Skalieren der FFT-Ausgabe nach Anzahl der Punkte in der FFT

Bei der Berechnung der N-Punkt-FFT eines Signals wird das Ergebnis immer durch N geteilt. Ich kann verstehen, warum dies bei einer Summierung über die N Punkte der Fall ist, aber häufig ist das Ergebnis der FFT-Operation eher ein Vektor der Länge N. als eine Summe. Warum wird dann der Längen-N-Vektor, der die Ausgabe der FFT ist, mit der Anzahl der Punkte (N) skaliert, die zur Berechnung der FFT verwendet werden? Vielen Dank.

Der Unterschied besteht darin, dass die digitale Fourier-Transformation (und auch die FFT) einen Vektor der Größe N (oder in einigen Fällen M) ergibt, der Summen von N Abtastwerten enthält.

Grundsätzlich ist jeder Punkt der FFT-Transformation das Ergebnis einer Summe über ein bestimmtes Zeitintervall der zeitbasierten Abtastwerte. Deshalb teilen Sie durch N.

Sie können es so betrachten: Sie nehmen ein Intervall von N Abtastwerten Ihres Signals; Dann summieren Sie im Grunde alle Abtastwerte N-mal, multiplizieren sie jedoch jedes Mal mit einer anderen Funktion, um die Informationen für eine bestimmte Frequenz (oder einen genaueren Frequenzbereich) zu extrahieren.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie anstelle von N Abtastwerten, die jeweils einem Zeitintervall zugeordnet sind, N Abtastwerte (wie zuvor) haben, die sich jedoch jeweils auf das gesamte Intervall beziehen und die Komponente des Signals für einen bestimmten Frequenzbereich beschreiben .

Der Vollständigkeit halber gibt es vier Fälle von Fourier-Transformation:

1. Kontinuierliche Fourier-Transformation für kontinuierliche zeitliche Signale über ein endliches Intervall, die einen kontinuierlichen Frequenzgang ergibt;

2. Fourier-Reihe, die ein kontinuierliches und periodisches Signal nimmt und die diskrete Reihe von Harmonischen ergibt, also mit diskreten Frequenzkomponenten;

3. Zeitdiskrete Fourier-Transformation, der Kehrwert von (2), bei der aus einem zeitdiskreten Signal eine periodische Funktion im Frequenzbereich ergibt;

4. Digitale Fourier-Transformation, die ein diskretes und periodisches Signal verwendet, um ein diskretes und periodisches Spektrum zu erhalten.

Die Transformation eines periodischen Signals ergibt also ein diskretes Spektrum und umgekehrt.

Der 1 / N-Skalierungsfaktor ist nahezu beliebig platziert. Eine nicht skalierte FFT, gefolgt von einer nicht skalierten IFFT unter Verwendung genau derselben komplexen exponentiellen Twiddle-Faktoren, multipliziert den Eingangsvektor mit dem Skalierer N. Um die ursprüngliche Wellenform nach einem IFFT (FFT ()) - Roundtrip wiederherzustellen (wodurch sie inverse Funktionen erhalten), Einige FFT / IFFT-Implementierungspaare skalieren die FFT um 1 / N, einige skalieren die IFFT um 1 / N, einige skalieren beide um 1 / sqrt (N).