Hätte eine Dreieckswelle endliche oder unendliche Sinuskomponenten?

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Eine Diskontinuität bewirkt, dass ein Signal unendlich viele sinusförmige Komponenten hat, aber eine Dreieckwelle ist kontinuierlich. Ich habe eine Klasse besucht, in der ein Lehrer sagte, dass die Dreieckwelle, da sie kontinuierlich ist, durch eine endliche Anzahl von Sinuskomponenten dargestellt werden kann und auch a zeigt endliche Addition mehrerer Frequenzen von Sinuskurven, die die Form einer reinen Dreieckswelle ergaben.

Das einzige Problem, an das ich denke, ist, dass die Ableitung einer Dreieckswelle nicht kontinuierlich ist, da es sich um eine Rechteckwelle handelt, und daher eine unendliche Summe von Sinuskurven benötigt, wenn man die beiden Seiten der Formel der Fourier-Reihe einer Dreieckswelle ableitet erhalten wir eine Rechteckwelle, die als Summe einer endlichen Anzahl von Sinuskurven dargestellt wird. Wäre das nicht falsch?

fourier

— Syed Mohammad Asjad
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Die Dreieckswelle hat eine unendliche Fourier-Reihe. Denken Sie daran, dass Tutoren fehlbar sind.

— Autistic

Was hat dein Lehrer gesagt, als du ihn gefragt hast?

— Solar Mike

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@Syed Mohammad Asjad: Deine Überlegung mit der Ableitung ist richtig. Vielleicht haben Sie ein besseres Verständnis für die Angelegenheit als Ihr Ausbilder.

— Curd

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Tatsächlich müssen die Funktion und ALLE ihre Ableitungen stetig sein, um eine endliche Fourier-Reihe zu haben . Alle Ableitungen einer Sinuskurve sind stetig, und dies gilt auch für jede endliche Summe von Sinuskurven.

— Dave Tweed

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Keine Antwort, aber: Fourierreihen mit endlichen Koeffizienten sind sehr restriktiv. Die meisten periodischen Funktionen haben unendlich viele Fourierreihen. Je glatter die Funktion ist, desto schneller fällt der Koeffizient im Unendlichen ab. Wenn eine Funktion mit einer begrenzten Ableitung k-mal differenzierbar ist, dann zerfallen ihre Fourier-Koeffizienten (c_n) so schnell wie 1 / n ^ (k + 1), wie durch Induktion gesehen werden kann. Für analytische Funktionen (Funktionen mit konvergenten Taylorreihen, dh sogar glatter als unendlich differenzierbar) ist der Zerfall exponentiell. Das Dreieck hat Fourierreihen, die genau 1 / n ^ 2 sind.

— Alexandre C.

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Eine Dreieckswelle ist kontinuierlich

Zitat von hier : -

Die Dreieckswelle hat keine diskontinuierlichen Sprünge, aber die Steigung ändert sich diskontinuierlich zweimal pro Zyklus

Eine diskontinuierliche Änderung der Steigung bedeutet auch einen unendlichen Bereich sinusförmiger Komponenten.

Wenn Sie beispielsweise eine Rechteckwelle zeitintegrieren, erzeugen Sie eine Dreieckwelle, aber nach der Zeitintegration bleibt die gesamte Hamonik der ursprünglichen Rechteckwelle erhalten:

— Andy aka
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Hatte das gleiche gedacht, graohical Darstellung half viel, danke :)

— Syed Mohammad Asjad

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Der Ausbilder sagte, dass die Dreieckswelle, da sie kontinuierlich ist, durch eine endliche Zahl von Sinus dargestellt werden kann

Entweder hast du das nicht richtig verstanden oder der Ausbilder hat falsch geschrieben. Es ist nicht ausreichend, dass das Signal selbst kontinuierlich ist, aber alle Ableitungen müssen auch kontinuierlich sein. Wenn eine Ableitung eine Diskontinuität aufweist, weist das sich wiederholende Signal eine unendliche Reihe von Harmonischen auf.

