Warum ändert eine RC-Schaltung nicht die Form eines Eingangssinus?

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Im obigen Bild ist die rote Rechteckwelle der Eingang und die blaue Welle der Ausgang einer RC-Schaltung. Ich kann nicht verstehen, warum ich eine perfekte Sinuswelle bekomme, wenn ich eine Sinuswelle als Eingabe speise. Das Laden und Entladen des Kondensators muss einige Zeit dauern. Meine Intuition schreit also, dass die Ausgabe eine periodische Welle ist, deren Periode die Hälfte der Eingabe ist. Könnte jemand das für mich klären? Vielen Dank!

Sollte es im Zeitbereich nicht so etwas tun?
Bei t = 0 hat der Kondensator eine Spannung von 0. Da die Eingangsspannung groß ist, lädt sich der Kondensator weiter auf und trifft beim Absinken auf die Eingangssinuswelle.

Dann wird die Eingangsspannung niedriger als die Kondensatorspannung, sodass der Kondensator zu entladen beginnt und beim Ansteigen wieder auf die Eingangssinuswelle trifft.

capacitor

— Hiiii
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Sin Wave ist eine ganz besondere Wellenform. Der Kondensatorstrom ist proportional zur Änderungsrate der Eingangsspannung. In der mathematischen Liga können wir sagen, dass der Kondensatorstrom die Ableitung der Spannung über dem Kondensator in Bezug auf die Zeit . Und durch "Zufall" ist die Ableitung der Sinusfunktion die Cosinusfunktion (eine Phasenverschiebungs-Sinuswelle).

I = C * \frac{d V}{d t}

$I = C*\frac{dV}{dt}$

— G36

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Ich würde sagen, @ G36 hat es geschafft. Die Ausgabe ist verzerrt. Die verzerrte Wellenform hat jedoch zufällig die gleiche Form des Eingangs, nur kleiner und mit einer Phasenverschiebung. Darüber hinaus können Sie sehen, wie sich die "Verzerrung" aufbaut, wenn Sie einen "Sinus" ab t = 0 füttern (tatsächlich ist ein Sinus nur dann ein Sinus, wenn er vor unendlicher Zeit ein Sinus wurde). Sie werden sehen, dass der Ausgang stark verzerrt ist (eine andere Form hat), bis er sich bei Erreichen des stationären Zustands in einen verschobenen Sinus verwandelt.

— Sredni Vashtar

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... und das alles läuft übrigens darauf hinaus, dass die Exponentialfunktion selbstähnlich ist (sie sieht aus wie sich selbst, egal wie Sie sich in der Zeit übersetzen). Es hat auch eine Ableitung, die genau wie sich selbst aussieht. Wenn Sie also Eulers Identität hinzufügen, sehen Sie, warum Sinus und Cosinus so besonders sind.

— Sredni Vashtar

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Die Schaltung ist ein lineares System, und die stationäre Reaktion auf eine Eingangssinuskurve ist eine weitere Sinuskurve mit der gleichen Frequenz wie der Eingang. Beachten Sie, dass stationärer Zustand den Bereich der Zeitachse bedeutet, in dem der reale Exponentialteil der vollständigen Antwort auf Null abgefallen ist.

— Chu

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y = e^{(σ + j ω) t}

$y=\text{e}^{(\sigma+\text{j}\omega)t}$

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Lerne im Frequenzraum zu denken. Dies ist eines der Dinge, die im Zeitbereich schwer zu erkennen sind, im Frequenzbereich jedoch gut herausfallen.

Eine Sinuswelle ist eine einzelne "reine" Frequenz. Ein RC-Filter ist ein lineares System, das nicht verzerren kann, dh es kann keine Frequenzen im Ausgang erzeugen, die nicht im Eingang sind. Wenn Sie nur eine Frequenz eingeben, kann der Ausgang nur diese eine Frequenz enthalten. Die einzigen Fragen sind, wie die relative Amplitude und Phasenverschiebung von Eingang zu Ausgang sein wird.

