Warum ist die Nyquist-Datenrate niedriger als die Shannon-Datenrate?

In dem Buch Computer Networks spricht der Autor über die maximale Datenrate eines Kanals. Er präsentiert die Nyquist-Formel:

C = 2H V (Bits / Sek.)$_2$

Und gibt ein Beispiel für eine Telefonleitung:

Ein rauschfreier 3-kHz-Kanal kann keine binären (dh zweistufigen) Signale mit einer Rate von mehr als 6000 Bit / s übertragen.

Dann erklärt er die Shannon-Gleichung:

C = H (1 + S / N) (Bits / Sek.)$_2$

Und gibt (nochmal) ein Beispiel für eine Telefonleitung:

Ein Kanal mit 3000-Hz-Bandbreite mit einem Signal-zu-Thermo-Rausch-Verhältnis von 30 dB (typische Parameter des analogen Teils des Telefonsystems) kann niemals viel mehr als 30.000 Bit / s übertragen

Ich verstehe nicht, warum die Nyquist-Rate viel niedriger ist als die Shannon-Rate, da die Shannon-Rate Rauschen berücksichtigt. Ich vermute, sie stellen nicht die gleiche Datenrate dar, aber das Buch erklärt es nicht.

Um dies zu verstehen, müssen Sie zuerst verstehen, dass übertragene Bits nicht rein binär sein müssen, wie im Beispiel für die Nyquist-Kapazität angegeben. Nehmen wir an, Sie haben ein Signal zwischen 0 und 1V. Sie können 0 V bis [00] .33 V bis [01] .66 V bis [10] und 1 V bis [11] zuordnen. Um dies in der Nyquist-Formel zu berücksichtigen, würden Sie "V" von 2 diskreten Stufen in 4 diskrete Stufen ändern, wodurch sich Ihre Kapazität von 6000 auf 12000 ändert. Dies könnte dann für eine beliebige Anzahl diskreter Werte erfolgen.

Es gibt jedoch ein Problem mit Nyquists Formel. Da das Rauschen nicht berücksichtigt wird, kann nicht ermittelt werden, wie viele diskrete Werte möglich sind. Also kam Shannon und fand eine Methode, um im Wesentlichen ein theoretisches Maximum für die Anzahl der diskreten Ebenen zu setzen, die Sie fehlerfrei lesen können.

In dem Beispiel, in dem 30.000 Bit / s erreicht werden sollen, müssten also 32 diskrete Werte vorliegen, die gelesen werden können, um verschiedene Symbole zu bezeichnen.

Die Nyquist-Datenrate (nicht die Nyquist-Frequenz) ist die maximale Rate für ein Binärsignal (2 diskrete Pegel).

Die Shannon-Rate berücksichtigt Signalpegel, da die maximale Datenrate nicht nur von der Bandbreite abhängt. Wenn eine unbegrenzte Anzahl von Signalpegeln verwendet werden kann, kann die Datenrate unabhängig von der Bandbreite unbegrenzt sein.
Da das kleinstmögliche Pegelinkrement vom Signal-Rausch-Verhältnis abhängt, ist es in der Shannon-Rate enthalten. Im obigen Beispiel wird für eine Bandbreite von 3000 kHz und ein SNR von 30 dB gezeigt, dass Sie Pegel übertragen können, die jeweils 5 Informationsbits darstellen.

Das Leistungsverhältnis von 30 dB = 1000 zu 1 kann durch sqrt (1000) = ~ 32 unterscheidbare Pegel (5 Bits) in Spannung zurückgewandelt werden. Wenn wir dies auf den einfacheren Satz von Hartley anwenden, erhalten wir 2B * log2 (32) = 30 kHz für B = 3 kHz. 5 Informationsbits multipliziert mit der Nyquist-Datenrate von 2B (= 6000 in diesem Beispiel) entsprechen 30.000 Bits / Sek.

Eine beschreibt, wie schnell Sie abtasten, die andere, wie viele Daten Sie übertragen können. Die minimal erforderliche Abtastrate ist nur eine Funktion der höchsten Frequenz, die Sie korrekt darstellen möchten. Das ist unabhängig von der Lautstärke des Kanals. Mit weniger Rauschen können Sie jedoch mehr Informationen pro Probe übertragen. Anders ausgedrückt, Nyquist sagt, wie hoch die Abtastrate sein muss, und Shannon sagt, wie viele Bits Sie dann pro Abtastung erhalten.