Ein Dreieck ist stetig, aber seine erste Ableitung ist eine Rechteckwelle, die nicht stetig ist. Eine Dreieckswelle hat daher eine unendliche Reihe von Harmonischen.

— Olin Lathrop
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Nope hat nichts falsch gehört, er hat auch nichts falsch gemacht, weil er es zweimal gesagt hat und die Klasse später gefragt hat, was er gesagt hat und was ich genau gedacht habe :)

— Syed Mohammad Asjad

@SyedMohammadAsjad ihr habt beide recht. Von Google; misspeak: " Drücken Sie sich nicht klar genug aus." Ich denke, dass einer von Ihnen "unzureichend klar" und der andere "unzureichend genau" verwendet.

— Ohhh

Obwohl der Wortlaut dieser Antworten etwas darauf hindeutet, ist die Tatsache, dass alle Ableitungen existieren (und daher kontinuierlich sind, da die nächste Ableitung existiert) noch lange nicht ausreichend, um eine endliche Fourier-Reihe zu haben. Die meisten Fourier-Reihen für periodische Signale, jedoch glatt (Klasse $ \ mathcal C ^ \ infty $ oder sogar analytisch), haben unendlich viele Nicht-Null-Komponenten; Es ist schwer, eine Beschreibung derer zu finden, die nichts anderes als "endliche Summen von Sinus und Cosinus" haben. Alles, was Glätte impliziert, ist ein Wert, mit dem die Koeffizienten zu 0 tendieren .

— Marc van Leeuwen

Ein Blockfilter kann die Anzahl der Harmonischen endlich machen und sieht immer noch mit mindestens 20 / \ / \ / \ / \ / trinagular aus, weit entfernt von unendlich

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

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Mathe Beweis:

Nehmen Sie eine Funktion, die sich aus der gewichteten Summe einer endlichen Reihe von Sinus / Cosinus-Komponenten zusammensetzt.

Ihre Ableitung ist auch eine gewichtete Summe einer endlichen Reihe von Sinus / Cosinus-Komponenten. Dasselbe gilt, wenn Sie mehrmals ableiten.

Da Sinus und Cosinus stetig sind, sind die Funktion und alle ihre Derivate stetig.

Somit kann eine Funktion mit einer Diskontinuität in einer ihrer Ableitungen nicht mit einer endlichen Reihe von Sinus / Cosinus-Komponenten aufgebaut werden.

— peufeu
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Genau das, was ich gedacht hatte, danke :)

— Syed Mohammad Asjad

Sollte "Sinus und Cosinus sind glatt" nicht nur stetig sein - aber das Wesentliche ist korrekt, eine endliche Summe von Sinus und Cosinus ist glatt, so dass in keiner seiner Ableitungen Diskontinuitäten auftreten können

— verpassen Sie den

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@nimish Er beweist, dass alle Derivate endliche Summen von (Co) Sinus sind, daher braucht er nur Kontinuität von (Co) Sinus, nicht Glätte :-)

— yo '

Ja, das habe ich verpasst. Aus der Analyse von $ \ exp (z) $ für $ z \ in \ mathbb {C} $ folgt dies trivial.

— Nimish

Ein dickes Lob für die mathematische Antwort, die die Mathematik erklärt, anstatt sie nur einzufügen!

— uhoh

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Gute Antworten gibt es hier zuhauf, aber es kommt wirklich auf Ihre Interpretation von "kann dargestellt werden durch" an .

Man muss verstehen, dass eine Dreieckswelle ein theoretisches mathematisches Konstrukt ist, das in der Realität nicht existieren kann.

Um eine reine Dreieckswelle zu erhalten, würde man mathematisch gesehen eine unendliche Anzahl harmonischer Sinuswellen benötigen, aber um eine Darstellung einer Dreieckswelle zu erhalten, sind die meisten dieser Komponenten zu klein, um eine Rolle zu spielen oder sind so hochfrequent, dass sie nicht mehr übertragbar sind.