Der Grund dafür, dass eine Rechteckwelle nicht zu einer Rechteckwelle führt, liegt darin, dass eine Rechteckwelle viele Frequenzen enthält. Jedes davon kann unabhängig voneinander gedämpft und phasenverschoben werden. Wenn Sie die relative Stärke und die Phasen der Harmonischen ändern, erhalten Sie im Zeitbereich ein anders aussehendes Signal.

Eine Rechteckwelle kann als Überlagerung einer unendlichen Reihe von Sinus betrachtet werden. Dies sind überhaupt die ungeraden Harmonischen (ungerade ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz). Die Amplitude dieser Harmonischen fällt bei höheren Frequenzen ab.

Sie können eine Rechteckwelle nacheinander durch mehrere RC-Tiefpassfilter leiten, deren Rolloff-Frequenz deutlich unter der der Rechteckwellenfrequenz liegt. Nach jedem Filter ähnelt das Ergebnis immer mehr einem Sinus. Dies liegt daran, dass solche Filter hohe Frequenzen stärker dämpfen als niedrige. Dies bedeutet, dass die Harmonischen der Rechteckwelle stärker gedämpft werden als die Grundwelle. Wenn Sie dies genug tun, haben die Harmonischen im Verhältnis zur Grundwelle so wenig Amplitude, dass Sie nur die Grundwelle sehen. Das ist eine einzelne Frequenz, also ein Sinus.

Hinzugefügt

So würde kein RC-Filter reagieren:

Wenn bei einem RC-Tiefpassfilter die Eingangsfrequenz deutlich unter dem Rolloff liegt, folgt der Ausgang meist nur dem Eingang. Bei deutlich über der Abrollfrequenz ist der Ausgang das Integral des Eingangs.

In beiden Fällen kommt es nicht zu plötzlichen Änderungen der Ausgangssteigung, wie Sie zeigen. Es gibt nichts Besonderes an der Eingangskreuzung über oder unter der Ausgabe, da dies reibungslos geschieht. Sie erhalten einen Wendepunkt in der Ausgabe, aber es ist ein sanfter Buckel, da sich die Eingabe vorher glatt nähert und danach glatt verlässt.

Es kann lehrreich sein, eine Schleife zu schreiben, um dies selbst zu simulieren. Alles, was Sie in jedem Schritt tun müssen, ist, die Ausgabe um einen kleinen Bruchteil der momentanen Differenz der Eingabe abzüglich der Ausgabe zu ändern. Das ist es. Wirf dann eine Sinuswelle darauf und schau, wie der Ausgang reibungslos folgt, um einen weiteren Sinus zu erzeugen, obwohl er in der Phase verzögert und in der Amplitude niedriger ist.

— Olin Lathrop
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Vielen Dank für die klare Erklärung (: Der Frequenzbereich macht es einfacher zu verstehen, warum Sinusoideingänge Sinusausgänge erzeugen! Aber dennoch magisch für mich, wie all diese Schaltkreise Fourier-Reihen kennen und auf jede der Harmonischen im Eingang separat reagieren!

— Hiiii

Hey, tut mir leid, ich verstehe im Frequenzbereich, aber ich konnte meine Argumentation im Zeitbereich noch nicht überzeugen. -_- Könnten Sie sich bitte meine aktualisierte Frage ansehen? Ich habe ein neues Bild gepostet.

— Nochmals vielen

@Hiiii, sehen Sie nicht, dass eine Wellenform in eine sinusförmige Wellenform zerlegt wird. Sehen Sie, dass all diese separaten sinusförmigen Wellenformen existieren und dass wir sie als eine einzige komplexe Wellenform betrachten. Die einzelne komplexe Wellenform ist die übergeordnete Ansicht, nicht die Norm.

