Eigenkapazität eines isolierten Objekts

Ein paar Mal wurde ich daran erinnert, dass ein Objekt eine Eigenkapazität haben kann und es registriert mich einfach nicht, wie das sein kann. Ich bin sicher, es gibt eine gute Erklärung. Hier ist die Erklärung, die mir normalerweise gegeben wird, aber ich verstehe immer noch nicht, dass Kapazität existieren kann, wenn es nur eine "Elektrode" gibt: -

Dies impliziert, dass sich die Formel reduziert, wenn die äußere Kugel massiv von der inneren Kugel entfernt wäre:

Kapazität = weil$4\pi\epsilon_0\times a$$\dfrac{1}{b} = 0$

Dies wird als Argument verwendet, dass das mittlere Objekt eine Eigenkapazität hat

Sehen Sie dies als den folgenden Beweis. Vielleicht bin ich dumm?

BEARBEITEN, um eine direkt verwandte Frage zu stellen: -

Ich habe richtig berechnet, dass eine Kugel mit einem Radius von 1 mm eine sogenannte "Eigenkapazität" von 0,111 pF besitzt. Wenn zwei solcher Kugeln existieren und eine Million Meilen voneinander entfernt (in einem leeren Universum) platziert würden, würde die Kapazität zwischen ihnen ungefähr 0,0555 pF betragen, dh die Hälfte von 0,111 pF? Diese "Vermutung" basiert auf der Kapazität einer 1-mm-Kugel zu einer unendlichen Kugel von 0,111 pF und von der unendlichen Kugel zur anderen Kugel zu weiteren 0,111 pF.

Daher wird bei 2 Kondensatoren in Reihe mit demselben Wert die Nettokapazität halbiert. Ich kann nicht glauben, dass dies wahr ist, aber ich bin mir nicht sicher.

Um meinen Kommentar zu erweitern, ist dieser Begriff der Eigenkapazität ein theoretischer, ähnlich wie beispielsweise ein idealer Operationsverstärker; Letzteres hat eine unendliche Verstärkung. Hier haben Sie einen Kondensator mit unendlichem Abstand zwischen den Platten und der 2. Referenzelektrode / Kugel hat ebenfalls eine unendliche Fläche. Wenn man auf solche Idealisierungen stößt, die auf Gedankenexperimenten beruhen, stellt sich nicht die Frage, ob sie existieren können, sondern warum dies ein nützlicher Begriff ist.

Grundsätzlich ist dieser Begriff als Annäherung erster Ordnung an Probleme nützlich, bei denen der Abstand endlich, aber groß ist. Zum Beispiel ,

"Gleichung 5.4" schätzt dort einfach die gegenseitige Kapazität von zwei [identischen] Leitern in großer Entfernung als die Hälfte der Eigenkapazität.

In ähnlicher Weise ist eine Annäherung erster Ordnung an die Kapazität gegen Erde (die eine gegenseitige Kapazität ist) eines Leiters (der in einem signifikanten Abstand von Masse angeordnet ist) die Eigenkapazität des Leiters. Der Boden hier hat ungefähr eine unendliche Fläche.

Erwähnenswert ist hier auch, dass sich die gegenseitige Kapazität zweier Elektroden mit endlicher Fläche von ihrer Eigenkapazität unterscheidet, selbst bei einem unendlichen Abstand zwischen ihnen.

Wie Sie wahrscheinlich bereits festgestellt haben, wird "Eigenkapazität" auch verwendet (z. B. in Transformator-Kontexten ), um auf die gegenseitige parasitäre Kapazität der Wicklung Bezug zu nehmen . Diese beiden sind ziemlich unterschiedliche Begriffe. Ich glaube nicht, dass der erstere Begriff der Eigenkapazität viel dazu beiträgt, den letzteren in einem Transformator abzuschätzen.

