Negative Frequenzen: Was ist das?

Ich weiß, dass wenn die Frequenz 0 ist, die Spannung reiner Gleichstrom ist. Bei DSP und digitaler Kommunikation habe ich jedoch negative Frequenzen erwähnt, die ich nicht ganz verstehe. Zum Beispiel wie bis f 0 Frequenzbereich. Wie kann die Frequenz negativ werden?$-f_{0}$$f_{0}$

Die Ableitung von

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

ist alles sehr nett und so (danke, Mark), aber es ist nicht sehr intuitiv.
Ein Sinus kann in der komplexen Ebene als rotierender Vektor dargestellt werden:

Sie können sehen, wie der Vektor aus einem Realteil und einem Imaginärteil besteht. Aber was Sie sehen, wenn Sie das Signal auf Ihrem Oszilloskop beobachten, ist ein echtes Signal. Wie können Sie also den Imaginärteil entfernen, sodass der Vektor auf der x-Achse bleibt und zunimmt und abnimmt? Die Lösung besteht darin, ein Spiegelbild des rotierenden Vektors im Uhrzeigersinn statt gegen den Uhrzeigersinn hinzuzufügen.

Die Imaginärteile haben dieselbe Größe, aber entgegengesetzte Vorzeichen. Wenn Sie also beide Vektoren hinzufügen, heben sich die Imaginärteile gegenseitig auf und hinterlassen ein rein reales Signal.
Wenn Drehung gegen den Uhrzeigersinn für positive Frequenz steht, muss Drehung im Uhrzeigersinn für negative Frequenz stehen.

Es kann nicht in der Realität.

Eine vollständige Antwort würde ein ganzes Lehrbuch in Anspruch nehmen, aber die grundlegende Antwort lautet:

$e^{j\omega t}$

Dies führt zu Eulers Formel:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

Was zu seiner Umkehrung führt:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

Dies bedeutet, dass sowohl positive als auch negative Frequenzen vorhanden sind, die in der Diskussion um die Signalverarbeitung auftauchen.

Wie ich es sehe:

Dies ist eine komplexe Sinusform ($e^{i\omega t}$):

Es kann auch weniger intuitiv gezeichnet werden (linke Seite) und hat ein einseitiges Spektrum wie das folgende (rechte Seite):

Negative Frequenz bedeutet nur, dass sich die Helix in die entgegengesetzte Richtung dreht, und das Spektrum ist stattdessen eine Delta-Funktion auf der negativen Seite der Frequenzachse.

Wenn Sie eine komplexe Sinuskurve positiver Frequenz mit einer der gleichen, aber negativen Frequenzen hinzufügen, heben sich die gegenläufigen Imaginärteile auf und es wird eine echte Sinuswelle erzeugt.

In diesem Fall ist es sinnlos, von einer Sinuswelle mit negativer Frequenz zu sprechen, da eine Sinuswelle sowohl positive als auch negative Frequenzen enthält.

(Ich möchte dies wirklich besser veranschaulichen, anstatt diese alten minderwertigen zu kopieren, aber ich habe es versucht und es ist nicht einfach. Ich denke, das 3D-Diagramm der obigen Spektren ist tatsächlich falsch. Das Delta Funktionen sollten parallel zur reellen / imaginären Ebene und senkrecht zur Frequenzachse sein.)