Komplexe Impedanzen

Was bedeutet es, eine komplexe Impedanz zu haben?

Zum Beispiel ist die Impedanz eines Kondensators (in der Laplace-Domäne?) Durch 1 / sC (glaube ich) gegeben, was wo Transienten sind vernachlässigt. Was bedeutet es für die Impedanz, imaginär zu sein?$\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Ich bin derzeit in meinem 2. Jahr der Elektrotechnik an der Universität, daher würde ich mich, wenn möglich, über eine mathematisch gültige und gründliche Antwort freuen, wenn es nicht zu schwierig ist, wobei die Referenz des Studienmaterials (Web- und Papierressourcen) ideal ist.

Danke im Voraus.

TL; DR Der Imaginärteil der Impedanz gibt Auskunft über die reaktive Komponente der Impedanz. Dies ist (unter anderem) für die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung und der von der Schaltung verwendeten Blindleistung verantwortlich.

Das zugrunde liegende Prinzip ist, dass jedes periodische Signal als die Summe von (manchmal) unendlichen Sinuswellen, die als Harmonische bezeichnet werden, mit gleich beabstandeten Frequenzen behandelt werden kann. Jeder von ihnen kann separat als eigenes Signal behandelt werden.

Für diese Signale verwenden Sie eine Darstellung, die wie folgt lautet:

Und Sie können sehen, dass wir bereits in den Bereich komplexer Zahlen gesprungen sind, weil Sie ein komplexes Exponential verwenden können, um die Rotation darzustellen.

Die Impedanz kann also aktiv (Widerstand) oder reaktiv (Reaktanz) sein. Während die erste per Definition die Phase der Signale ( ) der Reaktanz nicht beeinflusst, ist die Verwendung komplexer Zahlen möglich, um die Variation der Phase zu bewerten, die durch die Reaktanz eingeführt wird.$\phi$

Sie erhalten also:

wo | Z | ist die Größe der Impedanz, gegeben durch:

und Theta ist die durch die Impedanz eingeführte Phase und ist gegeben durch:

Wenn es auf die vorherige Funktion angewendet wird, wird es:

Betrachten wir den idealen Kondensator: Die Impedanz ist was imaginär und negativ ist. Wenn Sie es in den trigonometrischen Umfang legen, erhalten Sie eine Phase von -90 °, was bedeutet, dass bei einer rein kapazitiven Last die Spannung 90 ° hinter dem Strom liegt.$\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Warum also?

Angenommen, Sie möchten zwei Impedanzen summieren, 100 Ohm und 50 + i50 Ohm (oder ohne komplexe Zahlen ). Dann summieren Sie mit komplexen Zahlen den Real- und Imaginärteil und erhalten 150 + i50 Ohm.$70.7 \angle 45 ^\circ$

Ohne die Verwendung komplexer Zahlen ist die Sache ziemlich komplizierter, da Sie entweder Cosinus und Sinus verwenden können (aber es ist das gleiche wie bei der Verwendung komplexer Zahlen) oder in ein Durcheinander von Größen und Phasen geraten. Es liegt an dir :).

Theorie

Einige zusätzliche Begriffe, die versuchen, Ihre Fragen zu beantworten:

• Die harmonische Darstellung von Signalen wird normalerweise durch Fourierreihenzerlegung angesprochen :

• Das komplexe Exponential hängt auch durch die Euler-Formel mit dem Kosinus zusammen :

Ich bin sicher, dass dies Ihre Frage nicht vollständig beantworten wird. Ich hoffe, dass dies die bereits gegebenen Antworten ergänzt, die zu vernachlässigen scheinen: das Konzept hinter der Verwendung komplexer Zahlen (das, wie bereits gesagt, nur ein ausgefallener Name für einen Typ ist von mathematischer "Quantität", wenn Sie so wollen).

