S = VI * / 2-Ableitung

Ich habe mich gefragt, wo ich die Ableitung für die komplexe Potenzformel S = VI * / 2 finden kann, wobei S, V und ich komplexe Zeiger sind.

Ich habe eine ganze Reihe von Überprüfungen gesehen, bei denen Leute Dinge in die Gleichung eintragen, um zu zeigen, dass es zufällig funktioniert.

Folgendes weiß ich bisher: Wenn und und , dann und und S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— user968243
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Sie müssen S, V, I und alles definieren, was "* /" bedeuten soll.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, es ist I * für ein komplexes Konjugat von I (Strom) und geteilt durch zwei, da beide Sinuswellen (V und I *) sind und beide ihre RMS-Umwandlung haben.

— Kortuk

Sei V und I die momentane Spannung und der momentane Strom an einer Last. Aus der Definition von Leistung, Spannung und Strom ergibt sich die Beziehung für die momentane Leistung:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Dies bedeutet, dass die Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt gleich dem Produkt aus Spannung und Strom zu diesem Zeitpunkt ist. $t$

Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, was die Zeigerdarstellung tatsächlich bedeutet. Um es kurz zu machen: Ein Zeiger ist eine mathematische Abkürzung für die Darstellung einer Sinuskurve mit einer bestimmten unbekannten Frequenz.

Also ist eine Abkürzung für . Ähnlich: bedeutet . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Das Multiplizieren von für alle ergibt die Wellenform der Momentanleistung für jedes . Arbeiten an dieser Multiplikation: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Als mit und können wir die obige Gleichung vereinfachen, um: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Diese Wellenform ist für sich selbst ziemlich interessant: Es ist ein konstanter Wert summiert durch eine Sinuskurve . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Dies zeigt deutlich, dass die Momentanleistung mit der Zeit nicht konstant ist.

Anhand dieses Ergebnisses können wir sehen, dass die mittlere Leistung gleich der nicht variierenden Komponente von (es ist ziemlich einfach zu beweisen, dass man mathematisch nur das Integral lösen muss ) $s(t)$ $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Motiviert durch dieses Ergebnis und durch die ziemlich süße geometrische Interpretation von wurde dieser Wert als die wahre Kraft definiert, die Kraft, an die tatsächlich geliefert wird die Ladung. Jetzt wissen Sie, dass diese sogenannte Wirkleistung nichts anderes ist als die mittlere Leistung an der Last. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Ein wenig in dieses Konzept eintauchen (es ist schade, dass ich hier nicht zeichnen kann, aber ich werde es versuchen):

Sei v ein Vektor mit der Größe || v || und Phase , und ich ein Vektor mit der Größe || i || und Phase Wenn Sie || i || multiplizieren Mit Sie die Projektion von i über v . Andererseits soll die Komponente von i in Quadratur mit v sein . $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

Jetzt können Sie verstehen, warum die mittlere Leistung eine coole geometrische Interpretation hat: Die mittlere Leistung ist die Spannung multipliziert mit der Projektion des Stroms über die Spannung auf den Zeigerraum.

Dies motivierte die Schaffung der komplexen Kraft S als:

S = P + jQ

Bei dieser Definition ist der Realteil des Vektors genau die mittlere Leistung, die an die Last abgegeben wird, und der komplexe Teil ist die Leistung in Quadratur , die als Blindleistung bezeichnet wird (google for Power Triangle, um die geometrische Interpretation dieses Ergebnisses zu sehen). .

Ok, jetzt zurück zur Definition von , sehen wir, dass und per Definition und um der Definition von zu entsprechen S ist gleich $s(t)$ $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Also, wie wir am Anfang beweisen wollten:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Also los geht's, was du sehen wolltest;)

edit : Was ist die physikalische Interpretation von Q?

Ich habe oben gezeigt, was die physikalische Interpretation des Realteils der komplexen Leistung P ist, dh der mittleren Leistung, die an die Last abgegeben wird. Aber was genau ist Q, wie kann man es visualisieren? Es basiert auf der Tatsache, dass cos und sin orthogonal sind und das Prinzip der Überlagerung auf die Leistung angewendet werden kann, wenn die beiden an der Berechnung beteiligten Wellenformen orthogonal sind. Gehen wir in die Mathematik, denn darauf kommt es wirklich an.

