Was genau ist die Rolle des Holds nullter Ordnung in einem hybriden analogen / digitalen Abtastdatensystem?

Ich gebe zu, ich stelle diese Frage rhetorisch. Ich bin gespannt, welche Antworten sich daraus ergeben.

Wenn Sie dies beantworten möchten, stellen Sie sicher, dass Sie den Shannon-Nyquist-Abtastsatz gut verstehen. Besonders der Wiederaufbau. Achten Sie auch auf "Fallstricke" in Lehrbüchern. Der technische Begriff der Dirac-Delta-Impulsfunktion ist ausreichend. Sie müssen sich nicht um die "Verteilung" kümmern, der Dirac-Impuls als entstehende Delta-Funktion ist gut genug:

$$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$$

wo

$$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

Probleme hinsichtlich der Genauigkeit, der Bitbreite von Stichprobenwörtern und der Quantisierung, die bei der Konvertierung durchgeführt werden, sind für diese Frage nicht relevant. Die Skalierung von Eingabe zu Ausgabe ist jedoch relevant.

Ich werde meine eigene Antwort darauf schreiben, es sei denn, jemand anderes liefert eine genaue und pädagogisch nützliche Antwort. Ich könnte sogar ein Kopfgeld dafür ausgeben (könnte genauso gut den kleinen Repräsentanten ausgeben, den ich habe).

Habe es drauf.

Installieren

Wir betrachten ein System mit einem Eingangssignal $x(t)$ , und der Klarheit halber bezeichnen wir die Werte von $x(t)$ bei Bedarf als Spannungen. Unsere Abtastperiode ist $T$ , und die entsprechende Abtastrate $f_s \triangleq 1/T$ .

Für die Fourier - Transformation, wählen wir die Konventionen

$$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$$ gibt die inversen Fourier - Transformierte $$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$$ Man beachte, dass mit diesen Konventionen$X$eine Funktion der Laplace-Variablen$s = i \omega = i 2 \pi f$.

Ideale Probenahme und Rekonstruktion

Beginnen wir mit der idealen Abtastung: Nach dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem , wenn ein Signal $x(t)$ ist, das auf f < 1 bandbegrenzt ist$f < \frac{1}{2} f_s$,dh

$$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$$ dann kann das ursprüngliche Signal perfekt aus denAbtastwerten rekonstruiert werden$x[n] \triangleq x(n T)$, wobei$n\in \mathbb{Z}$. Mit anderen Worten, angesichts der Bedingung für die Bandbreite des Signals (Nyquist-Kriterium genannt) ist es ausreichend, seine Momentanwerte zu äquidistanten diskreten Zeitpunkten zu kennen.

Das Abtasttheorem gibt auch eine explizite Methode zur Durchführung der Rekonstruktion. Begründen wir dies auf eine Art und Weise, die im Folgenden hilfreich ist: Schätzen wir die Fourier-Transformation eines Signals x ( t ) durch seine Riemann-Summe mit Schritt T : X ( i 2 π f ) ~ ∞ & Sigma; n = - ∞ x ( n Δ t ) e - i 2 π $X(i 2 \pi f)$$x(t)$$T$ woΔt=T. Lassenuns umschreiben dies als integraler, die Fehler machen wir zu quantifizieren: ∞ & Sgr; n = - ∞ x ( n T ) e - i 2 π f n T

$$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$$ $\Delta t = T$ wo wir den verwendeteFaltungssatzauf dem Produkt vonx(t)und derSamplingfunktion& Sigma; ∞ n = - ∞ Tδ(t-nT), das Tatsachedaß die FourierTransformation der Abtastfunktion Transformation ist& Sigma; ∞ n = - ∞ & dgr;(f- $$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$$ $x(t)$ $\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$ und führte das Integral über die Delta-Funktionen aus.$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Man beachte, dass die linke Seite genau , wobei X 1 / T ( i 2 π f T ) die diskrete Zeit-Fourier-Transformation des entsprechenden abgetasteten Signals x [ n ] x x ist ( n T ) , wobei f T die dimensionslose diskrete Zeitfrequenz ist.$T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$x[n] \triangleq x(n T)$$f T$

