Angenommen, ich habe einen 1-kHz-Sinus, also keine höheren Harmonischen, dann muss ich ihn mindestens bei 2 kHz abtasten, um ihn rekonstruieren zu können.
Wenn ich aber mit 2 kHz abtaste, aber alle meine Abtastwerte auf dem Nulldurchgang liegen, zeigt mein abgetastetes Signal überhaupt keinen Sinus, sondern das EKG eines verstorbenen Patienten. Wie ist das zu erklären?

Dies kann auch auf höhere Abtastfrequenzen erweitert werden. Wenn ich eine komplexere Wellenform mit 10 kHz abtaste, sollte ich mindestens die ersten 5 Harmonischen erhalten, aber wenn die Wellenform so ist, dass die Abtastwerte jedes Mal Null sind, erhalten wir wiederum nichts. Dies ist nicht weit hergeholt, es ist durchaus möglich für eine Rechteckwelle mit einem Tastverhältnis <10%.

Warum scheint das Nyquist-Shannon-Kriterium hier ungültig zu sein?

Sie benötigen tatsächlich etwas mehr als 2 kHz Abtastrate, um 1 kHz Sinuswellen richtig abzutasten. Es ist nicht f N ≤ f S /

PS Wenn Sie Ihr Signal in einen komplexen Raum mit einer Sinusform von wobei t Zeit ist, A Amplitude ist, f Frequenz ist und θ Phasenversatz ist, f

Nicht-Sinusoiden

Für den Fall einer Rechteckwelle bei 1 kHz mit einem Tastverhältnis von 10% oder weniger, die bei 10 kHz abgetastet wird, wird der Eingang falsch verstanden.

Zuerst müssten Sie Ihre Wellenform in eine Fourier-Reihe zerlegen, um herauszufinden, wie hoch die Amplituden der Oberschwingungen der Komponenten sind. Sie werden wahrscheinlich überrascht sein, dass die Oberwellen für dieses Signal nach 5 kHz ziemlich groß sind! (Die Faustregel, dass die dritte Harmonische 1/3 so stark ist wie die Grundwelle und die fünfte 1/5 der Grundwelle, gilt nur für Rechteckwellen mit einem Tastverhältnis von 50% .)

Als Faustregel für ein Kommunikationssignal gilt, dass Ihre komplexe Bandbreite der Umkehrung der Zeit Ihres kleinsten Impulses entspricht. In diesem Fall wird also ein Bandbreitenminimum von 10 kHz (-5 kHz bis 5 kHz) für angestrebt ein Tastverhältnis von 10% mit der Grundschwingung bei 1 kHz (dh 10 kbps).

Was Sie also ruinieren wird, ist, dass diese starken Oberschwingungen höherer Ordnung sich überlagern und (konstruktiv oder destruktiv) Ihre In-Band-Oberschwingungen stören. Daher ist zu erwarten, dass Sie möglicherweise keine gute Abtastung erhalten, da sich so viele Informationen außerhalb des Nyquist befinden Band.

$F_S + f$$F_S - f$
$F_S / 2$

$-F_S / 2$$F_S / 2$
$F_S$

$F_S / 2$

$F_S$$F_S / 2$

Theorem ist in Ordnung. Ihr Signal sollte KEINE Frequenzen enthalten, die gleich oder höher als die Hälfte der Abtastrate gemäß Nyquist sind. Shannon lässt es wahrscheinlich zu, aber es ist seine Version des Satzes, die wahrscheinlich bei kritischer Frequenz zu Mehrdeutigkeiten führt.

Bearbeiten (Re: Downvoting für kurze Antwort?): Ich sehe keine Notwendigkeit, die Stichprobenmethode selbst zu erklären. Die Frage ist, ob Verwirrung vorliegt, "ob kritische Frequenz im Band enthalten ist oder nicht", und ob der Satz von Shannon einen Fehler enthält. Das tut es tatsächlich (wie ich es im Welt-Wiki sehe). Oder höchstwahrscheinlich haben die Wiki-Autoren sein Wort ungenau zitiert. Übrigens gibt es im 20. Jahrhundert 4 unabhängige Autoren dieses Satzes, so dass die Verwirrung darüber, wer die Idee aus zufälligen Quellen lernt, noch schlimmer werden kann.

$N Hz$$\frac{1}{2}N$$1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$$t$

Aber laut Wikipedia:

Im Wesentlichen zeigt der Satz, dass ein bandbegrenztes analoges Signal, das abgetastet wurde, perfekt aus einer unendlichen Folge von Abtastwerten rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastrate 2B Abtastwerte pro Sekunde überschreitet, wobei B die höchste Frequenz im ursprünglichen Signal ist.

Eine Abtastfrequenz von der doppelten Frequenz ist also falsch - sie sollte etwas über der doppelten Frequenz liegen. Auf diese Weise erfassen aufeinanderfolgende Samples leicht unterschiedliche Teile der Wellenform.

Wenn mit einer bestimmten Rate F abgetastet wird, erzeugt jede Frequenzkomponente f Aliase der Form kF + f und kF - f für alle ganzzahligen Werte von k. Im allgemeinen Gebrauch gibt es keine Frequenzkomponenten oberhalb von F / 2, wenn das Signal abgetastet wird, so dass die einzigen Komponenten im Bereich von 0 bis F / 2 diejenigen sind, die im ursprünglichen Signal vorhanden waren. Nach der Abtastung werden Signalkomponenten oberhalb von F / 2 (als Aliase der folgenden generiert) angezeigt. Die störendste davon für irgendeine Frequenz f im ursprünglichen Signal ist die mit der Frequenz F- f .

Beachten Sie, dass als Frequenz fNähert sich F / 2 von unten, nähert sich die erste Alias-Frequenz F / 2 von oben. Wenn der Eingang ein Signal mit der Frequenz F / 2-0,01Hz enthält, liegt ein Alias ​​mit der Frequenz F / 2 + 0,01Hz - nur 0,02Hz darüber. Die Trennung von Original- und Alias-Signalen ist theoretisch möglich, in der Praxis jedoch schwierig. Die abgetastete Wellenform wird als Summe von zwei Wellen gleicher Stärke mit nahezu gleicher Frequenz angezeigt. Als solches scheint sich seine Amplitude mit der relativen Phase der höherfrequenten Wellen zu ändern. In dem Fall, in dem die Eingangsfrequenz genau F / 2 ist, ist die Aliasfrequenz auch genau F / 2. Da es überhaupt keine Frequenztrennung zwischen dem Original und dem Alias ​​gibt, ist eine Trennung unmöglich. Die Phasenbeziehung zwischen dem Original- und dem Alias-Signal bestimmt die Amplitude des resultierenden Signals.