In der Praxis benötigen Sie daher nur eine endliche Zahl, um eine brauchbare Darstellung zu erhalten. Wie gut diese Darstellung sein soll, hängt davon ab, wie viele Harmonische Sie verwenden müssen.

— Trevor_G
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Das ist in der Tat eines der Dinge, die man sich ansehen sollte. Ich werde meinen Lehrer sicherlich fragen, ob er gemeint hat, dass wir, weil Sie Recht haben, in Wirklichkeit überhaupt nicht zu den unendlichen Frequenzen gehen, auch nicht in der Rechteckwelle (was nicht der Fall ist). t ein reines Quadrat) :)

— Syed Mohammad Asjad

Während Sie Recht haben, dass eine Dreieckswelle ein mathematisches Konstrukt ist, ist Ihre Argumentation falsch. Die Tatsache, dass Sie es nicht mit endlich vielen Harmonischen schaffen können, ist kein Beweis dafür, dass Sie es überhaupt nicht schaffen können.

— Du

@yo 'in der Tat ist das eines dieser Dinge, von denen ich denke, dass viele von uns es schwer haben, damit umzugehen. Wenn eine Dreieckswelle eine unendliche Anzahl von Sinuswellen ist, können Sie die Harmonischen nicht addieren oder passieren. Wenn es sich nur um eine Dreieckswelle handelt ... die auf andere Weise erzeugt wurde ... was ... wie überträgt man sie ... und wie erkennt das, was sie überträgt, den Unterschied ... bereitet mir Kopfschmerzen beim Nachdenken im Grunde genommen, auch wenn es nur ein kurzes Stück Draht oder Leiterplatte ist, kann es nicht ohne Verzerrung.

— Trevor_G

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Der Unterschied zwischen dem mathematischen Ideal und der realen Welt auf den Punkt gebracht.

— PeterG

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Ein anderer Ansatz.

Nennen wir x (t) die Dreieckswelle und y (t) ihre Ableitung, die eine Rechteckwelle ist, also diskontinuierlich.

Wenn x (t) eine endliche Summe von sinusförmigen Signalen wäre, wäre seine Ableitung durch die Linearität dieser Operation eine endliche Summe von Ableitungen von sinusförmigen Signalen, dh wiederum eine endliche Summe von sinusförmigen Signalen.

Dieses letztere Signal kann jedoch nicht die Rechteckwelle y (t) sein, da eine endliche Summe von Sinussignalen stetig ist. Wir haben also einen Widerspruch.

Deshalb x (t) muss unendlich Fourier - Komponenten haben.

— Lorenzo Donati unterstützt Monica
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Ich schlage einen viel einfacheren Test für die Praxis vor. Wenn die Welle scharfe Ecken hat, müssen unendlich viele sinusförmige Komponenten aufgebaut werden.

Warum? Weil eine endliche Reihe von Sinusperioden keine scharfe Kurve machen kann. Dies wird durch Induktion auf die Zerlegungsregel der Summen bewiesen (dh that (a + b) = Σ a + Σ b für alle endlichen Summationen und alle bedingungslos konvergenten unendlichen Summationen).

— Joshua
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Die Menge von Funktionen, die durch eine endliche Fourier-Reihe ausgedrückt werden können, sind:

F : = {f (x) = {ein}_{0} + \sum_{n}^{n \in N} ({ein}_{n} \cos n x + b_{n} Sünde n x)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

Für alle endlichen Mengen von Indizes N . Die termweise Differenzierung zeigt, dass das Derivat (1) stetig und (2) auch in F ist . Da die Ableitung der Dreieckswelle nicht kontinuierlich ist, ist die Funktion der Dreieckwelle nicht in F .

Dieser Nachweis basiert weg von Diskontinuität, aber die meisten stetigen Funktionen tun auch nicht gehören in F . Da kein Polynom oder keine Exponentialfunktion als endliche Summe von Sinus und Cosinus ausgedrückt werden kann, sind die einzigen Elemente von F diejenigen, die explizit in der obigen Form ausgeschrieben sind.

— Jared Goguen
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