Berechnen Sie die Mindestanzahl von 120Ω-Widerständen, um einen Widerstand von 80Ω zu erhalten?

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Ich musste kürzlich einen Test in Grundelektronik machen. Ich habe eine Frage nicht richtig verstanden, aber ich verstehe nicht ganz warum.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Die möglichen Antworten auf diese Frage sind 2, 3, 4 and 6. Die einzige Antwort, die ich finden kann, ist 6, dass die Widerstände wie unten dargestellt angeordnet sind. Ist 6aber nicht die richtige Antwort.

Frage:

Wie viele Widerstände werden benötigt und um sie anzuordnen?

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schaltplan erstellt mit CircuitLab}

Ich kenne nur die Grundlagen der Elektronik und hoffe, dass meine Gedanken richtig sind.

resistors

— Marius Schär
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10

@Autistic wären 120 & 120 nicht gleich 60?

— Marius Schär

3

Vielleicht ist Autistic Artistic

— Marla

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Die Nummer ist drei. Das Ableiten der Kombination bleibt dem Leser überlassen ... aber es gibt nur so viele Möglichkeiten.

— Chris Stratton

2

Dies ist die Art von Problem, das uns alle besiegen kann. Manchmal steht die einfachste Lösung vor uns. Ich ermutige Fragen wie diese. Ich genieße es wirklich, in einem Interview diese Art von Frage zu sehen. Martin, fühl dich nicht schlecht. . Ich selbst habe mich auf diesen Typ verloren. Wir werden an unsere eigenen Grenzen

— Marla

4

Ich meinte 120 parallel zu 2 120 Ohm Widerständen der Serie.

— Autistic

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120 || (120 + 120) Wenn zwei 120 parallel 60 ergeben, soll einer der Zweige etwas höher sein, also ... ist das der nächste Versuch.

Und die Methode ist im Allgemeinen richtig , um einen 2/3-wertigen Widerstand mit nur einem Behälter der gleichen Art zu erhalten. Um solche Probleme zu lösen, sollten Sie im Allgemeinen bedenken, dass der äquivalente Widerstand zweier paralleler Widerstände geringer ist als der der beiden Zweige. Sie können auch 3/4 (also 90) erhalten, indem Sie beispielsweise einem Zweig einen weiteren hinzufügen.

NB: Dank der Arbeit von Massimo Ortolano weiß ich jetzt, dass ich, der Intuition folgend, oben im Grunde genommen den Suchpfad befolgt habe, der unten im Stern-Brocot-Baum angegeben ist :

— Fizz
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Wow, danke dafür! Es wäre sehr nützlich, wenn sie diese einfache Methode in der Klasse unterrichten würden.

— Marius Schär

10

Der Punkt der Erziehung ist oft, Entdeckung auszulösen , nicht einfach Dinge zu erzählen.

— Chris Stratton

3

Also codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

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Eine direkte Lösung kann durch Aufbringen von fortgesetzten Fraktionen gefunden werden .

Wenn das, was Sie haben, 120Ω ist und das, was Sie wollen, 80Ω ist, schreiben Sie den Bruch:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Da der ganzzahlige Teil Null ist, werden Sie zunächst Widerstände parallel schalten. Invertieren Sie den Bruchteil:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Dies sagt Ihnen, dass Sie 1 Widerstand parallel zu einer bestimmten Anzahl von Widerständen in Serie haben. Kehren Sie den Bruchteil erneut um:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Dies sagt Ihnen, dass Sie 2 Widerstände in Reihe benötigen. Da es an dieser Stelle keinen Bruchteil gibt, sind Sie fertig.

Die Antwort sind insgesamt 3 Widerstände.

— Dave Tweed
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15

Widerstandskombinationen durch fortgesetzte Brüche .... ordentlich.

— Jasen

1

Glauben Sie, dass dieser Algorithmus im Allgemeinen die Mindestlösung [in Anzahl der Widerstände] liefert ? Es sieht so aus, als gäbe es ein aktuelles Papier zu diesem Thema, aber es scheint eine bildungsorientierte Rezension zu sein. Ich kann keine Erwähnung der Minimalität sehen.

— Fizz

2

Auch math.stackexchange.com/questions/14645/… Beachten Sie, dass die akzeptierte Antwort tatsächlich falsch ist!

— Fizz

6

@RespawnedFluff: Nein, im Allgemeinen gibt es keine Mindestlösung. Die Verwendung der kontinuierlichen Fraktionserweiterung ergibt eine Lösung, die nur aus Parallel- und Reihenkombinationen besteht. Im Allgemeinen können jedoch Lösungen mit weniger Widerständen gefunden werden, indem auch brückengeschaltete Widerstände berücksichtigt werden. Es kann gezeigt werden, dass für planare Netzwerke das Problem dem der Füllung von Rechtecken mit ganzzahligen Quadraten entspricht . Berücksichtigt man dann auch nichtplanare Netzwerke, so lassen sich wahrscheinlich Lösungen mit noch weniger Elementen finden.

— Massimo Ortolano

3

Für die [bessere] Keyword-Suche basiert die von Dave angegebene Lösung auf der Stern-Brocot-Baum- Approximation einer reellen Zahl. Das habe ich übrigens in der Zeitung von Massimo Ortolano herausgefunden, die auch auf arxiv frei erhältlich ist .

