Wann ist es erforderlich oder erlaubt, eine Probe unterhalb der Nyquist-Rate zu entnehmen?

Ich habe in der Vergangenheit nach Fragen und Antworten auf dieser Plattform gesucht, aber keine beantwortet diese Frage. Ein Profi sagte, es sei möglich, unter bestimmten Bedingungen unter der Nyquist-Rate zu sampeln. Ich möchte zunächst wissen, ob dies möglich ist, wenn ja, wann?

Lassen Sie uns zunächst das Missverständnis der Nyquist-Rate beseitigen.

Den Menschen wird normalerweise beigebracht, dass die minimale Abtastfrequenz doppelt so hoch sein muss wie die höchste Frequenz im Signal. Das ist völlig falsch!

Was wahr ist, ist, dass wenn Sie ein "volles" Spektrum haben und mit "voll" meine ich, dass es alle Frequenzen zwischen der unteren Kante seiner Bandbreite und der oberen Kante seiner Bandbreite vollständig ausnutzt, dann müssen Sie die Abtastfrequenz haben das ist mindestens die doppelte Bandbreite des Signals.

In der Abbildung hier muss die Abtastfrequenz mindestens 2 * (Fh-Fl) betragen, um das Spektrum zu erhalten.

Beachten Sie auch, dass nach dem Abtasten alle Informationen über die tatsächliche Frequenz im abgetasteten Signal verloren gehen. Hier kommt die ganze Geschichte über die Nyquist-Frequenz ins Spiel. Wenn die Abtastfrequenz doppelt so hoch wie die höchste Frequenz des Signals ist, können wir (wie wir oft unbewusst trainiert haben) sicher annehmen, dass alle Frequenzen im abgetasteten Signal zwischen null und der Hälfte der Abtastfrequenz liegen.
In Wirklichkeit ist das Spektrum des abgetasteten Signals um Fs / 2 periodisch, und wir können diese Periodizität verwenden, um niedrigere Abtastraten zu erzielen.
Schauen Sie sich folgendes Bild an:
Der Bereich zwischen 0 und Fs / 2 ist die sogenannte erste Nyquist-Zone. Dies ist der Bereich, in dem wir die "traditionelle" Probenahme durchführen. Schauen Sie sich als nächstes den Bereich zwischen Fs / 2 und Fs an. Dies ist die zweite Nyquist-Zone. Wenn wir in diesem Bereich Signale haben, wird deren Spektrum abgetastet und dessen Spektrum wird gespiegelt, dh die hohen und niedrigen Frequenzen werden invertiert. Als nächstes haben wir die dritte Nyquist-Zone zwischen den Fs und 3Fs / 2. Die hier abgetasteten Signale sehen aus, als ob sie aus der ersten Zone stammen, und ihr Spektrum ist normal. Das gleiche gilt für alle anderen Zonen, wobei die Regel lautet, dass das Spektrum der ungeradzahligen Zonen normal ist und das Spektrum der geradzahligen Zonen invertiert ist.

Dies verstößt nun gegen die "traditionellen" Regeln zum Aliasing, da Aliasing in der Regel als ein böses Monster gelehrt wird, das kommt, um Ihre Signale wegzufressen, und Sie die Tiefpass-Anti-Aliasing-Filter verwenden müssen, um es loszuwerden. Im wirklichen Leben funktionieren die Dinge nicht so. Die Anti-Aliasing-Filter können Aliasing nicht verhindern, sondern bringen es nur auf die Ebene, auf der es keine Rolle mehr spielt.
Wir möchten stattdessen unbedingt ein starkes Signal aus Nyquist-Zonen entfernen, das nicht von Interesse ist, und die Signale aus der Nyquist-Zone durchlassen, die für uns von Interesse sind. Wenn wir uns in der ersten Zone befinden, ist ein Tiefpassfilter in Ordnung, aber für alle anderen Zonen benötigen wir einen Bandpassfilter, mit dem wir die nützlichen Signale aus dieser Zone abrufen und den von uns angelegten Müll entfernen können Das muss nicht aus den anderen Zonen kommen.