Hier sehen wir den wesentlichen Grund für das Nyquist-Kriterium: Es ist genau das, was erforderlich ist, um zu gewährleisten, dass sich die Bedingungen der Summe nicht überschneiden. Mit dem Nyquist - Kriterium, verringert die obige Summe der periodischen Erweiterung des Spektrums aus dem Intervall für die gesamte reale Linie.$[-f_s/2, f_s/2]$

Da die DTFT in hat die gleiche Fourier im Intervall Transformation [ - f s / 2 , f s / 2 ] als unser ursprüngliches Signal, können wir einfach Multipliziere sie durch die Rechteckfunktion R e c t ( f / f s ) und erhalte das ursprüngliche Signal zurück. Über den Faltungssatz , Dies entspricht Falten den Dirac Kammes mit der Fourier - Transformation der Rechteckfunktion, die in unseren Konventionen ist F ( r e c t ( $\eqref{discreteft}$$[-f_s/2, f_s/2]$$\mathrm{rect}(f/f_s)$ wo dienormalisierte sincFunktionist , s i n c ( x ) ≜ sin ( π x

$$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$$ Die Faltung ersetzt dann einfach jedes DiracDelta des Dirac Kamm mit einem sinc -function auf die Position des Deltas verschoben, so dass x ( t ) = ∞ & Sigma; n = - ∞ x [ n ] s i n c ( t / T - n ) . Dies ist dieWhittaker-Shannon-Interpolationsformel. $$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ $$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$$

Nicht ideale Probenahme

Um die obige Theorie in die reale Welt zu übersetzen, ist es am schwierigsten, die Bandbegrenzung zu gewährleisten, die vor dem Abtasten durchgeführt werden muss. Für die Zwecke dieser Antwort wird davon ausgegangen, dass dies geschehen ist. Die verbleibende Aufgabe besteht dann darin, Abtastwerte der instanten Werte des Signals zu entnehmen. Da ein realer ADC eine begrenzte Zeit benötigt, um die Annäherung an die Abtastung zu bilden, speichert die übliche Implementierung den Wert des Signals in einer Abtast-Halte-Schaltung, aus der die digitale Annäherung gebildet wird.

Auch wenn dies einem Hold nullter Ordnung sehr ähnelt, handelt es sich um einen eindeutigen Vorgang: Der Wert, der aus dem Sample-and-Hold erhalten wird, ist in der Tat genau der instante Wert des Signals, bis zu der Annäherung, dass das Signal für das konstant bleibt Dauer, die zum Laden des Kondensators mit dem Abtastwert benötigt wird. Dies wird normalerweise von realen Systemen gut erreicht.

Daher kann man sagen, dass ein ADC aus der realen Welt, der das Problem der Bandbegrenzung ignoriert, eine sehr gute Annäherung an den Fall einer idealen Abtastung darstellt, und insbesondere die vom Sample-and-Hold kommende "Treppe" keinen Fehler im ADC verursacht Probenahme von selbst.

Nicht ideale Rekonstruktion

Für die Rekonstruktion ist es das Ziel, eine elektronische Schaltung zu finden, die die in Summe von Sincs erreicht . Da die Zeit unendlich lang ist, ist es ziemlich klar, dass dies nicht genau realisiert werden kann. Ferner würde das Bilden einer solchen Summe von Signalen sogar in einer vernünftigen Näherung mehrere Teilschaltungen erfordern und schnell sehr komplex werden. Daher wird normalerweise eine viel einfachere Näherung verwendet: Zu jedem Abtastzeitpunkt wird eine Spannung entsprechend dem Abtastwert ausgegeben und bis zum nächsten Abtastzeitpunkt konstant gehalten (obwohl ein Beispiel für ein alternatives Verfahren in Delta-Sigma-Modulation angegeben ist ). Dies ist der Halt nullter Ordnung und entspricht dem Ersetzen der oben verwendeten sinc durch die Rechteckfunktion 1 $\eqref{sumofsinc}$ . Auswerten die Faltung ( 1 / T r e c t ( t / T - 1 / 2 ) ) * ( ∞ & Sigma; n = - ∞ T x [ n ] δ ( t - n T ) )$1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$

$$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$$ Anhand der definierenden Eigenschaft der Delta-Funktion sehen wir, dass dies tatsächlich zu der klassischen zeitkontinuierlichen Treppenwellenform führt. Der Faktor tritt in dem abzubrechen T in eingeführt (1) . Dass ein solcher Faktor benötigt wird, ergibt sich auch aus der Tatsache, dass die Einheiten einer Impulsantwort 1 / Zeit sind.$1/T$$T$$\eqref{discreteft}$

