Warum lässt dieser Phasenschieber des Einheitsverstärkungstransistors seine Amplitude nicht mit der Frequenz fallen?

Ich habe in "The Art of Electronics" über diesen Phasenschieber gelesen und beschlossen, eine LTspice-Simulation durchzuführen, um zu überprüfen, ob mein Verständnis der Schaltung mit der Realität übereinstimmt.

Laut LTspice liegt die Schaltung im 10-Hz-100-kHz-Band knapp unter der Verstärkung von eins.

Die gestrichelte Linie zeigt die Phase. Die durchgezogene Linie zeigt die Amplitude, aber beachten Sie die Skala: Betrachten Sie die Abweichung von µV von einem 1V (p) -Eingang.

Mein Gefühl sagt mir jedoch, dass R5 und C2 ein einfaches RC-Tiefpassfilter bilden, und obwohl sie von einer symmetrischen Eingangsspannung gespeist werden, die vom Kollektor und Emitter des Transistors abgegriffen wird, würde ich immer noch erwarten, dass der Ausgang bei 6 dB / Okt ab etwa 200 Hz abfällt.

AC-Analyse:

• Wenn der C2-Strom mit der Frequenz zunimmt, steigt die Spannung an R5 an.
• In ähnlicher Weise nimmt die Spannung an C2 ab.
• Die am Kollektor und am Emitter in den R5 / C2 eingespeiste Amplitude ist mit der Frequenz flach.

Was übersehe ich hier, warum geht es bei der Ausgangsverstärkung für höhere Frequenzen immer noch um Einheit? Ich suche eine qualitative Antwort.

Version 4
SHEET 1 892 680
WIRE 288 16 112 16
WIRE 832 16 288 16
WIRE 112 48 112 16
WIRE 288 48 288 16
WIRE 832 48 832 16
WIRE 288 144 288 128
WIRE 400 144 288 144
WIRE 512 144 480 144
WIRE 288 160 288 144
WIRE -16 208 -208 208
WIRE 112 208 112 128
WIRE 112 208 48 208
WIRE 224 208 112 208
WIRE 512 208 512 144
WIRE 528 208 512 208
WIRE 608 208 608 80
WIRE 608 208 592 208
WIRE 640 208 608 208
WIRE 752 208 720 208
WIRE 832 208 832 128
WIRE 832 208 752 208
WIRE -208 240 -208 208
WIRE 752 240 752 208
WIRE 288 272 288 256
WIRE 400 272 288 272
WIRE 512 272 512 208
WIRE 512 272 464 272
WIRE 112 288 112 208
WIRE 288 288 288 272
WIRE 832 288 832 208
WIRE -208 352 -208 320
WIRE 112 400 112 368
WIRE 288 400 288 368
WIRE 288 400 112 400
WIRE 832 400 832 368
WIRE 832 400 288 400
FLAG 752 240 0
FLAG -208 352 0
FLAG 608 80 out
SYMBOL res 96 32 R0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 62k
SYMBOL res 96 272 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 22k
SYMBOL res 272 32 R0
SYMATTR InstName R3
SYMATTR Value 2k203742
SYMBOL res 272 272 R0
SYMATTR InstName R4
SYMATTR Value 2k2
SYMBOL res 384 160 R270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 0 56 VBottom 2
SYMATTR InstName R5
SYMATTR Value 8k
SYMBOL cap -16 224 R270
WINDOW 0 32 32 VTop 2
WINDOW 3 0 32 VBottom 2
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 10m
SYMBOL npn 224 160 R0
SYMATTR InstName Q1
SYMATTR Value 2N3904
SYMBOL voltage 832 272 R0
WINDOW 123 0 0 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value 12
SYMBOL voltage 832 32 R0
WINDOW 123 0 0 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName V2
SYMATTR Value 12
SYMBOL voltage -208 224 R0
WINDOW 123 24 124 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName V3
SYMATTR Value SINE(0 1 20000)
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMBOL cap 528 224 R270
WINDOW 0 32 32 VTop 2
WINDOW 3 0 32 VBottom 2
SYMATTR InstName C3
SYMATTR Value 10�
SYMBOL res 624 224 R270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 0 56 VBottom 2
SYMATTR InstName R6
SYMATTR Value 10meg
SYMBOL cap 400 288 R270
WINDOW 0 32 32 VTop 2
WINDOW 3 0 32 VBottom 2
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 0.1�
TEXT -242 410 Left 2 !.tran 0 0.2 0.1
TEXT -248 448 Left 2 !;ac dec 50 10 100000