Schauen wir uns also dieses Beispiel an: Hier haben wir ein Signal in der dritten Nyquist-Zone, das von einem Bandpassfilter durchgelassen wird. Unser ADC muss nur die Abtastfrequenz der doppelten Bandbreite des Signals haben, um es zu rekonstruieren, aber wir müssen immer bedenken, dass dies tatsächlich ein Signal aus der dritten Zone ist, wenn wir die Frequenzen innerhalb unserer berechnen müssen Signal. Dieses Verfahren wird oft als Bandpassabtastung oder Unterabtastung bezeichnet.

Nun, nach all diesen Ausführungen, um Ihre Frage zu beantworten, wann:
Nun, schauen wir uns Radio an, vielleicht etwas im Mikrowellenspektrum, vielleicht WiFi. Ein typischer WiFi-Kanal im alten Stil verfügt möglicherweise über eine Bandbreite von 20 MHz, die Trägerfrequenz liegt jedoch bei etwa 2,4 GHz. Wenn wir also naiv vorgehen, um das Signal direkt abzutasten, benötigen wir einen 5-GHz-ADC, um unser Signal zu sehen, obwohl wir nur an 20-MHz-Frequenzen interessiert sind. Ein 5-GHz-Analog-Digital-Wandler ist sehr kompliziert und teuer und erfordert auch ein sehr kompliziertes und teures Design. Andererseits ist ein 40-MHz-ADC nicht so "magisch" wie ein 5-GHz-ADC.
Zu beachten ist, dass wir zwar theoretisch ein Signal mit einem 40-MHz-ADC erfassen könnten, aber sehr scharfe Anti-Aliasing-Filter benötigen, sodass wir in der Praxis die Abtastung nicht wirklich ausführen möchten Frequenz zu nahe an der Bandbreite. Eine andere Sache, die ebenfalls übersehen wird, ist, dass sich die Schaltung eines realen ADC als eigenständiger Filter verhält. Die Filtereffekte eines ADC müssen bei der Bandpassabtastung berücksichtigt werden. Sehr oft gibt es spezielle ADCs mit Bandbreiten, die weit über der Abtastrate liegen und speziell für die Bandpassabtastung entwickelt wurden.

Schließlich gibt es noch die andere Seite der Geschichte, die so genannte komprimierte Abtastung. Ich bin kein Experte in diesem Bereich und es ist etwas, das noch ein bisschen neu ist, aber die Grundidee ist, dass wir, wenn bestimmte Annahmen erfüllt sind (z. B. dass das Spektrum spärlich ist), mit Frequenzen abtasten können, die noch niedriger sind als die doppelte Bandbreite des Signals.

Daher sind viele Menschen, einschließlich Professoren, verwirrt darüber, wie hoch die Nyquist-Rate ist:

Nyquist-Rate ist die Abtastrate, die Sie benötigen, um ein Signal abzutasten, damit es nicht durch Aliasing beschädigt wird

Dies bedeutet, dass für reelle Signale und reelle Abtastungen die Abtastrate mehr als das Zweifache der Bandbreite des analogen Signals betragen muss.

Dies bedeutet, dass Sie mit einer Abtastrate von 6 kHz eine 100% -ige Darstellung jedes 3 kHz breiten Bandes erhalten können.

Dies bedeutet nicht , dass die Abtastrate doppelt so hoch sein muss wie die höchste Frequenz im Signal. Wenn Ihre 3 kHz beispielsweise das Band zwischen 9 kHz und 12 kHz sind, müssen Sie nicht mit 2 · 12 kHz = 24 kHz abtasten. 6 kHz sind völlig ausreichend, um das Signal eindeutig digital darzustellen. Sie müssten immer noch wissen, dass Ihre 3 kHz um 10,5 kHz zentriert sind, wenn Sie sie später auf andere Signale beziehen möchten, aber normalerweise spielt das keine Rolle.