Die Verschiebung von ist einfach zu garantieren Kausalität . Dies entspricht nur zu einer Verschiebung des Ausgangssignals um 1/2 Probe relativ zur Verwendung von 1 / T r e c t ( 1 / T ) (die Folgen in Echtzeitsystemen , oder wenn haben kann sehr präzise Synchronisation auf externe Ereignisse ist erforderlich) , die wir im Folgenden ignorieren werden.$-1/2 T$$1/T \mathrm{rect}(1/T)$

Im Vergleich zu haben wir die Rechteckfunktion im Frequenzbereich, die das Basisband völlig unberührt ließ , durch die Fouriertransformation der Funktion 1 / T r ersetzt und alle Kopien des Spektrums mit höherer Frequenz, die als Bilder bezeichnet werden , entfernt e c t ( t / T ) . Das ist natürlich s i n c ( f / f s ) $\eqref{discreteft}$$1/T \mathrm{rect}(t/T)$

$$\mathrm{sinc}(f/f_s).$$

Beachten Sie, dass die Logik vom Idealfall etwas umgekehrt ist: Dort haben wir unser Ziel definiert, nämlich die Bilder im Frequenzbereich zu entfernen und die Konsequenzen im Zeitbereich abzuleiten. Hier haben wir definiert, wie im Zeitbereich zu rekonstruieren ist (da wir dies wissen) und die Konsequenzen im Frequenzbereich abgeleitet.

Das Ergebnis des Haltens nullter Ordnung ist also, dass wir anstelle des rechteckigen Fensters im Frequenzbereich das Sinus als Fensterfunktion erhalten. Deshalb:

• Der Frequenzgang ist nicht mehr bandbegrenzt. Vielmehr klingt es als , wobei die oberen Frequenzen Bilder des Originalsignals sind$1/f$
• im Basisband, fällt die Antwort bereits erheblich und erreichte etwa -4 dB bei $1/2 f_s$

Insgesamt wird das Halten nullter Ordnung verwendet, um die in der Whittaker-Shannon-Interpolationsformel auftretende Zeitbereichs-Sinc-Funktion anzunähern . Beim Sampling ist das ähnlich aussehende Sample-and-Hold eine technische Lösung für das Problem der Schätzung des Momentanwerts des Signals und führt an sich zu keinen Fehlern.

Beachten Sie, dass auch bei der Rekonstruktion keine Informationen verloren gehen, da wir die Hochfrequenzbilder nach dem anfänglichen Halten nullter Ordnung immer herausfiltern können. Der Verstärkungsverlust kann auch durch ein inverses Sinusfilter entweder vor oder nach dem DAC kompensiert werden. Aus praktischer Sicht wird daher das Halten nullter Ordnung verwendet, um eine anfänglich implementierbare Annäherung an die ideale Rekonstruktion zu konstruieren , die dann bei Bedarf weiter verbessert werden kann.

Nullter Ordnung halten hat die Rolle die Delta des Annäherns und -Funktionen in dem Abtasttheorem erscheinen, je nachdem , was angemessen ist.$\mathrm{sinc}$

Aus Gründen der Übersichtlichkeit betrachte ich ein ADC / DAC-System mit einem Spannungssignal. Das Folgende gilt jedoch für jedes Probenahmesystem mit entsprechendem Einheitenwechsel. Ich gehe auch davon aus, dass das Eingangssignal bereits magisch begrenzt wurde, um das Nyquist-Kriterium zu erfüllen.