— TonyM

@ TonyM Danke, ich glaube, ich fange an, im Frequenzbereich zu verstehen. Aber ich bin durcheinander, sobald ich anfange zu überlegen, was im Zeitbereich passiert. Könnten Sie sich bitte die aktualisierte Frage ansehen? Ich habe dem Bild eine Erklärung hinzugefügt ...

— Hiiii

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@Hiii Wenn im Zeitbereich der Eingang für t <= 0 Null und für t> = 0 eine Sinuswelle ist, ist der Ausgang unmittelbar nach dem Zeitpunkt t = 0 keine Sinuswelle. Es gibt eine Übergangsantwort, die stirbt mit einer Zeitkonstante von 1 / RC ab, die der Sinuswelle überlagert ist. Im Frequenzbereich "ignorieren" Sie diesen Übergang, weil Sie die Situation berücksichtigen, in der der Eingang für alle Zeiten eine Sinuswelle ist, sowohl in der Vergangenheit als auch in der Zukunft.

— Alephzero

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Denken Sie daran, dass die Änderungsrate der Kondensatorspannung von der Spannungsdifferenz zwischen der Eingangsspannung und der Kondensatorspannung abhängt. Ihr Diagramm repräsentiert dies nicht.

Wenn der Eingang und der Kondensator auf 0 V stehen und der Eingang zu steigen beginnt, sollte die Kondensatorspannung langsam ansteigen, da die Eingangsspannung (und damit die Spannungsdifferenz) ebenfalls gering ist.

Wenn der Eingang Spitzenwerte aufweist, ist die Spannungsdifferenz maximal, und hier steigt die Kondensatorspannung am schnellsten an. Wenn die Eingangsspannung zu sinken beginnt, sinkt auch die Laderate des Kondensators. Nachdem sich die beiden Spannungen getroffen haben, ist die Differenz zunächst wieder gering, so dass auch die Entladerate gering ist. Wie sich herausstellt, führt dies zu einer weiteren Sinuswelle.

Das folgende Diagramm wurde (mit einer Tabelle) mit der oben genannten Regel simuliert. Die Spannungsdifferenz zwischen der Eingangs- und der Kondensatorspannung ist etwas vor der Spitze der Eingangsspannung am größten.

$2\pi$

In Ihrem Diagramm entlädt sich der Kondensator direkt nach dem Zusammentreffen der beiden Spannungen am schnellsten, aber dort ist die Spannungsdifferenz nicht am größten. Bei einem Rechteckwelleneingang wäre dies der Fall, da sich die Eingangsspannung erst nach einem weiteren "Schritt" in der Rechteckwelle wieder ändern würde. Ein Sinuswelleneingang ändert sich jedoch ständig.

— ilkkachu
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Hier ist etwas fehl am Platz. Ich erhalte unterschiedliche qualitative Ergebnisse mit meiner Wahl des Tiefpass-RC-Filters (Kappe in Reihe mit einem Widerstand, vin über die Reihe, vout über den Widerstand). Ich bekomme eine Quadratur zwischen Vcap und Icap (und damit Vout), aber nichts wie die Positionierung der grünen Linie zwischen Vin und Vcap (deren Verzögerung mit RC verbunden ist). Verwenden wir die gleiche Schaltung?

— Sredni Vashtar

Sollten , wo die roten und blauen Linien kreuzen (also dort , wo die Eingangs- und Kondensatorspannung gleich sind) werden an den lokalen Maxima / Minima der Ausgang oder - wie sich der Fall von den Stellplätzen zu sein - vor der fraktionierten min / max Punkte?

— TripeHound

Die Simulation in Spice zeigt, dass Vcap und Icap um konstante 90 Grad phasenverschoben sind, während Vcap Vin um eine Zeitspanne nacheilt, die RC entspricht. Die grünen Linien hatten in diesem Diagramm keine besondere Bedeutung (sollten sich stattdessen im Vcap-, Icap-Diagramm befinden), daher ist es gut, dass sie verschwunden sind. Vin und Vout sind um 90 Grad plus der genannten Verzögerung außer Phase.