Die erste Hauptfrage, die wir hier beantworten sollten, ist, warum die komplexen Zahlen. Und um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Notwendigkeit der verschiedenen Zahlenmengen verstehen, von den natürlichen bis zu den reellen Zahlen.

Schon in jungen Jahren ermöglichten die natürlichen Zahlen den Menschen, z. B. Äpfel und Orangen auf einem Markt zu zählen. Dann wurden die ganzzahligen Zahlen eingeführt, um das Konzept der "Verschuldung" durch negative Zahlen anzugehen (dies war zu dieser Zeit schwer zu verstehen). Jetzt wird es interessanter mit den rationalen Zahlen und der Notwendigkeit, "Größen" mit Brüchen darzustellen. Das Interessante an diesen Zahlen ist, dass wir zwei ganze Zahlen benötigen und nicht nur eine (wie bei den natürlichen und ganzzahligen Zahlen), zum Beispiel 3/8. Diese Art der Darstellung von "Mengen" ist sehr nützlich, um beispielsweise die Anzahl der Scheiben (3) zu beschreiben, die in einem 8-Scheiben-Kuchen übrig sind, als bereits 5 gegessen wurden :) (dies konnte nicht mit einer ganzen Zahl durchgeführt werden!).

Lassen Sie uns nun die irrationalen und die reellen Zahlen überspringen und zu den komplexen Zahlen gehen. Elektronikingenieure standen vor der Herausforderung, eine andere Art von "Größe" zu beschreiben und zu betreiben, die sinusförmige Spannung (und den Strom) in einem linearen Schaltkreis (dh aus Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten). Ratet mal, sie fanden, dass komplexe Zahlen die Lösung waren.

Ingenieure wussten, dass Sinuskurven durch drei Komponenten dargestellt wurden, nämlich A (Amplitude), (Winkelfrequenz) und Phase ( ): ϕ y ( t ) = A ⋅ s i n ( ω t + ϕ $\omega$$\phi$

Sie erkannten auch, dass sich in einer linearen Schaltung die Winkelfrequenz ( ) nicht von Knoten zu Knoten ändern würde, dh unabhängig davon, welchen Punkt in der Schaltung Sie untersuchten, würden Sie nur Unterschiede in Bezug auf Amplitude und Phase sehen, nicht Frequenz. Sie kamen dann zu dem Schluss, dass der interessante (variierende) Teil einer sinusförmigen Spannung (oder eines sinusförmigen Stroms) ihre Amplitude und Phase ist. Genau wie bei den rationalen Zahlen benötigen wir zwei Zahlen, um die variierende sinusförmige Spannung in einem linearen Schaltungsknoten darzustellen, in diesem Fall (A, phi). Tatsächlich haben sie erkannt, dass die Algebra komplexer Zahlen, dh die Art und Weise, wie Sie diese Zahlen bedienen und miteinander in Beziehung setzen, wie angegossen mit der Art und Weise übereinstimmt, wie Sinuskurven von linearen Schaltkreisen betrieben werden.$\omega$

Wenn Sie also sagen, dass die Impedanz eines Kondensators dh (A = 1 / C, phi = -90º) in der oben angenommenen Notation, sagen Sie tatsächlich, dass die Spannung ist um 90º bezüglich der aktuellen Phase verzögert. Und bitte vergessen Sie diese "transzendentale" Nomenklatur über imaginär und komplex ... tatsächlich sprechen wir von "Mengen" mit zwei orthogonalen Komponenten (dh "die nicht gemischt werden, egal wie stark Sie sie in einer Cocktailschale schütteln" "), genau wie Vektoren, die zwei verschiedene physikalische Aspekte der Phänomene darstellen.$\frac{1}{j \omega C}$

AKTUALISIEREN

Es gibt auch einige Hinweise, die ich sehr empfehlen kann, "Eine Einführung in die komplexe Analyse für Ingenieure" von Michael D. Alder zu lesen. Dies ist eine sehr freundliche Herangehensweise an das Thema. Insbesondere empfehle ich das erste Kapitel.