Beginnen Sie mit der Abtastung: Im Idealfall würde man den Wert des Eingangssignals zu einem einzigen Zeitpunkt abtasten. Da echte ADCs eine begrenzte Zeit benötigen, um ihre Annäherung zu bilden, wird die Momentanspannung durch das Sample-and-Hold angenähert (Momentan wird angenähert durch die zum Laden des Kondensators verwendete Schaltzeit). Im Wesentlichen wandelt das Halten das Problem des Anlegens einer Delta-Funktion an das Signal in das Problem des Messens einer konstanten Spannung um.

Hierbei ist zu beachten, dass die Differenz zwischen der Multiplikation des Eingangssignals mit einer Impulsfolge oder dem Anlegen eines Hold nullter Ordnung zu denselben Zeitpunkten lediglich eine Interpretationsfrage ist, da der ADC dennoch nur die gehaltenen Momentanspannungen speichert. Eins kann vom anderen rekonstruiert werden. Für die Zwecke dieser Antwort, werde ich die Interpretation annimmt , dass das abgetastete Signal das zeitkontinuierliche Signal der Form wobeiVrefist die Referenzspannung des ADC / DAC,nist die Anzahl der Bits,xksinddie Proben in der üblichen Weise als ganze Zahlen dargestellt, undΔtdie Abtastperiode. Diese etwas unkonventionelle Interpretation hat den Vorteil, dass ich immer ein zeitkontinuierliches Signal betrachte, und Abtastung bedeutet hier einfach, es in Form der Zahlenxkdarzustellen, die tatsächlich die Abtastwerte im üblichen Sinne sind.

$$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ $V_\mathrm{ref}$$n$$x_k$$\Delta t$$x_k$

Bei dieser Interpretation ist das Spektrum des Signals im Basisband genau das gleiche wie das des ursprünglichen Signals, und die effektive Faltung durch die Impulsfolge hat den Effekt, dieses Signal zu replizieren, um das Spektrum periodisch zu machen. Die Repliken werden als Bilder des Spektrums bezeichnet. Dass der Normalisierungsfaktor notwendig ist , gesehen werden kann, beispielsweise durch die Berücksichtigung DC-Versatz von einem 1 - Volt - Impulse mit der Dauer Δ t : sein DC-Offset als definierte f = 0 -Komponente des Fourier - Transformation ist x ( 0 ) = ∫ Δ t 0 1 V d t $\Delta t$$\Delta t$$f = 0$

$$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ $\Delta t$

$\mathrm{sinc}$$\mathrm{sinc}$

$$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ The normalization of this rectangular function is defined by requiring that a constant voltage is correctly reproduced, or in other words, if a voltage $V_1$ was measured when sampling, the same voltage is output on reconstruction.

In the frequency domain, this amounts to multiplying the frequency response with the Fourier transform of the rectangular function, which is

$$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$$ Note that the gain at DC is $1$. At high frequencies, the $\mathrm{sinc}$ decays like $1/f$, and therefore attenuates the images of the spectrum.

In the end, the $\mathrm{sinc}$-function resulting from the zero-order hold behaves as a low-pass filter on the signal. Note that no information is lost in the sampling phase (assuming the Nyquist criterion), and in principle, neither is anything lost when reconstructing: the filtering in the baseband by the $\mathrm{sinc}$ could be compensated for by an inverse filter (and this is indeed sometimes done, see for example https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853). The modest $-6\mathrm{dB/octave}$ decay of the $\mathrm{sinc}$ usually requires some form of filtering to further attenuate the images.

Note also that an imaginary impulse generator that could physically reproduce the impulse train used in the analysis would output an infinite amount of energy in reconstructing the images. This would also cause some hairy effects, such as that an ADC re-sampling the output would see nothing, unless it were perfectly synchronized to the original system (it would mostly sample between the impulses). This shows clearly that even if we cannot bandlimit the output exactly, some approximate bandlimiting is always needed to regularize the total energy of the signal, before it can be converted to a physical representation.

To summarize:

• in both directions, the zero-order-hold acts as an approximation to a delta function, or it's band-limited form, the $\mathrm{sinc}$ -function.
• from the frequency domain point of view, it is an approximation to the brickwall filter that removes images, and therefore regulates the infinite amount of energy present in the idealized impulse train.