Eigentlich kann ich den letzten Teil auch hier beweisen. Aus Zangwill, Modern Electrodynamics (S. 140), ist die Kapazität eines Zweileiterkondensators gegeben durch

Wobei die Kapazitätskoeffizienten sind ; Im Allgemeinen ist dies eine symmetrische Matrix. Wenn also und dann ist , dh die Kapazität der beiden Kugeln [in großer Entfernung] ist die Hälfte der Eigenkapazität von a Kugel.$C_{ij}$$C_{11} = C_{22}$$C_{12} = 0$$C=C_{11}/2$

Von Banerjee aus können Sie sehen, dass Folgendes passiert, wenn die Entfernung groß wird:

Die dort aufgetragenen dimensionslosen Kapazitätskoeffizienten sind einfach:

was genau das bedeutet, was ich oben in Bezug auf die nicht dimensionslosen geschrieben habe.

Man muss bedenken, dass das gesamte Gebiet der Elektronik eine Abstraktion der zugrunde liegenden Physik geladener Teilchen ist, die sich gegenseitig anziehen und abstoßen.

Schauen wir uns einen isolierten Ball aus dieser Perspektive an.

Beginnen Sie mit einem neutral geladenen Ball. Es gibt gleich viele positiv und negativ geladene Teilchen auf der Kugel. Sie gleichen sich aus.

Wenn wir Strom in die Kugel fließen lassen wollen, müssen wir geladene Teilchen darauf drücken. Dies erfordert Arbeit, da sich diese geladenen, gleich geladenen Teilchen gegenseitig abstoßen. Je mehr geladene Teilchen wir auf die Kugel drücken, desto schwieriger wird es, mehr zu drücken, da die neuen mehr Kraft abwehren. Je mehr wir dem Ball hinzufügen, desto mehr Kraft wird benötigt, um noch mehr Ladung hinzuzufügen.

Wenn wir den Ball größer machen, können sich die geladenen Teilchen mehr ausbreiten. Daher ist für eine gegebene Anzahl geladener Teilchen, die auf dem Ball gespeichert sind, die Kraft, die erforderlich ist, um eine gegebene zusätzliche Ladungsmenge hinzuzufügen, für einen großen Ball geringer als für einen kleinen Ball.

Die Kraft, über die wir hier sprechen, ist die Spannung, und die Größe der Kugel ist ihre Kapazität.

So gesehen macht es hoffentlich Sinn, warum ein isoliertes Objekt Kapazität haben kann.

Ein Standard-Elektronikkondensator besteht eigentlich nur aus zwei Kugeln (oder wahrscheinlicher Platten), die in einem bestimmten Abstand voneinander angeordnet sind. In der Grenze, in der die beiden Kugeln unendlich weit voneinander entfernt sind, funktioniert die obige Ansicht immer noch einwandfrei. Beachten Sie jedoch, dass die doppelte Kraft erforderlich ist, um ein geladenes Teilchen von einer Platte zur anderen zu bewegen, da Sie nicht nur überwinden müssen Durch die Abstoßung des Balls, den Sie hinzufügen, müssen Sie auch die Anziehungskraft des Balls überwinden, den Sie nehmen. Wenn Sie die Bälle näher zusammenrücken, beginnen sie zu interagieren und erleichtern das Bewegen der Ladungen, da sich die Ungleichgewichte aufheben. Je näher die Bälle kommen, desto weniger Kraft wird benötigt, um eine Ladung von einer zur anderen zu bewegen (oder desto mehr Ladung können Sie mit einer bestimmten Kraft bewegen). Wenn sich die Platten eines Kondensators nähern,

Die ganze Mathematik funktioniert perfekt und ergibt sich mit Hilfe von Geometrie und Kalkül direkt aus dem Coulombschen Gesetz .

Ich kann dieses Buch nur empfehlen ...

Materie und Wechselwirkungen, Band II: Elektrische und magnetische Wechselwirkungen

(gutes Papier, das hier einen Vorgeschmack auf diesen Ansatz gibt )

Es hat die Art und Weise, wie ich Kabel, Batterien, Kondensatoren und Widerstände sehe, völlig verändert und so viele ansonsten verwirrende Dinge endlich sinnvoll gemacht. Es sind alles nur geladene Teilchen, die sich gegenseitig anziehen und abstoßen.