Mein Gefühl sagt mir jedoch, dass R5 und C2 ein einfaches RC-Tiefpassfilter bilden, und obwohl es von einer symmetrischen Eingangsspannung gespeist wird, die vom Kollektor und Emitter des Transistors abgegriffen wird, würde ich immer noch erwarten, dass der Ausgang bei 6 dB / Okt ab etwa 200 Hz abfällt

Bei niedrigen Frequenzen ist R5 dominant und der Ausgang ist um 180 ° phasenverschoben und die Einheitsverstärkung (nahe genug) und bei hohen Frequenzen ist C2 dominant und erzeugt eine Phasenverschiebung von Null, da die Spannungszufuhr C2 vom Emitter stammt.

Hier ist keine signifikante Tiefpassfilterung zu berücksichtigen.

Bedenken Sie, dass die Spannung am Emitter der Spannung an der Basis entspricht, und nennen Sie sie Vin. Die Spannung am Kollektor beträgt -Vin: -

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

Daher beträgt die Spannung am Mittelpunkt von R und C (Vout):

$V_{IN} - \dfrac{2V_{IN} \cdot X_C}{X_C+R} = V_{IN}(1-\dfrac{2X_C}{R+X_C})$

Daher ist Vout / Vin = $\dfrac{R-X_C}{R+X_C}$

Dies alles ohne Verwendung komplexer Zahlen, aber wenn Sie die Analyse von oben und unten in der obigen Gleichung durchgeführt haben, sind die Größen gleich: -

Das obige Bild ist, wenn R und Xc vektoriell addiert werden. Wenn nun Xc negativ wäre (gemäß dem Zähler in der Gleichung), würde Xc natürlich nach oben zeigen, ABER die Länge von -Xc und R zusammen ist genau die gleiche Größe.

Hier ist die LTspice-Darstellung der von LvW analysierten Ersatzschaltung (im Vergleich zur ursprünglichen Transistorschaltung):

Beachten Sie, dass sich in der ursprünglichen Schaltung Vc und Ve beim Übergang ein wenig (in die gleiche Richtung) verschieben, dies kann jedoch ignoriert werden, wie Sie sehen.

Und wenn Sie einen "Beweis durch LTspice" für dieses letztere Überlagerungsproblem wünschen, können Sie Folgendes tun, indem Sie die Wechselspannungsquellen schrittweise einstellen:

In diesen Darstellungen habe ich nur die Daten (Vc = 1, Ve = 0), (Vc = 0, Ve = 1) und schließlich (Ve = 1, Vc = 1) ausgewählt.

Die Intuition hinter der Lösung dieses letzteren Ersatzschaltbilds ist einfach: Unabhängig von der Größe, die Sie von der Vc-Quelle tiefpassieren, addieren Sie sie zu der um 180 verschobenen Größe, die Sie von der Ve-Quelle hochpassieren. Ihre Summe ist also im Allgemeinen konstant. Der formale Beweis dafür ist die Antwort des LvW. Wenn Sie möchten, dass LTspice diese Summe "beweist", müssen Sie beide Teilschaltungen explizit auf das gleiche Schema wie unten gezeigt setzen. (Ich weiß nicht, wie LTspice parametrisierte Ergebnisse für verschiedene Parameterwerte hinzufügen soll.)

Um einen bestimmten Abszissenpunkt auszuwählen, um dies numerisch zu verifizieren, entspricht dies beispielsweise der Größe von -3 dB ($=\frac{1}{\sqrt{2}}$Dies ist offensichtlich für beide Filter gleich.) Die Phase des Tiefpasssignals beträgt dort -45 Grad, und die Phase des Hochpasssignals beträgt -135 Grad. Wie erwartet ergibt dies eine Phase von 1 und -90 Grad:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \angle {-45}^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \angle {-135}^{\circ} = \Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}j \Big) + \Big(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}j \Big) = -j = 1\angle {-90}^{\circ}$$

