Was ist eine Sinuswelle?

Dies kam, als ein Student mich fragte. Eine einfache Frage, könnte man meinen. Außer ... wie man eine ohne Tautologie definiert? Das heißt, ohne das Wort "Sinus" (oder Cosinus für diese Angelegenheit) zu verwenden. Wikipedia hilft nicht, obwohl die sich bewegende Scheibe von Bedeutung sein könnte.

Kurz gesagt, ich vermute, dass sein Lehrer ihm ein sehr schweres Problem bereitet hat, auch wenn ich mich möglicherweise irre.

Dies geschah im Rahmen eines Elektronikkurses. So lassen sich aus den Eigenschaften verschiedener Bauelemente / Schaltungen vermutlich beliebige Antworten ableiten.

Beginnen Sie damit:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schaltplan erstellt mit CircuitLab}

Sagen:

Wir haben die Induktivität L1. Wir laden C1 separat auf und schließen es dann wie gezeigt schnell an, so dass die Oberseite dieses Stromkreises relativ zur Unterseite auf + 1V-Potential liegt.

Fragen Sie sich (oder die Schüler):

Was wird als nächstes passieren?

Kluge Schüler werden sagen: Ja, nun, es ist eine schnelle Änderung der Spannung an L1, so dass es einige Zeit dauern wird, bis die Dinge "DC-y" aussehen und Strom durch L1 fließt und C1 entlädt, so dass das Gesamtpotential steigt 0 V sein.

Aber was ist mit dem Magnetfeld im Induktor?

Oh ja, das speichert jetzt die Energie vom Kondensator

Der Stromfluss stoppt also für immer, sobald die Spannung an C1 (und L1) 0 V beträgt.

Nein, die Magnetfelderergie muss irgendwohin. Der Kondensator wird also wieder aufgeladen.

Können wir dem Formeln hinzufügen? Ja wir können; Geben Sie die Differentialgleichungen ein, die den Strom und die Spannung zwischen Kondensatoren und Induktivitäten beschreiben. Zeigen Sie, dass Sie eine Funktion benötigen, deren zweite Ableitung selbst negiert ist.

Jetzt kommt der schwierige Teil, und ich fürchte, Sie werden nichts dagegen tun können: Sie müssen sagen: Hey, das ist ein Sinus, er erfüllt diese Bedingung.

Eine Möglichkeit wäre, eine Sinuswelle in Bezug auf den Einheitskreis zu beschreiben. Der Radius zeichnet offensichtlich einen Kreis, ABER die x- und y-Koordinaten zeichnen die bekannten Wellenformen nach.

Dies hilft auch bei der bildlichen Erläuterung der Eulers-Formel:

$e^{i x} = cos(x)+ i\cdot sin(x)$

wobei der Spezialfall von die Euler-Identität ergibt: e i π + 1 = $x = \pi$$e^{i \pi} + 1 = 0$

(Quelle: https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/ )

Die einfachste Erklärung, die ich finde, ist in dem obigen Bewegtbild zusammengefasst. Es geht um rechtwinklige Dreiecke, die innerhalb eines Kreises existieren.

Foto von hier gemacht . Siehe auch Warum ist eine Sinuswelle gegenüber anderen Wellenformen bevorzugt .

Einfach: Eine Sinuswelle in der Zeit t ist der imaginäre Teil von:

wobei ω die Winkelfrequenz ist.

Viele physikalische Probleme können als lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten formuliert werden.

Für kontinuierliche ("harmonische" Schwingungen) ohne Dämpfung kann die Bewegung einfach als Differentialgleichung einer Funktion und ihrer zweiten Ableitung beschrieben werden. Ohne Dämpfung, wobei f normalerweise eine Funktion der Zeit ist , erhalten Sie ungefähr Folgendes:

Sie können die Sinusfunktion als f definieren, die allgemeine Lösung für diese Gleichung. Es kann gezeigt werden, dass dies die einzige allgemeine Lösung für dieses Problem ist.

Hier ist Ihre klare Definition: eine Lösung und ein gutes Modell zur Beschreibung gängiger Phänomene.

Siehe auch diese Antwort: /electronics//a/368217/39297

Einfach. Starten Sie bei Dampflokomotiven. Sinus ist die Position des Kolbens im Verhältnis zum Radwinkel. * Sie können sich einen in einem Museum ansehen: Trigger in lebender Farbe.