---

*This is also clear from dimensional analysis: the units of a Fourier transform of a voltage signal are $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ whereas the delta function has units of $1/\mathrm{s}$, which would cancel the unit of time coming from the integral in the transform.

Fourier Transform:

$$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$$

Inverse Fourier Transform:

$$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$$

Rectangular pulse function:

$$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

"Sinc" function ("sinus cardinalis"):

$$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$$

Define sampling frequency, $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ as the reciprocal of the sampling period $T$.

Note that:

$$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

Dirac comb (a.k.a. "sampling function" a.k.a. "Sha function"):

$$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

Dirac comb is periodic with period $T$. Fourier series:

$$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$$

Sampled continuous-time signal:

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

where $x[n] \triangleq x(nT)$.

This means that $x_\text{s}(t)$ is defined solely by the samples $x[n]$ and the sampling period $T$ and totally loses any information of the values of $x(t)$ for times in between sampling instances. $x[n]$ is a discrete sequence of numbers and is a sorta DSP shorthand notation for $x_n$. While it is true that $x_\text{s}(t) = 0$ for $nT < t < (n+1)T$, the value of $x[n]$ for any $n$ not an integer is undefined.

N.B.: The discrete signal $x[n]$ and all discrete-time operations on it, like the $\mathcal{Z}$-Transform, the Discrete-Time Fourier Transform (DTFT), the Discrete Fourier Transform (DFT), are "agnostic" regarding the sampling frequency or the sampling period $T$. Once you're in the discrete-time $x[n]$ domain, you do not know (or care) about $T$. It is only with the Nyquist-Shannon Sampling and Reconstruction Theorem that $x[n]$ and $T$ are put together.

The Fourier Transform of $x_\text{s}(t)$ is

$$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$$

Important note about scaling: The sampling function $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ and the sampled signal $x_\text{s}(t)$ has a factor of $T$ that you will not see in nearly all textbooks. That is a pedagogical mistake of the authors of these of these textbooks for multiple (related) reasons:

1. First, leaving out the $T$ changes the dimension of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ from the dimension of the signal getting sampled $x(t)$.
2. That $T$ factor will be needed somewhere in the signal chain. These textbooks that leave it out of the sampling function end up putting it into the reconstruction part of the Sampling Theorem, usually as the passband gain of the reconstruction filter. That is dimensionally confusing. Someone might reasonably ask: "How do I design a brickwall LPF with passband gain of $T$?"
3. As will be seen below, leaving the $T$ out here results in a similar scaling error for the net transfer function and net frequency response of the Zero-order Hold (ZOH). All textbooks on digital (and hybrid) control systems that I have seen make this mistake and it is a serious pedagogical error.

Note that the DTFT of $x[n]$ and the Fourier Transform of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ are, with proper scaling, virtually identical:

DTFT:

$$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$$

It can be shown that

$$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$$

---

The above math is true whether $x(t)$ is "properly sampled" or not. $x(t)$ is "properly sampled" if $x(t)$ can be fully recovered from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period. The Sampling Theorem tells us what is necessary to recover or reconstruct $x(t)$ from $x[n]$ and $T$.

If $x(t)$ is bandlimited to some bandlimit $B$, that means

$$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$$

Consider the spectrum of the sampled signal made up of shifted images of the original:

$$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$$

The original spectrum $X(j 2 \pi f)$ can be recovered from the sampled spectrum $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ if none of the shifted images, $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$, overlap their adjacent neighbors. This means that the right edge of the $k$-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$) must be entirely to the left of the left edge of the ($k+1$)-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$). Restated mathematically,

$$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$$

which is equivalent to

$$f_\text{s} > 2B$$

If we sample at a sampling rate that exceeds twice the bandwidth, none of the images overlap, the original spectrum, $X(j 2 \pi f)$, which is the image where $k=0$ can be extracted from $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ with a brickwall low-pass filter that keeps the original image (where $k=0$) unscaled and discards all of the other images. That means it multiplies the original image by 1 and multiplies all of the other images by 0.

$$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$$

The reconstruction filter is

$$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

and has acausal impulse response:

$$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$$

This filtering operation, expressed as multiplication in the frequency domain is equivalent to convolution in the time domain:

$$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$$

That spells out explicitly how the original $x(t)$ is reconstructed from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period.

