Pole und Bode Plots

Ich habe drei Fragen, die mich schon lange beschäftigen:

1. Wir sagen, dass in einem Bode-Diagramm die Verstärkung um 20 dB pro Jahrzehnt abnimmt, wenn ein Pol angetroffen wird. Aber sind Pole nicht definiert als die Werte von $s$ , die die Übertragungsfunktion unendlich machen? Warum steigt der Gewinn an diesem Punkt nicht, anstatt zu sinken?

2. Was passiert physikalisch, wenn wir ein System mit einer Polfrequenz speisen?

3. Betrachten Sie auch eine Übertragungsfunktion $1/(s+2)$ . Das System hat einen Pol bei $s=(-2+j0)$ . Das heißt, für die Pole, $\sigma=-2$ und $\omega=0$ . Aber wenn wir ein sinusförmiges Signal an seinen Eingang legen und den Bode-Plot zeichnen, warum sagen wir dann, dass es einen Pol mit 2 rad / s gibt (obwohl für den Pol $\omega=0$ und $\sigma =-2$ )?

Das Bode-Diagramm ist kein Diagramm, in dem die Übertragungsfunktion ( ) gegen s aufgetragen ist . H ( s ) ist eine komplexe Funktion und ihr Magnitudenplot repräsentiert tatsächlich eine Oberfläche im kartesischen Koordinatensystem. Und diese Oberfläche hat an jedem Pol Spitzen bis ins Unendliche, wie in Abbildung gezeigt:$H(s)$$s$$H(s)$

Bode - Diagramm wird durch erste substituierende erhalten in H ( s ) und dann in polarer Form darstellen H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) gibt den Bode-Plot der Größe und ϕ ( ω ) den Bode-Plot der Phase an.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Das Bode-Betragsdiagramm ist die asymptotische Approximation des Betrags der Übertragungsfunktion ( ) gegen den Logarithmus der Frequenz im Bogenmaß / s ( log 10 | ω | ) mit | H ( s ) | (ausgedrückt in dB) auf der y-Achse und log 10 | ω | auf der x-Achse.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Zu den Fragen kommen:

1. An Polen ist die komplexe Oberfläche von Spitzen bis ins Unendliche nicht | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Wenn ein System mit der Polfrequenz gespeist wird, hat der Cosponsoring-Ausgang dieselbe Frequenz, aber Amplitude und Phase ändern sich. Der Wert kann durch Ersetzen der Frequenz in Radianten / Sek. In und ϕ ( ω ) .$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Ein Pol mit -2 rad / sec und 2 rad / sec hat den gleichen Effekt auf . Und unser Interesse gilt dem Frequenzgang. Wir brauchen also nur einen positiven Teil davon.$|H(\omega)|$

Beim Versuch, die Übertragungsfunktionen zu verstehen, halte ich die "Gummiplatten-Analogie" für sehr nützlich. Stellen Sie sich eine elastische Gummiplatte vor, die die komplexe Ebene bedeckt, und stellen Sie sich vor, dass die Platte bei jeder Nullstelle der Übertragungsfunktion am Boden angeheftet ist und an jeder Stange eine buchstäblich dünne Stange die Gummiplatte nach oben drückt. Der Betrag des Frequenzganges ist die Höhe des Gummiblattes entlang der j & ohgr; -Achse.$s$$j\omega$

1. Aus der obigen Analogie geht die Verstärkung natürlich in Richtung Pole. Wenn Sie sich jedoch vom Pol entfernen, wird die Übertragungsfunktion durch den Beitrag des Pols herabgesetzt (z. B. in Richtung der nächsten Null). Stellen Sie sich das einfache System vor, das Sie in Ihrer dritten Frage als Beispiel angegeben haben. Es hat einen reellen Pol bei und - aufgrund dieses Pols - auch eine Null bei s 0 = ∞ . Wenn Sie sich also mit zunehmender Häufigkeit vom Mast entfernen, sinkt die Übertragungsfunktion, da die Gummiplatte im Unendlichen am Boden haftet. Mathematisch ist dies auch leicht zu erkennen: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ In Dezibel erhalten wir 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ Fürω≫2 kannder zweite Term auf der rechten Seite von (1) durch-10log10(ωapproximiert werden $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ was eine gerade Linie mit einer Steigung von- $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ pro Jahrzehnt.$-20\,\text{dB}$

2. Wenn Sie ein System mit einem Signal erregen, das einem seiner Pole entspricht, wird dieses Eingangssignal im Vergleich zu Eingangssignalen mit anderen Frequenzen "verstärkt". Beachten Sie jedoch, dass für ein stabiles System das Ausgangssignal immer abfällt. ZB wenn Sie das System mit Übertragungsfunktion anregen$H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$$y(t)=te^{-2t}$, wo der Faktor $t$entspricht der "Verstärkung" des Eingangssignals durch das System. Der Exponentialfaktor bewirkt jedoch eine Annäherung des Signals$0$ für große Werte von $t$.

3. Kurz gesagt, wir sagen nicht, dass es eine Stange gibt $2$rad / s, weil es nicht gibt. In der Tat wird die Grenzfrequenz durch den Realteil des Pols bestimmt, dh der Startpunkt der Linie mit negativer Steigung im Bode-Plot wird durch den Wert bestimmt$2$. Dies ist das Beispiel, das ich in Punkt 1 oben gegeben habe, wo die Näherung der geraden Linie mit$-20$ dB pro Jahrzehnt gilt für $\omega\gg 2$. Der Wert$2$ wird nicht durch die Polfrequenz (die Null ist) bestimmt, sondern durch den Realteil des Pols.

Die Grafik zeigt den Unterschied zwischen der Eigenfrequenz im Komplex $s$-Ebene (unendlich) und die entsprechende Größenspitze entlang der $j\omega$ Achse, die während der Messung beobachtet werden kann: Der Graph gehört zu einer Eigenfrequenz von $\omega_p=1000$ rad / s und ein Polqualitätsfaktor $Q_p=1.3$(Dies ist ein Maß für das beobachtbare Gain-Peaking). Dieses Diagramm zeigt eine Chebyshev-Charakteristik 2. Ordnung mit einer Welligkeit von 3 dB im Durchlassbereich.

Das "s" in Ihren Gleichungen ist die Konstante in der Funktion exp (s * t). Wenn also s eine reelle Zahl ist, ist diese Zeitfunktion eine exponentiell wachsende oder fallende Funktion. Ihr Beispiel mit s = -2 ist eine exponentiell fallende Funktion. Für jede Polzahl wird der Ausgang größer, wenn Sie einen Eingang an dieser Zahl anlegen. Wenn Sie ein exponentiell abfallendes Signal an Ihre Beispielschaltung anlegen, wird das Ausgangssignal auf unendlich gesetzt. (Beachten Sie jedoch, dass es nicht möglich ist, ein Signal zu erzeugen, das immer exponentiell abfällt, da ein solches Signal in der Vergangenheit manchmal sehr groß ist.) Wenn Sie von Frequenzen wie 2 Radianten pro Sekunde sprechen, sprechen Sie von Polen bei j * 2 und nicht von 2, sodass diese Signale sinusförmig sind. Es ist möglich, Signale zu erzeugen, die Sinuswellen sind (zumindest für eine ziemlich lange Zeit).