Warum wird Sinus anderen Wellenformen vorgezogen?

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Warum entschieden sich Wissenschaftler für eine Sinuswelle, um Wechselstrom und nicht andere Wellenformen wie Dreieck und Quadrat darzustellen?

Welchen Vorteil bietet Sinus gegenüber anderen Wellenformen bei der Darstellung von Strom und Spannung?

ac sine

— Rookie91
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Niemand "wählte" diese Wellenformen, was natürlich in Generatoren vorkommt.

— PlasmaHH

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Ich schlage vor, Sie schauen sich an, wie diese Dinge funktionieren: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator, und wenn Sie eine konstruieren können, die mir eine Dreieck- oder Rechteckwelle gibt, hätte ich gerne eine.

— PlasmaHH

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Fourier hat herausgefunden, dass jedes Signal / jede Wellenform als eine Anzahl von überlagerten Sinuskurven beschrieben werden kann.

— HKOB

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@PlasmaHH Es ist möglich, Generatoren für andere Wellenformen als Sinus zu erstellen. Schauen Sie sich nur die hintere EMK einer BLDC an, die trapezförmig ist (im Normalfall). Aber ja, ohne zusätzlichen Aufwand ist eine Sinuswelle genau das, was Sie leicht bekommen.

— Roland Mieslinger

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@Plutoniumsmuggler Genau das habe ich gesagt! Sie haben behauptet, dass jede Funktion als Fourier-Reihe dargestellt werden kann; Ich habe dies auf jede periodische Funktion korrigiert. (Und tatsächlich müssen Sie wahrscheinlich noch weiter einschränken, einschließlich eines geeigneten Begriffs der Kontinuität und Differenzierbarkeit.)

— David Richerby

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Kreisbewegung erzeugt auf natürliche Weise eine Sinuswelle:

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Es ist nur eine sehr natürliche und grundlegende Sache und der Versuch, Wellenformen zu erzeugen, die unterschiedlich sind, ist entweder komplizierter oder führt zu unerwünschten Nebenwirkungen.

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Auf- und Abbewegung (in der Natur) erzeugt eine Sinuswelle gegen die Zeit:

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— Andy aka
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Nizza piccys Andy, SHM Regeln. (+1)

— JIm Dearden

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harmonische Schwingung FTW

— Vaxquis

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IIRC Die Federbewegung erfolgt nur ungefähr durch eine Sinuswelle, und die Annäherung ist nur für kleine Auslenkungen gut. Aber der Drehfall ist genau der Grund, warum Wechselstrom sinusförmig ist. + 1`

— Ben Voigt

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Wenn ich darf, möchte ich hinzufügen, dass Sie, da Sinuswellen von grundlegender Bedeutung sind, andere Wellenformen daraus erstellen können. Fourier-Serie und verwandeln, jemand?

— Sergiy Kolodyazhnyy

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Sinuskurven zeichnen sich auch dadurch aus, dass sie sich von anderen Sinuskurven unterscheiden und sich in diese integrieren.

— Roman Starkov

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Kosinus- und Sinuswellen (eigentlich ihre Bestandteile in Form komplexer Exponentiale) sind die Eigenfunktionen linearer, zeitinvarianter Systeme mit einer zeitabhängigen Systemantwort von Wenn Sie ein Netzwerk aus linearen passiven Komponenten (Widerstände, Induktivitäten, Kondensatoren auf diesem StackExchange) aufbauen und mit einem kontinuierlichen Sinussignal versorgen, liefert jeder Punkt im Netzwerk ein kontinuierliches Sinussignal mit möglicherweise unterschiedlicher Phase und Stärke.

\begin{aligned} f (ein (t) + b (t), t_{0}) & = f (ein (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & Linearität \\ f (ein (t + h), t_{0}) & = f (ein (t), t_{0} + h) & Zeitinvarianz \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

Im Allgemeinen bleibt keine andere Wellenform erhalten, da die Reaktion für verschiedene Eingangsfrequenzen unterschiedlich ist. Wenn Sie also eine Eingabe in ihre sinusförmigen Komponenten mit einer eindeutigen Frequenz zerlegen, überprüfen Sie die einzelnen Antworten des Netzwerks auf diese und setzen Sie die resultierenden sinusförmigen Signale wieder zusammen. Das Ergebnis wird im Allgemeinen nicht die gleichen Beziehungen zwischen seinen sinoiden Komponenten aufweisen wie ursprünglich.

Die Fourier-Analyse ist daher sehr wichtig: Passive Netzwerke reagieren direkt auf sinoide Signale. Daher ist die Zerlegung in Sinoide und Back ein wichtiges Werkzeug für die Analyse von Schaltkreisen.