Die Verwendung komplexer Zahlen ist eine mathematische Methode, um sowohl phasen- als auch phasenverschobene Komponenten darzustellen - den Strom in Bezug auf die Spannung. Imaginäre Impedanz bedeutet nicht, dass die Impedanz nicht existiert, sondern dass Strom und Spannung zueinander phasenverschoben sind. Ebenso bedeutet eine reale Impedanz nicht real im alltäglichen Sinne, nur dass der Strom mit der Spannung in Phase ist.

1. Die folgenden Beschreibungen versuchen zu entmythologisieren, was unter "komplexen" Größen in einem RCL-Kontext zu verstehen ist. Die Konzepte von "imaginären" Komponenten sind eine nützliche Metapher, die dazu neigt, Menschen für die einfachen zugrunde liegenden Realitäten zu blenden. Der folgende Text spricht in RC-Begriffen und berührt nicht die Geheimnisse von LC, die in der Realität tatsächlich nicht mehr mysteriös sind.

2. Es wäre für Sie von größerem Vorteil, wenn Sie Ihr Möglichstes tun würden, um die meisten Punkte, die Sie selbst angesprochen haben, entweder mit einem Lehrbuch oder einer Internet-Suchmaschine anzusprechen, bevor Sie Erklärungen von anderen einholen, WEIL diese Frage für die Grundlagen von Wechselstromkreisen mit reaktivem Stromkreis so grundlegend ist Komponenten. Der Umgang mit schwierigen Fragen hat Vorrang vor dem Umgang mit ähnlichen Dingen während Ihrer Ausbildung, und das Internet hat wahrscheinlich Millionen von Seiten, die sich mit diesem Thema befassen (Gargoyle sagt ~ = 11 Millionen, aber wer kann das sagen?). Der Grad an Detailgenauigkeit und Gründlichkeit, den Sie verlangen, ist von einer Site wie dieser unrealistisch, da "da draußen" wirklich sehr viele Details vorhanden sind. (Es sei denn, die Websitebesitzer versuchen, eine Teilmenge von Wikipedia zu replizieren.)

SO - Ich weiß, dass es eine gute Idee ist, Ihnen dabei zu helfen, sich mit den Grundlagen vertraut zu machen, damit Sie sie von dort aus aufgreifen und ausführen können. So ...

Wenn Sie einen Eingangsanschluss mit einem Vorwiderstand an einen Kondensator anschließen und der andere Kondensator "geerdet" ist, erhalten Sie eine Serien-RC-Schaltung:
Vin - Widerstand - Kondensator - Masse.

Wenn Sie jetzt eine Stufenspannung an den Eingang anlegen, wird der Kondensatorstrom schrittweise angepasst, aber der Kondensator beginnt sich mit dieser Spannung aufzuladen, um Strom im Widerstand zu erzeugen. Der Spannungsanstieg ist exponentiell, da der in den Kondensator fließende Strom von Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries belastet wird. dh wenn Vcap ansteigt, fällt das Potential über dem Widerstand ab und so nimmt der Strom ab. Theoretisch wird es unendlich lange dauern, bis Vcap Vin erreicht, aber in der Praxis ist es mehr oder weniger "dort in ungefähr 3 Zeitkonstanten, wobei
t = RC = die Zeit, die Iin benötigt, um auf 1 / e seines Anfangswertes zu fallen. Was und warum des 1 / e-Begriffs, den Sie bereits kennen oder tun werden, nachdem Sie die Referenzen gelesen haben.