Schauen Sie sich zum Beispiel das Gestänge an den Positionen 3:00 und 9:00 an (90 und 270 auf der Sinuswelle, wo es flach ist) und sehen Sie, wo der Kolben ein Problem hat: Er kann keine Kraft aufbringen. Deshalb ist der Mechanismus auf der anderen Seite um 90 Grad phasenverschoben. Dieser Kolben ist auf dem Höhepunkt seiner Hebelwirkung.

Das Konzept funktioniert noch besser mit 3 (60 Grad außer Phase), die Dampflokomotiven machten, wenn sie konnten (UK, Shay) und dieses Konzept wird heute in 3-Phasen-Strom verwendet.

Und Wechselstromgeneratoren tun das Gleiche, wenn das Gleichstrommagnetfeld am Rotor über die nicht bewegten Feldwicklungen läuft. Ein Generator wird angetrieben, aber ein Einphasenmotor kann wie eine Einkolben-Dampfmaschine im oberen Totpunkt hängen bleiben. Dies wird durch eine spezielle Starterwicklung gelöst. Dreiphasenmotoren haben dieses Problem nicht.

Dieses Konzept taucht immer wieder in der Mechanik und damit in der Elektronik auf. Wie andere betont haben, taucht es in der Natur häufig auf. Beachten Sie auch, dass, wenn die Position eine Sinuswelle ist, die Geschwindigkeit eine Sinuswelle ist, die Beschleunigung auch eine Sinuswelle ist, der Ruck (dA) auch eine Sinuswelle ist und die Sinuswellen bis zum Anschlag abfallen. Das "perfekte Rechteck" der Bewegung.

* Die Dampflok-Hauptstange rüttelt jetzt ein wenig an einer reinen Sinuswelle, aber dies ist eine ziemlich lange Stange (im Gegensatz zu Ihrem Automotor), und daher ist der Unterschied betrieblich vernachlässigbar und für die Lokomotivenhersteller unbedeutend .

DaveTweed: kein Trottel, weil ich mich direkt für die reale Welt bewerbe.

Hier ist eine andere Erklärung:

Sinuswellen

Angepasstes Zitat:

Eine Sinuswelle ist eine sich wiederholende Änderung oder Bewegung, die, wenn sie als Diagramm dargestellt wird, dieselbe Form wie die Sinusfunktion hat.

Ein Zitat, das sich mehr mit Elektronik befasst:

Die elektrische Energie in Ihrem Haus ist Wechselstrom oder Wechselstrom. Die Richtung des Stromflusses ändert sich je nach Wohnort 50- oder 60-mal pro Sekunde. Wenn Sie die Spannung gegen die Zeit auftragen, stellen Sie fest, dass es sich auch um eine Sinuswelle handelt, da sie von einem rotierenden Generator stammt.

In dem Link finden sich auch physikalische Beispiele für Sinuswellen hinsichtlich Amplitude, Periode und Frequenz.

Zum Beispiel ein Gewicht, das an einer Feder aufgehängt ist. Während es auf und ab hüpft, ist seine Bewegung im Zeitverlauf eine Sinuswelle.

Die Antwort von Florian Castellane zeigt, dass die Sinuswelle die Lösung für eine sehr grundlegende Differentialgleichung ist. Aber diese Antwort ist möglicherweise schwer zu verstehen, wenn man Differentialgleichungen nicht studiert hat.

Wenn wir schreiben:

$a \cdot f'' + f = 0$$f'' = -\frac{1}{a}\cdot f$

Das f ist eine Variable, die wir messen, und f '' ist die zweite Ableitung.

Diese Differentialgleichung kommt in der Physik an sehr vielen Stellen vor:

• $F = kx$

• $\frac{dI}{dt}=\frac{1}{L}\cdot v$

Es gibt aber auch eine andere Quelle von Sinuswellen, und das ist alles, was mit kreisförmiger Rotation zu tun hat. Das Prinzip davon wird in Andy Akas Antwort gut gezeigt. Kreisförmige Rotation verursacht Sinuswellen zB in elektrischen Generatoren und auch in unserem eigenen Sonnensystem.

Eine Sinuswelle ist eine Wellenform, die in der Form ausgedrückt werden kann.$A\sin(\omega t + \varphi)$

Aber das ist etwas tautologisch, was macht die Sünde so besonders? Warum betrachten wir Sinuswellen als "reine" Frequenzen?

Und die Antwort darauf ist, wie es sich unter Differenzierung verhält.