— user66031
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Ist das nicht ein zirkuläres Argument? Wenn Sie die Eingabe in eine andere Art von Komponente zerlegen (z. B. Dreieckwellen), erhalten Sie andere Ergebnisse.

— Random832

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@ Random832 Nein, der Sinuswelleneingang eines passiven RCL-Netzwerks gibt immer einen Sinuswellenausgang aus (gedämpft und abhängig von der Frequenz um einen unterschiedlichen Betrag phasenverschoben) ein direktes Analogon. Dreieckeingabe gibt keine Dreiecksausgabe. Aus der Fourier-Analyse geht hervor, dass eine Dreieckswelle aus den folgenden Amplituden und Frequenzen besteht: a, fa / 3,3f, a / 5,5f usw. Wenn wir das Dreieck in diese Sinuswellen zerlegen und sie getrennt analysieren, können wir sie addieren und sehen, welche Wellenform die Schaltung erzeugen wird.

— Level River St

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@ Random832 Wenn Sie beispielsweise versuchen, die Ein- und Ausgabe eines RCL-Systems mit Dreieckwellen zu analysieren, werden Sie eine nichtlineare Antwort finden. Bei Sinus / Cosinus-Wellen erhalten Sie eine lineare Antwort, das ist wichtig.

— Aron

@Aron: Dies hängt damit zusammen, dass die Addition von zwei Sinuswellen mit derselben Frequenz, aber einer Phase, die sich um einen Betrag von weniger als 180 Grad unterscheidet, eine Sinuswelle mit derselben Frequenz und eine Zwischenphase ergibt. Addiert man jedoch zwei Signale mit unterschiedlicher Phasenanpassung für die meisten anderen Wellentypen, erhält man eine Wellenform, die dem Original nicht ähnlich ist.

— Supercat

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Dinge schwingen nach Sinus und Cosinus. Mechanisch, elektrisch, akustisch, wie Sie es nennen. Hängen Sie eine Masse an eine Feder und sie springt mit ihrer Resonanzfrequenz entsprechend der Sinusfunktion auf und ab. Ein LC-Schaltkreis verhält sich genauso, nur mit Strömen und Spannungen anstelle von Geschwindigkeit und Kraft.

Eine Sinuswelle besteht aus einer einzelnen Frequenzkomponente, und andere Wellenformen können aus der Addition mehrerer unterschiedlicher Sinuswellen gebildet werden. Sie können die Frequenzkomponenten in einem Signal sehen, indem Sie es auf einem Spektrumanalysator betrachten. Da ein Spektrumanalysator einen engen Filter über den betrachteten Frequenzbereich streicht, wird bei jeder Frequenz, die das Signal enthält, ein Peak angezeigt. Bei einer Sinuswelle sehen Sie 1 Spitze. Bei einer Rechteckwelle sehen Sie die Spitzen af, 3f, 5f, 7f usw.

Sinus und Cosinus sind auch die Projektion von sich drehenden Dingen. Nehmen Sie zum Beispiel einen Wechselstromgenerator. Ein Wechselstromgenerator dreht einen Magneten neben einer Drahtspule. Wenn sich der Magnet dreht, ändert sich das Feld, das aufgrund des Magneten auf die Spule auftrifft, entsprechend dem Sinus des Wellenwinkels, wodurch eine Spannung über der Spule erzeugt wird, die ebenfalls proportional zur Sinusfunktion ist.

— alex.forencich
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Vielen Dank @ alex.forencich so Sinus und Cosinus ist in den grundlegenden Aktionen um uns herum richtig.

— Rookie91

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Vielleicht könnten Sie in Ihre Antwort aufnehmen, dass höherfrequente Wellen im Allgemeinen unerwünscht sind , da dies zu kapazitiveren und induktiveren Verlusten sowie zu mehr Rauschen (da mehr höhere Frequenzen vorhanden sind) führt, das beispielsweise von Netzteilen herausgefiltert werden muss in Ihrem HiFi-Setup).

— Sanchises

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Als Anmerkung: Sinus und Cosinus sind so grundlegend, weil sie auf natürliche Weise in Differentialgleichungen vorkommen und viele Facetten des Universums durch Differentialgleichungen (einschließlich E & M, Federn und mehr) gut modelliert werden.