Wir nennen diese Technik Unterabtastung und sie funktioniert hervorragend und ist eine 100% ige Standardtechnik mit vielen technischen Anwendungen. Sie müssen lediglich sicherstellen, dass alles, was Ihr ADC (Analog-Digital-Wandler) sieht, bandbegrenzt auf die Hälfte seiner Abtastrate ist. In dem oben genannten Beispiel müssen Sie also sicherstellen, dass kein Signal unter 9 kHz und kein Signal vorhanden ist Signal über 12 kHz.

komplexes Basisband

Beachten Sie, dass dies nur für echte Stichproben gilt. Wenn Sie Dinge wie IQ-Demodulatoren (auch als Direktkonvertierungsmischer oder Quadraturdemodulatoren bezeichnet ) verwenden, um ein komplexes, äquivalentes Basisband zu erhalten , erhalten Sie zwei Ströme synchroner Samples. In diesem Fall fällt der Faktor 2 weg. Dies ist ein sehr wichtiger Aspekt für softwaredefiniertes Radio .

mehrphasige Strukturen

Wenn Sie sich in den späteren Abschnitten eines DSP-Kurses befinden, hat Ihr Professor möglicherweise angedeutet, dass Sie Dinge wie rationale Resampler implementieren können, bei denen Sie normalerweise ein Upsampling um den Faktor M durchführen und dann filtern müssen, um alle Bilder zu löschen (Filter läuft mit Eingangsrate · M) und dann filtern, um alle Aliase zu vermeiden (Filter läuft mit Eingangsrate · M), bevor das Downsampling um N erfolgt, wobei ein einzelner Filter effektiv mit 1 / N der Eingangsrate ausgeführt wird - was tatsächlich sub ist -Nyquist Probenahme. Aber das wäre im Grunde genommen einer der Höhepunkte einer Vorlesung über Mehrphasen- / Multiraten-Systeme, und ich bezweifle, dass er dies in einem Anfängerkurs herausgestellt hätte - es ist einfach zu verwirrend.

Noch nie. Sie müssen jedoch sicherstellen, dass Sie genau verstehen, wie hoch die "Nyquist-Rate" tatsächlich ist.

Nyquist gab an, dass Sie das Signal rekonstruieren können, solange es mit einer Rate abgetastet wird, die mehr als der doppelten Bandbreite des Signals entspricht. Diese Bandbreite kann bei Gleichstrom beginnen oder auch nicht, aber viele Quellen zu diesem Thema gehen davon aus, dass dies immer der Fall ist und dass die höchste Frequenzkomponente des Signals die Nyquist-Rate bestimmt.

Wenn Sie beispielsweise ein AM-Sendesignal mit 1 MHz haben, das auf ± 10 kHz begrenzt ist, beträgt die Nyquist-Rate 2 × 20 kHz = 40 kHz und nicht 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.

Ein Profi sagte, dass es unter bestimmten Bedingungen möglich ist, unter der Nyquist-Rate zu arbeiten.

Wenn Sie nur den RMS-Wert einer Wellenform berechnen möchten, können Sie Folgendes unter nyquist abtasten:

Die blaue Wellenform ist auch eine Sinuswelle mit demselben RMS-Wert wie das Original. Was Sie vermeiden sollten, ist Folgendes:

In jedem Zyklus werden genau zwei Abtastungen vorgenommen, und es ist unmöglich zu wissen, ob das Alias-Signal tatsächlich die rote Wellenform oder die grüne Wellenform war.

Das Nyquist-Kriterium gibt an, wie oft Sie abtasten müssen, um ein bandbegrenztes Signal zu rekonstruieren. Es sind jedoch keine physikalischen Signale bandbegrenzt, dies ist nur eine Idealisierung. Andere Schemata funktionieren zum Abtasten anderer idealisierter Signale. Nyquist gibt Ihnen von vornherein Informationen zu einem Signal (dh es ist bandbegrenzt) und zeigt Ihnen, wie Sie das gesamte Signal aus wenigen Samples rekonstruieren können. Wenn ich Ihnen andere A-priori-Informationen gebe, können Sie es besser machen als nyquist. Hier ist ein Beispiel: Meine idealisierten Signale sind stückweise linear. Man muss diese Signale nur an ihren Wendepunkten abtasten: viel weniger Abtastwerte als man für bandbegrenzte Signale benötigt. Zeichnen Sie zwischen den Abtastpunkten gerade Linien, um das gesamte Signal zu rekonstruieren. Sie können dies das "Linequist" -Kriterium nennen. :)

Ein periodisches Signal kann unter Verwendung einer Sub-Nyquist-Abtastrate abgetastet werden. Dies wird in Oszilloskopen gut ausgenutzt. Dort wird für jede Signalwiederholung ein Sample gespeichert, jedoch an einer anderen Stelle der Periode. Benötigen Sie 512 Proben? dann werden 512 volle Prozent des Signals benötigt.