Wenn wir jetzt ein Rechtecksignal anlegen, lädt sich der Kondensator wie oben auf, wenn der Eingang positiv ist, und entlädt sich auf ähnliche exponentielle Weise, wenn der Eingang geerdet oder negativ ist. Während der Kondensatorstrom Vin folgt und maximal ist, wenn Vin hoch / niedrig oder niedrig hoch übergeht, bleibt die Kondensatorspannung aus den oben beschriebenen Gründen hinter der Eingangsspannung zurück. Sobald der stationäre Zustand erreicht ist, finden Sie beim Zeichnen von Vcap und I cap zwei Wellenformen, die um bis zu fast 90 Grad oder nur um fast Grad versetzt sind, wobei ein ganzer Eingangszyklus = 360 Grad ist. Wie weit die Kondensatorspannung hinter ihrem Strom zurückbleibt, hängt von der Eingangsfrequenz und der RC-Zeitkonstante ab.

Für den Uneingeweihten mag dies wie Magie aussehen (oder die Verwendung von Thiotimolin *), wobei eine Stromwellenform bis zu 1/4 eines Zyklus vor seiner Spannung auftritt, ABER dies liegt nur daran, dass der logische Grund dafür, wie oben erläutert, nicht der Fall ist bei der Inspektion unbedingt intuitiv ersichtlich.

Wenn Sie Kondensatoren, Widerstände und Induktivitäten auf verschiedene Weise kämmen, müssen Sie in der Lage sein, mathematisch mit den relativen Phasen der verschiedenen Wellenformen umzugehen. [Auf den ersten Blick scheint es, dass die Zeiger betäubt sind].

Einige kompetente Zahlen oder ein kurzer Blick auf einige der rund 10 Millionen Webseiten zu diesem Thema zeigen, dass Sie zwei Wellenformen haben, deren Phasenbeziehung zueinander variiert und die dann auf einer gegenseitigen Exponentialbeziehung beruhen Jede Wellenform kann durch eine polare Darstellung der Form [R, Theta] dargestellt werden, die als komplexe Zahl mit X- und Y-Komponenten dargestellt werden kann, die die polare Form widerspiegeln.

Der polare "Vektor", der die Spannungs- und Strombeziehung in einer gegebenen Situation darstellt, verwendet eine rotierende Vektorarm- "Metapher", die die Länge des Arms und den Phasenwinkel relativ zu einer Referenz angibt. Diese "Metapher" kann durch eine X- und Y-Komponente ersetzt werden, bei der die Größe der polaren Form durch R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) gegeben ist und deren Winkel Theta durch tan ^ -1 (X / Y) gegeben ist ). Dies ist unten in schematischer Form zu sehen.

Von hier

WARNUNG - lassen Sie sich nicht von der Terminologie täuschen.

Beachten Sie, dass der Begriff "komplexe Zahl" einfach Jargon ist. Die Verwendung von sqrt (-1) ist ein nützlicher Teil der Metapher, der es der Arithmetik ermöglicht, zu arbeiten, ABER die tatsächlich beteiligten Größen sind völlig real und "gewöhnlich". Wenn Blindelemente wie Induktivitäten und Kondensatoren verwendet werden, ist Leistung nicht mehr einfach das Produkt der Größenbegriffe in den Spannungs- und Stromvektoren. dh Die Potenz von V.sin (fred) x I.sin (Josepine) ist (normalerweise) nicht = VI. Dies bedeutet nichts Besonderes oder Magisches, Komplexes oder Imaginäres an den beteiligten Variablen - es ist nur so, dass sie zeitlich variabel sind und ihre Spitzengrößen normalerweise nicht zusammenfallen.

Zusätzliche Lektüre - sehr zu empfehlen:

Elektrische Impedanz

RC-Schaltung

LC-Schaltung

Komplexer Impedanzrechner

• Ich Asimov.

Das Ausdrücken von Kapazität und Induktivität als imaginäre Widerstände hat den Vorteil, dass Sie bekannte Methoden zur Lösung linearer Probleme mit Widerständen verwenden können, um lineare Probleme mit Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten zu lösen.