Die Ableitung einer Sinuswelle ist also eine Sinuswelle mit der gleichen Frequenz. Sicher ist es phasenverschoben und hat eine andere Amplitude, aber es ist die gleiche Frequenz und die gleiche Form.

Abgesehen von der willkürlichen Konstante gilt dasselbe für die Integration.

Sinuswellen sind die einzigen echten periodischen Funktionen, für die dies gilt. Alle anderen realen periodischen Funktionen ändern ihre Form, wenn sie differenziert oder integriert werden.

Also können wir sagen

"Eine Sinuswelle ist ein periodisches Signal, das seine Form und Frequenz behält, wenn es differenziert oder integriert wird."

Viele physikalische Systeme ermöglichen das plötzliche und überraschende Auftreten von Sinuswellen. Als Sie jung waren, haben Sie zum Beispiel Wellen im Wasser gesehen, die Bewegung einer Schaukel, nachdem Sie gedrückt und losgelassen haben, und Sie haben versucht, ein steifes Lineal zu biegen und es dann loszulassen. Diese Dinge haben, obwohl sie unterschiedlich sind, eine gemeinsame Eigenschaft: Sie wackeln oder schwingen oder ... vibrieren oder ... im Allgemeinen gehen sie hin und her. Jahre vergehen, dann befinden Sie sich in einem Ingenieur-Kurs, in dem Sie lernen, was mit diesen wackelnden Dingen, die Sie beobachtet haben, wirklich los ist, nur um herauszufinden, dass sie auf die gleiche Weise wackeln! Und das ist Überraschung, Überraschung, die Sinuswelle. Es ist der InbegriffWelle, weil ihre Existenz in der Natur von großer Bedeutung ist. Wer weiß, was passiert, wenn Wellen in ruhigem Wasser Rechteckwellen sind, wenn die Bewegung der Schaukel die Form einer Rechteckwelle hat, und so weiter, dann ist die Rechteckwelle die fundamentale Wellenform. Es kommt einfach vor, dass dies nicht der Fall ist wahr und die Sinuswelle manifestiert sich so sehr im Universum.

Was wirklich faszinierend ist, ist, dass die Sinuswelle aus Dreiecken und Kreisen stammt. Ohne mathematische Kenntnisse ist es wirklich schwierig, die Punkte von dort mit Erscheinungsformen der Sinuswelle in Wasser, Schaukeln, Linealen usw. zu verbinden, aber der Punkt ist, dass die Ableitung einer Sinuswelle eine Sinuswelle ist und Das ergibt sich aus der Geometrie des Kreises und des rechten Dreiecks. Und physikalische Systeme können durch Differentialgleichungen modelliert werden, wodurch die Gewissheit entsteht, dass Sinuswellen in diesen Systemen existieren (auch Exponentiale nicht vergessen; ihre Existenz in der Natur ist ebenfalls von großer Bedeutung; sie haben eine seltsam tiefe Verbindung mit Sinuswellen , was sich letztendlich in Eulers Formel zeigt).

Eine andere Sache über die Sinuswelle ist, dass sie einige Systeme ziemlich gut "durchlaufen" kann. Haben Sie einen sinusförmigen Eingang für ein LTI-System (wie ein System, das nur aus idealen Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten besteht), erhalten Sie einen sinusförmigen Ausgang (insbesondere einen, der die Frequenz des Eingangs beibehält). Mit anderen Worten, die sinusförmige Wellenform ist die einzige eindeutige Wellenform, die ihre Form durch ein LTI-System nicht ändert. Schauen Sie sich diese Vorlesung an.

Und das Traurige an Sinuswellen ist, dass sie technisch nicht existieren. Sinuswellen, die Sie aus der Natur bekommen, haben einige Deformationen, Verzerrungen, Rauschen und auch ideale passive Komponenten, die es nicht gibt. Das Beste, was diese erhalten können, ist eine genaue Annäherung an die Sinuswelle. Wenn jemand jedoch so heikel ist, die Mathematik so voranzutreiben, dass diese Unvollkommenheiten berücksichtigt werden, können die Messungen immer präziser werden (was aufgrund der Quantenmechanik und all des Hokuspokus auf die atomare Ebene beschränkt sein könnte).

Eine orthogonale Projektion eines Punktes, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und -richtung entlang eines Kreises bewegt, aufgetragen gegen die Zeit.