Wenn Sie bereit sind, unter die Decke von Induktoren und Antennen zu schauen, um zu sehen, dass es sich auch nur um geladene Teilchen handelt, die sich gegenseitig anziehen und abstoßen (wenn auch in relativistischen Rahmen), dann würde ich dieses Buch wärmstens empfehlen ...

Berkeley-Physikkurs: Elektrizität und Magnetismus v. 2

(ältere Ausgabe ist gemeinfrei und hier kostenlos )

... was meine Sicht auf die Welt erneut grundlegend verändert hat.

Die Eigenkapazität ist sehr real. Mein Lieblingsbeispiel dafür ist die Kapazität Ihres Körpers. Sie sollten sich also die andere Elektrode als Masse vorstellen. Was hier auf der Erde nie sehr weit weg ist. Wenn es jedoch weiter entfernt ist als die Größe des Objekts, ist die von Ihnen angegebene Kapazitätsformel eine anständige Annäherung. (Nun, ich bin Physiker und habe kein Problem damit, den Körper als Kugel zu behandeln: ^) Versuchen Sie dies also, um Ihre Selbstkapazität zu messen.

Holen Sie Ihre x10 (10 Meg) Zielfernrohrsonde heraus, laden Sie Ihren Körper auf, indem Sie etwas Stoff reiben. Mein Stuhl funktioniert einwandfrei. Berühren Sie nun mit dem für Einzelschuss eingestellten Zielfernrohr das Ende der Sonde und sehen Sie sich den Zerfall an. Bestimmen Sie aus der Zeitkonstante Ihre Kapazität. (Ich bin ungefähr 200 pF, ich wachse ein bisschen wie ein Bierbauch)

Ich werde diesen Teil der Frage beantworten:

Ich habe richtig berechnet, dass eine Kugel mit einem Radius von 1 mm eine sogenannte "Eigenkapazität" von 0,111 pF besitzt. Wenn zwei solcher Kugeln existieren und eine Million Meilen voneinander entfernt (in einem leeren Universum) platziert würden, würde die Kapazität zwischen ihnen ungefähr 0,0555 pF betragen, dh die Hälfte von 0,111 pF?

Wie Sie wissen, ist C = Q / V, dh C ist die Anzahl der Coulomb, die den Kondensator pro Volt (oder eine gegebene "Anstrengung") aufnehmen.

Stellen Sie sich zunächst vor, Sie haben ein Netzteil, das die kleine Kugel in einem seiner Anschlüsse und die große Kugel (unendliche Kugel) im anderen Anschluss hat. Die beiden Kugeln sind durch einen großen Abstand voneinander getrennt und daher kann der Einfluss des elektrischen Feldes zwischen ihnen vernachlässigt werden. Während sich dieser Kondensator auflädt, erhöht sich der notwendige Aufwand zum Einbringen von Ladungen in die kleine Kugel (da die bereits in die kleine Kugel eingebrachten Ladungen die neuen abstoßen). Im Gegensatz dazu ist es fast kostenlos, Ladungen vom riesigen Ball zu erhalten (man könnte an die Ladungsdichte denken). Daher hängt die Kapazität dieses Kondensators nur von der kleinen Kugel ab. Wenn sich der kleine Ball dem großen Ball nähert, kann der elektrische Einfluss zwischen ihnen nicht mehr vernachlässigt werden. Und die Kapazität dieses neuen Kondensators wird größer sein als die von Cself.

Für die beiden kleinen Kugeln gilt das gleiche Argument. Wenn sie unendlich getrennt sind, muss die Stromversorgung einen Versuch unternehmen, einen der Bälle aufzuladen, aber auch einen Aufwand, um Ladungen von dem anderen kleinen Ball zu erhalten. Am Ende ist für eine gegebene Anstrengung oder Spannung die Anzahl der Coulomb die Hälfte, daher ist C = Cself / 2. Wenn sich die beiden kleinen Kugeln näher kommen, kann der elektrische Einfluss zwischen ihnen nicht mehr vernachlässigt werden, und die Kapazität ist größer als Cself / 2, was die Untergrenze darstellt.