---

Schließlich ist hier ein erneut angegebener Beweis, der weder auf die S-Domäne zurückgreift (da Sie ihn hier nicht wirklich benötigen) noch die ursprünglichen Definitionen der Reaktanz verwendet. Sie haben zwei Spannungsteiler, einen für jede dieser Quellen

$$V_{co} = V_{c} \frac {\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}} = V_{c} \frac {1}{1+j\omega RC}$$

$$V_{eo} = V_{e} \frac {R}{R+\frac{1}{j\omega C}} = V_{e} \frac {j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Schon seit $V_c=-V_e$und durch Überlagerung:

$$V_{sum} = V_{co} + V_{eo} = - V_{e} \frac {1}{1+j\omega RC} + V_{e} \frac {j\omega RC}{1+j\omega RC} = V_{e} \frac{-1+j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Es ist sinnvoller, die Übertragungsfunktion relativ zu auszudrücken $V_e$ als zu $V_c$ weil ersteres mit dem Eingangssignal (Transistorbasis) in Phase ist.

$$\frac{V_{sum}}{V_{e}} = \frac{-1+j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Dies ist eine komplexe Zahl des Formulars $\frac{-z^*}{z}$(wobei * das komplexe Konjugat bezeichnet), so dass seine Größe immer 1 ist ; Dies ist eine triviale mathematische Tatsache, da$z=a+bi$ und $-z^*=-a+bi$ haben die gleiche Größe, nämlich $|z|=a^2+b^2 = (-a)^2+b^2=|-z^*|$.

Die Phase ist eine andere Sache und nicht konstant, da es sich im Grunde um die Funktion handelt

$$f(x) = \arg\Big(\frac{-1+jx}{1+jx}\Big)$$

Klar bei $x \to 0$ es ist die Phase von $-1$ damit $\pm \pi$dh plus oder minus 180 Grad. Es beginnt also [bei niedriger Frequenz] in genau entgegengesetzter Phase der Emitterspannung, dh in Phase mit der Kollektorspannung. Wie $x \to \infty$ Die Grenze ist Null , daher wird sie mit der Emitterspannung bei einer ausreichend hohen Frequenz in Phase gebracht.

Beachten Sie dies zunächst, um mehr Informationen von Hand zu erhalten $\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1)-\arg(z_2)$(Siehe Gleichung 10 in dieser Handreichung und Beweisidee ). Damit

$$f(x) = \arg(-1+ix) - \arg(1+ix)$$

Zum $x>0$, die rechte Hälfte dieser Subtraktion ist gerade $\arctan x$, aber die linke ist $\pi + \arctan (-x)$. Schon seit $\arctan (-x) = -\arctan(x)$hast du endlich

$$f(x) = \pi - 2 \arctan (x)$$

Dies ist die gleiche Funktion, aber nur für$x>0$. Ich denke, deshalb hat WA es nicht automatisch so vereinfacht.

Damit es tatsächlich so aussieht wie im Bode-Plot, müssen Sie einen Semilog-Plot erstellen, den ich in WA nicht ausführen kann (ich denke, das erfordert die kostenpflichtige Version), aber ... gnuplot macht das ganz einfach:

gnuplot> set xrange [1:1E5]       
gnuplot> set logscale x                      
gnuplot> plot (180 / pi) * (pi - 2 * atan(2 * pi * 8E-4 * x)) 

8E-4 ist in diesem Fall die RC-Konstante.

Ich habe Vc in den vorherigen LTspice-Sims / Plots etwas unklug auf 0 gesetzt, wenn ich das mit Ve hätte tun sollen. Mit dieser Änderung stimmt die Theorie perfekt mit der Simulation überein:

Es ist ein Allpassfilter erster Ordnung mit den folgenden Eigenschaften:

• Beide Ausgangsspannungen (Größen) sind gleich (Kollektor bzw. Emitter): Daher ist v, c = -v, e .

• Unter Verwendung des Überlagerungsprinzips beträgt die Ausgangsspannung über dem gemeinsamen Lastwiderstand R6 (Summe eines Tiefpass- und eines Hochpassausgangs)

  v, out = v, e [sR5C2 / (1 + sR5C2)] - v, e [1 / (1 + sR5C2)]

• Daher gilt: v, out / v, e = (sR5C2-1) / (sR5C2 + 1) .

  Diese Allpassfunktion erster Ordnung hat für alle Frequenzen eine Einheitsgröße (gleiche Größen für Zähler und Nenner) - solange die Frequenzabhängigkeit der Transitorverstärkung vernachlässigt werden kann.

Hinweis: Der Einfluss des sehr großen Lastwiderstands R6 wurde vernachlässigt.