— Cort Ammon - wieder einzusetzen Monica

Zum zweiten Punkt - das Konzept der Frequenzkomponenten (vs. Periodizität) ist wirklich nur dann sinnvoll, wenn Sie mit einem orthogonalen Satz von Wellenformen als Referenz beginnen - ich denke, eine Sinuswelle kann mit verschiedenen Frequenzkomponenten von Dreieckswellen betrachtet werden - Die Sinuswelle ist dort aufgrund der Linearitätseigenschaften besonders, sodass wir ein Signal in Sinus zerlegen und auf ein passives Netzwerk (ein lineares System)

— anwenden können

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Nur weil Sie eine Wellenform in einen Satz einer anderen Wellenform zerlegen können, bedeutet dies nicht, dass diese andere Wellenform in irgendeiner Weise "grundlegender" ist. Es ist sicherlich möglich, Sinuswellen in etwas anderes zu zerlegen. Elektronische Schaltungen verhalten sich jedoch in Bezug auf Schwingungen und Sinuswellen. Wenn Sie einen 100-Hz-Tiefpassfilter bauen und eine 50-Hz-Rechteckwelle einbauen, erhalten Sie auf der anderen Seite eine 50-Hz-Sinuswelle. Keine Rechteck- oder Dreieckwelle. Aus diesem Grund sind Sinuswellen von grundlegender Bedeutung.

— alex.forencich

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In einem mathematischeren und physikalischeren Sinne können Sinus und Cosinus, die Grundlagen von Wellen, ihre Wurzeln im Satz und im Kalkül des Pythagoras haben.

Der Satz von Pythagoras gab uns dieses Juwel mit Sinus und Cosinus:

{s ich n}^{2} (t) + {c O s}^{2} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

Dadurch heben sich Sinus und Cosinus in den Inverse-Square-Gesetzen auf, die in der gesamten Welt der Physik verstreut sind.

Und mit Kalkül haben wir das:

\frac{d}{d x} s ich n x = c O s x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{d}{d x} c O s x = - s ich n x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Dies bedeutet, dass bei jeder Form von Rechenoperation Sinus und Cosinus erhalten bleiben, wenn es genau einen davon gibt.

Wenn wir zum Beispiel die momentane Position eines Objekts im Hookeschen Gesetz lösen (ähnliche Form auch überall), haben wir Folgendes:

- k x = F = m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

Und die Lösung ist zufällig eine lineare Funktion von $x=\mathrm{sin}(t)$ .

— Maxthon Chan
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+0.(9); IMO ist es auch erwähnenswert, dass das Lösen der meisten häufig verwendeten Differentialgleichungen (Wellengleichungen, Stringgleichungen, Fluidgleichungen) eine x=e^(lambda*t)Substitution erfordert , die später eine formbare Lösung schafft x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t), die im Wesentlichen eine Sinus / Cosinus-Expansion in den Lösungen erzwingt solcher Gleichungen.

— Vaxquis

@vaxquis Die

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$ can be folded into one

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$ where f and g are linear functions.

— Maxthon Chan

ja genau. Sie können auch als Cosinus ausgedrückt werden; Ich habe nur darauf hingewiesen, dass IMO klar zeigt, dass alle drei Formen (Sinus, Cosinus, Sinus + Cosinus) äquivalent sind und in der Tat je nach Bedarf und Kontext austauschbar verwendet werden, wie dies z. B. auf en.wikipedia ersichtlich ist .org / wiki / Harmonic_oscillator oder en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

— Vaxquis

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Wissenschaftler haben die Sinuswelle nicht gewählt, das haben sie von einem Wechselstromgenerator erhalten. Im Wechselstromgenerator wird eine Sinuswelle aufgrund der Rotorbewegung in einem Magnetfeld erzeugt. Es gibt keinen einfachen Weg, es anders zu machen. Siehe diese Abbildung in Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— obaej
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Sine waves contain only one frequency. A square or triangle wave is a sum of infinite amount of sine waves that are harmonics of the fundamental frequency.

The derivative of a perfect square wave (has zero rise/fall time) is infinite when it changes from low to high or vice versa. The derivative of a perfect triangle wave is infinite at the top and bottom.

One practical consequence of this is that it is harder to transfer a square/triangle signal, say over a cable compared to a signal that is only a sine wave.

Eine weitere Konsequenz ist, dass eine Rechteckwelle im Vergleich zu einer Sinuswelle viel mehr Störstrahlung erzeugt. Da es viele Oberschwingungen enthält, können diese Oberschwingungen strahlen. Ein typisches Beispiel ist die Taktung eines SDRAM auf einer Leiterplatte. Wenn es nicht mit Sorgfalt geleitet wird, erzeugt es eine Menge Strahlung. Dies kann zu Fehlern bei der EMV-Prüfung führen.

Eine Sinuswelle kann auch strahlen, aber dann würde nur die Sinuswellenfrequenz ausstrahlen.

— Reidar Gjerstad
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Man könnte argumentieren, dass Rechteckwellen nur eine Frequenz enthalten. Eine Sinuswelle ist eine Summe von unendlich vielen Rechteckwellen.

— Jinawee

@jinawee Du könntest, aber es gibt andere Dinge, die Sinuswellen zum "fundamentalen" Wellentyp machen. Zum Beispiel ist es das einzige, das in sich differenziert (ohne Berücksichtigung der Phasenverschiebung). Obwohl mir die physikalische Erklärung für schwingende Federsysteme am besten gefällt.

