösen einer neuen nichtlinearen Differentialgleichung als wesentlicher Beitrag zum Bereich des mathematischen Wissens gelten. Angesichts dessen ist es unwahrscheinlich, dass ich das alleine lösen kann.

Kennt jemand gute Lösungsansätze für V (t)? Weiß jemand, ob diese Gleichung bereits gelöst wurde? Verstehe ich das Problem möglicherweise falsch? Oder sollte ich dies in den Mathe-Stapelaustausch verschieben?

— Stephen Collings
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Wie genau müssen Sie sein? Die an ESR verlorene Energiemenge variiert nicht linear mit der Versorgungsspannung, aber man kann leicht die oberen und unteren Grenzen für die Energiemenge berechnen, die aus der Kappe gewonnen werden kann, wenn sie von einer Spannung auf eine niedrigere Spannung abfällt. Je kleiner der fragliche Abfall ist, desto näher sind die Grenzen. Wenn die Kappe also bei 50 Volt beginnt, könnte man die oberen und unteren Grenzen berechnen, wie viel Energie zurückgewonnen würde, wenn sie von 50 auf 40 Volt fällt. Wenn der Unterschied zwischen Ober- und Untergrenze zu groß ist, könnte man die Energie berechnen ...

— Supercat

... wie es von 50 auf 45 und dann von 45 auf 40 fällt. Wenn der Abstand bei diesen Schrittgrößen immer noch zu groß ist, unterteilen Sie weiter. Wenn alle Parameter genau bekannt wären, müsste man wahrscheinlich nicht zu viel unterteilen, um Ober- und Untergrenzen innerhalb von etwa 20% voneinander zu erhalten. Angesichts einiger Ungenauigkeiten in den Parametern wäre es wahrscheinlich nicht sinnvoll, darüber hinauszugehen.

— Supercat

Wirklich, ich nehme an, wir haben drei Fragen. Ist das lösbar? Wenn das so ist, wie? Wenn nicht, was ist der nächstbeste Ansatz? Wir suchen nach einer genauen Lösung für die Gleichung, aber wenn es keine gibt, könnte das, was Sie beschreiben, ein guter Sicherungsplan sein.

— Stephen Collings

Sie können versuchen, Ihre Schaltung als idealen Kondensator, ESR-Widerstand und Lastimpedanz in Reihe zu modellieren. Durch Auflösen der Knotenspannungen und des Stromflusses (die alle linear unabhängig sein sollten) können Sie die ESR-Verluste im Verhältnis zum Laststromverbrauch ermitteln. Der einzige Stickler wäre die Schätzung Z_L, obwohl ich denke, dass Sie in der Lage sein sollten, dies herauszufinden, indem Sie zurückrechnen, aus welcher Nennleistung und welchem akzeptablen Spannungsabfall Sie Ihr Design erwarten.

— helloworld922

@Remiel: Es ist üblich, reale Kondensatoren als eine Kombination aus idealen Kondensatoren, Widerständen und Induktivitäten zu modellieren, und ein solches Modell wird der Realität näher sein als eines, bei dem einfach erwartet wurde, dass sich eine reale Kappe wie eine ideale verhält, aber die " ideale nicht ideale Kappe "ist immer noch nur eine Annäherung. In der realen Welt können sowohl ESR als auch Kapazität auf seltsame nichtlineare Weise mit der Spannung variieren. Eine Gleichung, die das Verhalten eines Modells genau beschreibt, ist möglicherweise nicht genauer als eine zeitdiskrete Simulation zur Vorhersage des tatsächlichen Verhaltens einer realen Schaltung.

— Supercat

$V_{0}$

t (V.) = \frac{C.}{4 P.} ({V.}_{0}^{2} - - {V.}^{2} + {V.}_{0} \sqrt{{V.}_{0}^{2} - - 4 P. {R.}_{C.}} - - V. \sqrt{{V.}^{2} - - 4 P. {R.}_{C.}}) + C. {R.}_{C.} (\ln (V. + \sqrt{{V.}^{2} - - 4 P. {R.}_{C.}}) - - \ln ({V.}_{0} + \sqrt{{V.}_{0}^{2} - - 4 P. {R.}_{C.}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

V. = {V.}_{m ich n} + \frac{P. {R.}_{C.}}{{V.}_{m ich n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$

V_{m i n}

$V_{min}$

Diese Berechnungen scheinen gut mit unseren numerischen Schätzmethoden übereinzustimmen.

— Stephen Collings
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