Der einfachste Weg, es sich vorzustellen, ist die Projektion einer Helix auf eine Ebene, die die Mittellinie der Helix enthält. Wenn Sie einen Overhead-Projektor mit einer Standard-Schraubenfeder versehen, wird eine Sinuswelle projiziert. (Drehe, um die Phase entsprechend zu korrigieren, wenn du so puristisch bist. :-)

Ich versuche es ein wenig zu konkretisieren, indem ich die Idee vorschlage, ein "Plotter" -Gerät der alten Schule zu bauen ... etwas, das ein Blatt Papier vor und zurück rollen kann, dann einen Stift und einen Arm hat, der sich nur um eine Achse bewegen kann .

Wenn Sie versuchen, jemanden zum Nachdenken über den Bau einer solchen Maschine zu bewegen, können Sie ihn leicht zum Nachdenken über das Programmieren zum Zeichnen von Linien und Quadraten bewegen. Es ist auch relativ einfach, sie dazu zu bringen, über das Zeichnen eines Diamanten nachzudenken, wenn sie Papier und Stift mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen.

Wenn sie dann darüber nachdenken, was zum Zeichnen eines Kreises erforderlich ist, müssen sie sich überlegen, was sich vom Zeichnen des Diamanten unterscheidet. Sie müssen beschleunigen und dann die Bewegung des Arms verlangsamen und in die andere Richtung gehen.

Ich möchte es auf diese Weise konkretisieren, um die Grafiken zu entmystifizieren.

Stellen Sie sich eine sich drehende Scheibe vor. Richten Sie es vertikal aus. Legen Sie eine Kugel Kaugummi irgendwo auf die Kante. Schau von der Seite. Legen Sie altmodisches Fotopapier dahinter und ein Licht davor. Ziehen Sie das Papier mit einer konstanten Geschwindigkeit, entwickeln Sie es und Sie werden eine Sinuswelle sehen.

Die Sinuswelle ist die grundlegende Lösung für das einfache Problem der harmonischen Bewegung. Dies ist die Differenz y = - k dy ^ 2 / dx ^ 2.

Wenn Sie es mit Studenten der Ingenieurwissenschaften zu tun haben / mit jemandem, der sein erstes Jahr (Semester, was auch immer) in der Analysis verbracht hat, können Sie sagen, dass eine Sinusfunktion eine Funktion ist, deren Ableitung selbst um 90 Grad zurück verschoben ist. Mit anderen Worten, die Rate, mit der sich die Position ändert, ist dieselbe wie die Rate, mit der sich die Geschwindigkeit ändert, jedoch nicht gleichzeitig.

Eine Möglichkeit, das Besondere an einer Sinuswelle zu beschreiben, besteht darin, dass es sich um eine "reine" Frequenz handelt. Jede analytische Wiederholungsfunktion kann als eine Kombination von Sinuswellen beschrieben werden. Sinuswellen sind die Bausteine, in die solche Funktionen zerlegt werden können.

Sinus ist auch die "natürliche" Wellenform, die etwas Schwingendes erzeugt. Stellen Sie sich eine Masse vor, die am Ende eines Frühlings baumelt. Sobald Sie es in Gang bringen, wird es auf und ab schwingen. Mit einer perfekten Feder ist diese vertikale Bewegung als Funktion der Zeit ein Sinus. In der realen Welt wird es ein Sinus sein, dessen Amplitude langsam abnimmt, da die Feder jedes Mal, wenn sie gebogen wird, ein wenig Energie verbraucht.

Der gleiche Effekt ist in der Elektronik zu beobachten, in der Kondensator und Induktor parallel geschaltet sind. Wenn Sie die Kappe aufladen, schließen Sie einen Schalter, sodass Induktor und Kappe parallel geschaltet sind. Die Energie schwappt zwischen den beiden auf unbestimmte Zeit hin und her, wenn sie ideal wären. Sowohl die Spannung als auch der Strom sind Sinus, jedoch um 90 ° zueinander phasenverschoben. Genau wie bei der Feder und der Masse werden in der realen Welt beide tatsächlich mit der Zeit in ihrer Amplitude abnehmen, da ein Teil der Energie in den Bauteilen verbraucht wird, weil sie nicht ideal sind. Ich gehe hier näher auf eine solche Induktor- und Kondensatorschaltung ein .

Stellen Sie sich jede Art von Wellenform (Rechteck, Dreieck, Sägezahn, Impuls) analog oder digital vor. Alle Wellenformen bestehen aus einer großen Anzahl von Wellenformen, die zusammenaddiert werden (mit unterschiedlichen Frequenzen, Amplituden und Phasen). Diese Art ist als Sinuswelle bekannt.