— Sredni Vashtar

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Sie erhalten eine Sinuswelle aus einer Sinuswelle heraus, wenn Ihre RC-Zeitkonstante es dem Kondensator ermöglicht, mit der gleichen Geschwindigkeit oder schneller zu laden / entladen, wenn sich die Eingangswellenform ändert.

Ihre Ausgangswellenform wird durch das Laden und Entladen des Kondensators geringfügig hinter den Änderungen der Eingangswellenform, die als Phasenverzögerung bezeichnet werden, verzögert.

Sie finden im Internet viel Theorie und Mathematik dahinter, wenn Sie es noch nicht haben.

— TonyM
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Ihr erster Satz ist technisch korrekt, hinterlässt jedoch den falschen Eindruck, dass Sie bei bestimmten RC-Zeitkonstanten keinen Sinus als Antwort auf einen Sinus erhalten würden. Ein Sinus in einem RC-Tiefpassfilter ergibt immer einen Sinusausgang. Die einzige Frage ist das Ausmaß der Dämpfung und der Phasenverschiebung, aber die Funktion wird immer ein Sinus sein.

— Olin Lathrop

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@OlinLathrop, ich verstehe. Ich habe versucht, eine DC-Ansicht davon zu behalten, wenn Sie möchten, und dabei das Ladeverhalten einer RC-Schaltung beizubehalten. Eine hochfrequente Sinuswelle in ein Tiefpassfilter (z. B. 1 MHz in ein fc = 1 kHz-Tiefpass-RC) erzeugt also nichts. Mathematisch falsch, aber es passiert, wenn Sie einen Bereich auf einen kleben. Ich hätte in Absatz 3 beinahe geschrieben: "Dies ist eine nicht-mathematische Sichtweise", um zu zeigen, dass ich versuche, eine Idee zu vermitteln. Sinnvoller, gut, schlecht oder müssen bearbeitet werden?

— TonyM

Ich denke, Sie sollten die Dämpfung hinzufügen. Der Filter "verlangsamt" die Sinuswelle mehr, wenn die Frequenz der Eingangssinuswelle zunimmt, was die Form nicht ändert, aber die relative Phase und die Amplitude ändert. Die akzeptierte Antwort erscheint mir auch in dieser Hinsicht unvollständig.

— Todd Wilcox

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Für mich ist der Zeitbereich hier erklärender. Wenn Sie sich Ihr erstes Diagramm ansehen, sehen Sie, was als Schrittfunktion angezeigt wird (für die erste Halbperiode). Das heißt, Sie legen plötzlich eine Spannung an und halten sie dann konstant. Dies bedeutet, dass der Kondensator versucht, die angelegte Spannung gemäß seinen eigenen Gesetzen, hier in der Form, zu erreichen 1-exp(-x).

Wenn Sie andererseits eine Sinuswelle anwenden, haben Sie für dieselbe Halbperiode keinen steilen Spannungsanstieg mehr und dieser bleibt nicht konstant: Er steigt langsamer und langsamer an, bis ein Peak erreicht ist. dann wird es schneller und schneller abnehmen, summetrisch um seinen Höhepunkt. Dies bedeutet, dass der Kondensator zuerst langsamer und langsamer geladen und dann schneller und schneller entladen wird. Was Sie gezeichnet haben, ist das Ergebnis (zumindest) einer kontinuierlichen Ladung; Der Sinus entlädt sich ebenfalls.

Wenn es hilft, stellen Sie sich die Schrittfunktion als Summe aller (ungeraden) Sinusse vor , während ein Sinus nur ein Sinus ist. Da RCes sich um ein Tiefpassfilter handelt, werden nur die Niederfrequenz-Sinusse durchgelassen, während die höheren zurückgewiesen werden. Wenn Sie auch in denken $\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$

— ein betroffener Bürger
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