— Fizz

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Sie können Ihre Lösung ändern, indem Sie seriell und parallel tauschen:

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schaltplan erstellt mit CircuitLab}

Sie können dann R2, R3, R5 und R6 zu einer einzigen 2x2-Gruppe zusammenfassen:

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung}

Und diese 4 Widerstände ergeben einen einzelnen Widerstand: $120\Omega$ $120\Omega$

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung}

— Ratschenfreak
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1

Dies ist dasselbe wie das, was user92407 3 Stunden Eariler sagte, allerdings mit einem Diagramm.

— Dave Tweed

1

Trotzdem finde ich den Zusatz nützlich; Tatsächlich wird das von Massimo Ortolano angegebene äquivalente geometrische Kachelproblem verwendet . Die vier Widerstände, die ersetzt werden können, bilden ein [größeres] Quadrat.

— Fizz

7

Nehmen Sie Ihre Lösung, aber ohne einen zentralen Punkt in der Mitte: Sie können dies als drei parallele Abschnitte von jeweils 120 + 120 Ohm neu anordnen (das Verbinden der mittleren Punkte macht keinen Unterschied, da sie alle die gleiche Spannung haben). Jetzt werden zwei der drei parallelen 120 + 120-Ohm-Abschnitte wieder zu 120 Ohm kombiniert, sodass Sie diese 4 Widerstände aus den beiden parallelen Gruppierungen durch einen einzigen ersetzen können und nur noch einen 120-Ohm-Widerstand parallel zu 120 + 120 Ohm übrig lassen.

Es gibt eine Fülle von Lösungen, die die Richtigkeit dieser Lösung bestätigen, sobald Sie sie haben. Aber diese Neuordnung zeigt, wie man es findet, ohne auf mathematische Versuche und Irrtümer zurückzugreifen.

— user92407
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1

Eigentlich geht es um Versuch und Irrtum [im Allgemeinen]. Es gibt keine bekannte Lösung für das Problem, ein Rechteck mit ganzzahligen Quadraten minimal zu kacheln , ohne dass eine umfassende Suche erforderlich ist. Es gibt zwar einige Heuristiken, die den Lösungsbaum beschneiden, aber keine minimale Lösung garantieren.

— Fizz

4

Um die Antwort von @ RespawnedFluff zu erläutern, kann man folgendermaßen denken:

Welche Widerstände habe ich, ok 120.
Was muss ich machen, 80
Welche Gleichungen kennen wir? Nun, die zwei Widerstände in Reihe oder parallel sind die einfachsten Ausgangspunkte. Offensichtlich hilft Serien nicht sofort - das würde den Widerstand erhöhen, nicht verringern. Also müssen wir es parallel versuchen. Wir kennen die Gleichungen:

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Also fangen wir vielleicht damit an:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

Finden Sie also eine passende Kombination? Nun, beginnen Sie mit und sehen Sie dann, welcher Wert muss. Können Sie diesen Wert leicht machen? In diesem Fall ja, so toll. $R_1=120$ $R_2$
Wenn Sie für andere Werte keinen Wert sofort erhalten können, müssen Sie möglicherweise den gleichen Ansatz wie oben verwenden, um den Wert für . Wenn dies nicht funktioniert, können Sie auch versuchen, - möglicherweise zwei in Reihe oder parallel - zu ändern und es dann für erneut zu versuchen . $R_2$ $R_1$ $R_2$

Dieser Ansatz ist ziemlich iterativ, aber in diesem Fall hätte er schnell sowohl die Antwort gefunden, die Sie erhalten haben (unter Verwendung von 6 Widerständen), als auch die Antwort @RespawnedFluff (unter Verwendung von 3 Widerständen).

Wenn Sie versuchen, den Widerstand zu erhöhen (dh der erforderliche Widerstand ist größer als Ihr verfügbarer Wert), tun Sie im Grunde das Gleiche, beginnen jedoch mit einem größeren verfügbaren Widerstand, oder teilen Sie den größeren Widerstand in Serienblöcke auf und lösen Sie ihn auf ( Beispiel: Wenn Sie , können Sie einen Teil aus und auswählen . $180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

Sie mögen sich fragen, wie die Methode zu Ihrer Antwort gekommen wäre - vorausgesetzt, Ihre hat drei parallele Zweige, während dieser Ansatz zwei verwendet. Nun, bei der Berechnung von oben würden Sie iterativ einführen, dass ein paralleler Zweig ist, der topologisch derselbe ist, als ob drei Zweige vorhanden wären. $R_2$ $R_2$

— Tom Carpenter
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Korrigierte meine Antwort. Ich hatte meine Erklärung total durcheinander gebracht.

— Tom Carpenter

Wenn ein Widerstandszweig fest ist, ist dies leicht zu lösen (oder festzustellen, dass es keine [Ganzzahl] -Lösung gibt). Ich bin mir immer noch nicht sicher, wie ich es lösen soll, auch mit zwei Zweigen, egal im Allgemeinen. Es ist eine kompliziertere diophantische Gleichung.

— Fizz

Das Problem ist wahrscheinlich NP-vollständig, soweit die Aufzählung reicht: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Grundwiderstand in Reihe und Widerstand in paralleler Logik. Sehr einfach..

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

$R1 = 120\Omega$

Lösen ... Sie erhalten . $R2 = 240\Omega$

Wir können hier jedoch keinen 240Ω-Widerstand verwenden, da wir nur 120Ω-Widerstände haben. Anstelle von 240 Ω werden also 120 Ω + 120 Ω (in Reihe) parallel zu einem einzelnen 120 Ω-Widerstand verwendet.

— Rohit Dani
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Dies ist das gleiche, was Tom Carpenter vor 11 Stunden gesagt hat. Versuchen wir, Doppelantworten zu vermeiden.

— Dave Tweed