---

So what is output from a practical Digital-to-Analog Converter (DAC) is neither

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$$

which needs no additional treatment to recover $x(t)$, nor

$$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$$

which, with an ideal brickwall LPF recovers $x(t)$ by isolating and retaining the baseband image and discarding all of the other images.

What comes out of a conventional DAC, if there is no processing or scaling done to the digitized signal, is the value $x[n]$ held at a constant value until the next sample is to be output. This results in a piecewise-constant function:

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Note the delay of $\frac{1}{2}$ sample period applied to the $\operatorname{rect}(\cdot)$ function. This makes it causal. It means simply that

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$$

Stated differently

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$$

where $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ is the floor function, defined to be the largest integer not exceeding $u$.

This DAC output is directly modeled as a linear time-invariant system (LTI) or filter that accepts the ideally sampled signal $x_\text{s}(t)$ and for each impulse in the ideally sampled signal, outputs this impulse response:

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Plugging in to check this...

$$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$$

The DAC output $x_\text{DAC}(t)$, as the output of an LTI system with impulse response $h_\text{ZOH}(t)$ agrees with the piecewise constant construction above. And the input to this LTI system is the sampled signal $x_\text{s}(t)$ judiciously scaled so that the baseband image of $x_\text{s}(t)$ is exactly the same as the spectrum of the original signal being sampled $x(t)$. That is

$$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$$

The original signal spectrum is the same as the sampled spectrum, but with all images, that had appeared due to sampling, discarded.

The transfer function of this LTI system, which we call the Zero-order hold (ZOH), is the Laplace Transform of the impulse response:

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

The frequency response is obtained by substituting $j 2 \pi f \rightarrow s$

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$$

This indicates a linear phase filter with constant delay of one-half sample period, $\frac{T}{2}$, and with gain that decreases as frequency $f$ increases. This is a mild low-pass filter effect. At DC, $f=0$, the gain is 0 dB and at Nyquist, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$ the gain is -3.9224 dB. So the baseband image has some of the high frequency components reduced a little.

As with the sampled signal $x_\text{s}(t)$, there are images in sampled signal $x_\text{DAC}(t)$ at integer multiples of the sampling frequency, but those images are significantly reduced in amplitude (compared to the baseband image) because $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ passes through zero when $f = k\cdot f_\text{s}$ for integer $k$ that is not 0, which is right in the middle of those images.

Concluding:

1. The Zero-order hold (ZOH) is a linear time-invariant model of the signal reconstruction done by a practical Digital-to-Analog converter (DAC) that holds the output constant at the sample value, $x[n]$, until updated by the next sample $x[n+1]$.

2. Contrary to the common misconception, the ZOH has nothing to do with the sample-and-hold circuit (S/H) one might find preceding an Analog-to-Digital converter (ADC). As long as the DAC holds the output to a constant value over each sampling period, it doesn't matter if the ADC has a S/H or not, the ZOH effect remains. If the DAC outputs something other than the piecewise-constant output (such as a sequence of narrow pulses intended to approximate dirac impulses) depicted above as $x_\text{DAC}(t)$, then the ZOH effect is not present (something else is, instead) whether there is a S/H circuit preceding the ADC or not.

3. The net transfer function of the ZOH is

   $$H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$$ and the net frequency response of the ZOH is $$H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$$ Many textbooks leave out the $T$ factor in the denominator of the transfer function and that is a mistake.

4. The ZOH reduces the images of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ significantly, but does not eliminate them. To eliminate the images, one needs a good low-pass filter as before. Brickwall LPFs are an idealization. A practical LPF may also attenuate the baseband image (that we want to keep) at high frequencies, and that attenuation must be accounted for as with the attenuation that results from the ZOH (which is less than 3.9224 dB attenuation). The ZOH also delays the signal by one-half sample period, which may have to be taken in consideration (along with the delay of the anti-imaging LPF), particularly if the ZOH is in a feedback loop.