Unter Verwendung des oben erhaltenen Ergebnisses: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Erster Fall: rein ohmsche Last, so dass

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

ist eine Sinuskurve, die auf mit derselben Amplitude zentriert ist (ihr Minimalwert ist 0 und ihr Maximalwert ist ). Nennen wir es P. $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

Zweiter Fall: rein induktive Last, so dass

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Das ist eine rein oszillierende Wellenform mit Mittelwert gleich 0 Nennen wir dieses Ergebnis Q .

Dritter Fall: der generische Fall

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

In diesem Fall ist s (t) genau die allgemeine Gleichung, die wir in der obigen Diskussion gefunden haben. Aber wir können das umschreiben, um das Ergebnis der beiden vorherigen Fälle wie folgt zu nutzen:

Zuerst schreiben wir die Gleichung in Bezug auf (beachten Sie, dass ): Wissen, dass: , wobei und $\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Neuordnung der Begriffe:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Verwenden Sie das Ergebnis der beiden oben genannten ersten Fälle:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Ein erstaunliches Ergebnis, oder? Was bedeutet das?

Kehren wir zu dem zurück, was wir tun: Berechnen der Potenz für den generischen Fall, in dem , dh lösen Sie die Gleichung: $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Können wir in Form von ? $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

Lass es uns versuchen:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \ $

Vermietung und $\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

Mit der Beziehung:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

Wir haben:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Genau das, was wir wollten, um i (t) als Summe von zwei Komponenten umzuschreiben: eine in Phase mit v (t) und eine in Quadratur mit v (t)!

Nun kann das Ergebnis von Fall 3 erklärt werden: i (t) kann wie oben gezeigt in zwei Komponenten zerlegt werden, und die von i (t) erzeugte Leistung ist gleich der von jeder dieser Komponenten einzeln erzeugten Leistung . Whoa, genau wie Überlagerung, aber für Macht! ( Denken Sie daran, dass dies nur wahr ist und oben bewiesen wurde, weil cos und sin orthogonal sind. )

So Q ist die Menge an Leistung , die durch die Komponente von i (t) erzeugt, der mit v (t) in Quadratur ist. Es ist rein oszillierend und hat keinen Mittelwert.

P ist die Energiemenge, die von der Komponente von i (t) erzeugt wird, die mit v (t) in Phase ist. Es ist oszillierend, hat aber einen Mittelwert, der der mittleren Leistung entspricht, die an die Last abgegeben wird.

Und die komplexe Leistung S , die Gesamtleistung, ist genau die Summe dieser beiden Komponenten

— Castilho
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Vielen Dank für Ihre gute Explantation! Ich habe jedoch einige Fragen: 1. Ich verfolge nicht, was passiert ist mit . Ich dachte, dieser Begriff wäre die Blindleistung Q; jedoch . 2. Ich verstehe nicht, wie Sie von tp . Es ist, als ob ein Zeiger ist, aber es ist nur eine Konstante. Nochmals vielen Dank für Ihre Antwort!

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

— user968243

Ja. Sie haben Recht, das ist NICHT Q. Die Blindleistung wird nur als Phasendifferenz zwischen Spannung und Spannung definiert und ist ein Wert, der in direktem Zusammenhang mit der Definition von S als Zeiger steht. Es ist die Leistung, die der Strom in Quadratur mit der Spannung liefern würde. Die zeitlich veränderliche Komponente wird nicht berücksichtigt, da in diesem Sinne die mittlere Leistung an der Last wirklich wichtig ist. Der variierende Teil EXISTS ist wirklich da (sehen Sie sich zum Beispiel eine Glühbirne an), aber im Laufe der Zeit hängt die Leistung nur mit dem statischen Teil von s (t) zusammen. ;)

— Castilho

Okay, hat dieser unterschiedliche Teil einen besonderen Namen? Wie auch immer, wenn ich es richtig verstehe, ist die Menge von I in Richtung V die wirkliche Kraft, und die Menge von I senkrecht zu V ist die komplexe Kraft.

— user968243

fast das, die Menge von I in der Richtung von V multipliziert mit V ist die reale Leistung P, die Menge von I senkrecht zu V multipliziert mit V ist die REAKTIVE Leistung Q, P + jQ ist die komplexe Leistung oder Scheinleistung;)

— Castilho

Okay, das macht Sinn! In meinem vorherigen Kommentar habe ich gefragt, wie der Name dafür lautet: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Ich dachte wirklich, dass es die Blindleistung ist ... Danke übrigens für Ihre Antworten, ich bin dankbar!

— user968243