Die Genauigkeit:

Es ist leicht zu erkennen, dass eine stationäre Sinuswelle auf diese Weise erfasst werden kann. Aber diese 512 Samples müssen das Signal abdecken. Das ist wahr, wenn 256. und obere Harmonische als Nullen betrachtet werden können.

Dies wird manchmal absichtlich durchgeführt, z. B. in einem Abtastoszilloskop (nicht das gleiche wie bei einem DSO, obwohl einige DSOs auch abtasten - aber ein Abtastoszilloskop kann ein völlig analoges Gerät sein und sie wurden seit den 1950er Jahren gebaut), um mit periodischen Signalen umzugehen Signale, deren Frequenz zu hoch ist, um sie wirtschaftlich zu verstärken oder anderweitig mit linearen Schaltungen zu behandeln - es gibt nicht viele Oszilloskop-CRTs (ed), die mit einem 1-GHz-Rohsignal umgehen können (einige existieren!), 1-GHz-Signale waren jedoch einfach zu handhaben Undersampling auch mit 1960er Technologie. Am Ende verhält sich das gesamte System ähnlich (nicht identisch) wie ein Überlagerungsempfänger. Während es keinen Hochfrequenz-LO mit kontinuierlicher Welle gibt, ist in dem verwendeten Abtasttakt immer noch eine sehr hochfrequente Komponente verborgen (und verwendet):

Offensichtlich kann ein nichtperiodisches Signal nicht auf diese Weise untersucht werden, und ein Signal mit hinzugefügten viel niedrigeren Frequenzkomponenten kann gründlich falsch dargestellt und / oder falsch interpretiert werden.

Ich denke, dass das, was [Rackandboneman] gesagt hat, im Einklang mit der Absicht des Professors steht. Die "bestimmte Bedingung" wäre, dass das ursprüngliche Signal periodisch sein sollte.

Hier ist ein Code, der zeigt, wie das Originalsignal aus dem unterabgetasteten Signal rekonstruiert wird. Das ursprüngliche Signal benötigt eine Abtastperiode von 1/100, um sein eindeutiges Muster zu rekonstruieren (obwohl seine Grundfrequenz 8/100 beträgt). Durch Abtasten mit einer Abtastperiode von 1,5 / 100 s wird das Muster des Originalsignals mit einer Rekonstruktionsabtastperiode von 0,5 / 100 nahezu perfekt rekonstruiert. (In Kürze wird eine Abtastperiode von 0,5 / 100 aus einer Abtastperiode von 1,5 / 100 erstellt.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Wenn ein Signal mit der Rate S abgetastet wird, ist jeder Inhalt mit der Frequenz f für eine ganze Zahl N von jedem anderen Inhalt mit der Frequenz NS + f oder NS-f nicht zu unterscheiden.

Ob eine gegebene Abtastrate angemessen ist, hängt davon ab, ob zwei Frequenzen existieren, deren Inhalt unterschieden werden müsste, aber nicht.

Wenn man sich zB nur um Signale im Bereich von 700-800Hz kümmert, hat der Eingang keinen Inhalt unter 300Hz oder über 1200Hz, und das Vorhandensein anderer Signale führt nicht zu Übersteuerungen. Eine Abtastrate von 1000Hz wäre ohne vorherige Filterung trotz Vorhandenseins von Inhalten mit einer Gesamtbandbreite von 900 Hz. Inhalte im Bereich von 300 Hz bis 700 Hz sind nicht von Inhalten im Bereich von 800 Hz bis 1200 Hz zu unterscheiden.