Warum ist das Integral Null?

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Ich frage mich, warum unter der Annahme, dass dann ? $\omega \gg \frac{1}{T}$ $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Da das Integral wie von bis und nach dem Einstecken des Werts erhalten wir: $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ $0$ $T$

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— user59419
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Ich stimme dafür, diese Frage als nicht zum Thema gehörend zu schließen, da sie sich nicht auf die Elektronik bezieht und eine reine mathematische Frage ist und daher auf math.stackexchange.com

— efox29

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Absolut nicht. Diese Schätzung wird in allen Kommunikationssystemen verwendet und ist keine reine mathematische Frage, da in mathematischer Hinsicht nur dieses Integral nicht immer Null ist

— user59419

Meinst du ?

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$

— Chu

Nein, es gibt kein . Wenn vorhanden ist, ist dies sinnvoll und ich habe es an verschiedenen Stellen gesehen.

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

— user59419

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Wenn Sie über Telekommunikation sprechen, gehen wir vermutlich von hohen Frequenzen aus. Wenn das der Fall ist:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ reicht von bis . Wenn Sie dies durch eine große Zahl teilen, erhalten Sie ungefähr Null. Um Ihnen eine Vorstellung zu geben: Für eine Frequenz um (die als "extrem niedrig" angesehen wird ) beträgt das Ergebnis MAXIMAL . $0$ $+2$
$1\;\text{kHz}$ $0.002$

— FMarazzi
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3

Viel bessere Erklärung als mein Brute-Force-Ansatz.

— Arsenal

1

Ich glaube nicht , das die volle Antwort ist: es selbst für kleine Werte von möglich ist gerecht zu werden , wenn groß genug ist .

ω

$\omega$

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$

T

$T$

— Ilmari Karonen

1

@IlmariKaronen T ist in der Telekommunikation nie groß genug.

— FMarazzi

4

Durch Erhöhen der Frequenz werden mehr Schwingungsperioden in das Integrationsintervall eingefügt.

Da das Integral eines Sinus über eine Periode Null ist, sollten wir nur die "unvollständige" Periode am Ende des Integrationsintervalls berücksichtigen.

Wenn wir die Frequenz erhöhen, wird der Bereich dieser unvollständigen Periode immer dünner (was das im Determinator erklärt). $\omega$

— walljam7
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3

Wenn ich einige Werte einstecke, erhalte ich Folgendes:

$T = 1$

Ergebnis $\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Jetzt bin ich nicht sicher , welche Größenordnung bedeutet und wie klein das Ergebnis sein muss berücksichtigt werden , aber es neigt dazu , Null zu erhalten , wenn es viel größer ist. $>>$ $\approx 0$

Was sind die typischen Werte für und T, die Sie betrachten? $\omega$

Update (wegen der Kommentare):

Wie FMarazzi recht gut erklärt hat, gibt es eine obere Grenze für den Fall, dass -1 ist, also haben Sie $\cos(\omega T)$ , das ist das absolute Maximum, das Sie jemals für ein T erhalten werden. $\frac{2}{\omega}$

Wenn Sie also den Wert für T wählen, erhalten Sie in gewisser Weise das Maximum für ein gegebenes die Tabelle wird: $\omega$

maximal möglicher Wert $\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

Und so weiter. Ich weiß nicht, in welchem Kontext die Annäherung verwendet wird, aber wie aus den Kommentaren hervorgeht, handelt es sich um Kommunikationssysteme, und ich vermute, dass es sich nicht um einen UART mit 9600 Baud handelt, sondern um etwas wie Ethernet oder schnellere Dinge liegt in der Größenordnung von oder höher, wofür das Ergebnis des Integrals klein wird und wahrscheinlich nicht zu den anderen interessierenden Begriffen beiträgt. $\omega$ $10^7$

— Arsenal
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Vielen Dank. Ihre Frage macht definitiv Sinn und das ist genau mein Problem, da der Bereich von T und w nicht angegeben ist und nur die Bedingung, dass wT >> 1 erwähnt wird. Ich dachte, was ist, wenn T = 1000 und w = 1, dann ist das Integral nicht Null.

— user59419

Wenn T willkürlich ist, ist die Fläche unter sin (wt) im Allgemeinen ungleich Null. Es muss eine andere Einschränkung geben.

— Chu

@Chu Ich sage nicht, dass es 0 sein wird, es ist nur sehr nahe bei 0, so nahe, dass es aus praktischen Gründen vernachlässigt werden kann (dies ist eine übliche Vereinfachung, um Dinge für Menschen lösbar zu machen). FMarazzi hat tatsächlich eine bessere Analyse der Obergrenze des Ergebnisses gegeben.

— Arsenal

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@Arsenal, aber Sie haben einen Wert für T angenommen. In der ursprünglichen Frage gibt es keine solche Spezifikation - sowohl w als auch T können frei wandern. Das Integral könnte also weit von Null entfernt sein

— Chu

@Chu ja das war im nachhinein etwas kurzsichtig. Ich habe meine Antwort aktualisiert, um den Punkt klar zu machen. Für höhere Omegas kann es kein langer Weg von Null sein.

— Arsenal

0

$\omega$ $T$

Ich vermute, dass mehr Kontext erforderlich ist, um richtig zu verstehen, was gemeint ist.

$\approx 0$ $\approx 0$ $T$ $T$ $\omega$

— Peter Green
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