Solche linearen Probleme und ihre bekannten Verfahren sind zum Beispiel

1. Problem: Berechnung des Widerstands zweier Widerstände in Reihe
   Methode: R = R1 + R2
   kann auch zur Berechnung der Impedanz von Widerstand / Kondensator / Induktor in Reihe mit einem anderen Widerstand / Kondensator / Induktor verwendet werden

2. Problem: Berechnung des Widerstands zweier Widerstände parallel
   Methode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
   kann auch zur Berechnung der Impedanz von Widerstand / Kondensator / Induktor parallel zu einem anderen Widerstand / Kondensator / Induktor verwendet werden

3. Problem: Lösen eines Netzwerks mit Widerständen, Gleichspannungs- und Gleichstromquellen
   Methode: Das Lösen eines simultanen linearen Gleichungssystems
   kann auch zum Lösen eines Netzwerks mit Widerständen, Kondensatoren, Induktivitäten, Wechsel- oder Gleichspannungs- und Wechselstrom- oder Gleichstromquellen verwendet werden

4. etc.

Alle Formeln / Methoden, die mit realen Widerstandswerten (nur Widerstände) und Gleichstromquellen arbeiten, funktionieren genauso gut mit komplexen Werten (Widerstände, Induktivitäten, Kondensatoren) und Wechselstromquellen.

Obwohl es nicht unbedingt einen intuitiven Grund gibt, warum die Verwendung komplexer Zahlen zur Darstellung einer Kombination von gleichphasigen und phasenverschobenen Signalen nützlich sein sollte, stellt sich heraus, dass die arithmetischen Regeln für komplexe Zahlen sehr gut zum tatsächlichen Verhalten und passen Wechselwirkung von Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten.

Eine komplexe Zahl ist die Summe zweier Teile: des Realteils und eines "imaginären" Teils, die durch eine mit i multiplizierte reelle Zahl multipliziert werden können , die als Quadratwurzel von -1 definiert ist. Eine komplexe Zahl kann in der Form A + Bi geschrieben werden , wobei sowohl A als auch B reelle Zahlen sind. Man kann dann die Regeln der Polynomarithmetik verwenden, um auf komplexe Zahlen einzuwirken, indem man i als Variable behandelt, aber man kann auch i² durch -1 ersetzen (so ist beispielsweise das Produkt von Pi × Qi -P × Q).

Bei jeder bestimmten Frequenz kann man bestimmen, wie sich ein Netzwerk von Widerständen, Induktivitäten und Kondensatoren verhält, indem man die effektive Impedanz jedes Elements berechnet und dann das Ohmsche Gesetz verwendet, um den effektiven Widerstand von Reihen- und Parallelkombinationen sowie die Spannungen und Ströme durch zu berechnen Sie. Da Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten allesamt lineare Geräte sind, kann man außerdem berechnen, wie sich das Netzwerk verhält, wenn Kombinationen von Frequenzen eingespeist werden, indem berechnet wird, was sie mit jeder bestimmten Frequenz tun, und dann die Ergebnisse addiert werden. Komplexe Arithmetik kann sehr nützlich sein, wenn versucht wird, das Verhalten von Dingen wie Filtern zu analysieren, da sie es ermöglicht, die Ausgabe des Filters als Funktion der Eingabe zu berechnen. Fed ein Eingangssignal einer reellen Zahl vVolt bei einer Frequenz f kann man die Spannung oder den Strom an einem bestimmten Knoten berechnen; Der reale Teil ist mit der injizierten Wellenform in Phase, und der imaginäre Teil ist um 90 Grad phasenverschoben. Anstatt ausgefallene Differentialgleichungen verwenden zu müssen, um das Schaltungsverhalten zu lösen, kann man mit komplexen Zahlen eine relativ einfache Arithmetik durchführen.

Komplexe Zahlen werden in der Elektrotechnik für Größen verwendet, die eine Größe und eine Phase haben. Die elektrische Impedanz ist das Verhältnis von Strom zu Spannung. Bei Wechselströmen und -spannungen sind die Strom- und Spannungswellenformen möglicherweise nicht in Phase. Die Phase der Impedanz gibt diese Phasendifferenz an.