— Roman Starkov

@jinawee, würdest du das bitte beweisen?

— Eric Best

@EricBest Ich kenne den Beweis nicht, bezog mich aber auf Walsh-Funktionen de.wikipedia.org/wiki/Walsh_function, die eine Hilbert-Basis für das Intervall [0,1] darstellen. Natürlich können einige Teiltabellen entstehen, wie Gleichheit bis zu einer Menge von Maß Null oder ähnliches.

— Jinawee

@jinawee: Wenn Sie eine Sinuswelle durch ein lineares System führen, erhalten Sie entweder eine Sinuswelle mit derselben Frequenz oder eine Gleichstromwelle (die als eine Sinuswelle mit derselben Frequenz, jedoch mit einer Amplitude von Null betrachtet werden kann). Wenn Sie eine Summe von Sinuswellen durch ein solches System setzen, erhalten Sie dasselbe Ergebnis wie wenn Sie jede Welle einzeln durchsetzen und die Ausgänge addieren. Die Kombination dieser beiden Eigenschaften ist für Sinuswellen einzigartig.

— Supercat

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Erstens sind die Sinus- und Cosinusfunktionen gleichmäßig stetig (es gibt also nirgendwo in ihrer Domäne diskontinuierliche Punkte) und auf der gesamten Real-Linie unendlich differenzierbar. Sie können auch leicht mit Hilfe einer Taylor-Reihenerweiterung berechnet werden.

Diese Eigenschaften sind besonders nützlich bei der Definition der Fourier-Reihen-Erweiterung von periodischen Funktionen auf der realen Linie. Somit können nicht sinusförmige Wellenformen wie Rechteck-, Sägezahn- und Dreieckwellen als unendliche Summe von Sinusfunktionen dargestellt werden. Ergo, die Sinuswelle bildet die Grundlage der harmonischen Analyse und ist die mathematisch einfachste zu beschreibende Wellenform.

— LapToppin
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Wir arbeiten immer gerne mit linearen mathematischen Modellen physikalischer Realitäten, weil es einfach ist, damit zu arbeiten. Sinusfunktionen sind Eigenfunktionen linearer Systeme.

Dies bedeutet, dass wenn der Eingang ist $\sin(t)$
Die Ausgabe erfolgt in der Form $A\cdot\sin(t + \phi)$

Die Funktion bleibt gleich und wird nur in der Amplitude skaliert und zeitlich verschoben. Dies gibt uns eine gute Vorstellung davon, was mit dem Signal passiert, wenn es sich durch das System ausbreitet.

— Axel Vanraes
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Vielen Dank an @Axel Vanraes für Ihre wertvollen Beiträge. Ich weiß das sehr zu schätzen.

— Rookie91

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Sinus / Cosinus sind Lösungen linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

sin '= cos, cos' = - sin

Grundlegende elektronische Elemente wie Induktivitäten und Kondensatoren erzeugen entweder eine Integration einer Differenzierung von Strom zu Spannung.

Durch die Zerlegung beliebiger Signale in Sinuswellen können die Differentialgleichungen einfach analysiert werden.

— TEMLIB
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Eine Möglichkeit, es auf den Punkt zu bringen, besteht darin, dass eine harmonische Reihe von Sinus- und Cosinusfunktionen eine orthogonale Basis eines linearen Vektorraums von reellwertigen Funktionen in einem endlichen Zeitintervall bildet. Somit kann eine Funktion in einem Zeitintervall als eine lineare Kombination von harmonisch verwandten Sinus- und Cosinusfunktionen dargestellt werden.

Natürlich können Sie auch andere Funktionen (z. B. bestimmte Wavelets) verwenden, sofern diese eine gültige Basis bilden, und die interessierende Funktion auf diese Weise zerlegen. Manchmal können solche Zerlegungen nützlich sein, aber bisher kennen wir nur spezielle Anwendungen für sie.

Geometrische Analogie: Sie könnten die Komponenten eines Vektors auf einer nicht-ortogonoalen Basis beschreiben. Beispielsweise kann ein Vektor auf orthonormaler Basis Komponenten von haben [1,8,-4]. Auf einer anderen, nicht orthonormalen Basis kann es Komponenten von haben [21,-43,12]. Ob dieser Komponentensatz einfacher oder schwerer zu interpretieren ist als die übliche orthonormale Basis, hängt davon ab, was Sie versuchen.

— Setzen Sie Monica wieder ein
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weniger Verluste
weniger Harmonische
Keine Störung der Kommunikationsleitung
Sehr geringer Verteilungseffekt
die Maschine laufen ihre Effizienz
sehr sehr geringes transientes Verhalten in den Fällen L und C

— Pradeep Maurya
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