Warum verwenden wir diese spezielle Näherung für die bilineare Transformation?

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So wie ich es verstehe, ist für ein Signal in der Zeit seine Laplace-Transformation und Z-Transformation sind durch eine Transformation verbunden $f(t)$ $\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}=F_1(s)$ $\mathfrak{Z}\left\{f(t)\right\}=F_2(z)$ $z=e^{sT}\leftrightarrow s=1/T\,\log(z)$ wo $T$ ist die Abtastperiode (da die Z-Transformation zeitlich diskret ist).

In der Praxis wird dies wie folgt auf den ersten Grad angenähert

\begin{aligned} z & = e^{s T} \\ = \frac{e^{s T / 2}}{e^{- s T / 2}} \\ \approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \end{aligned}

$\begin{align*}z&=e^{sT}\\&=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}\\&\approx\frac{1+sT/2}{1-sT/2}\end{align*}$ und somit

(1 - s T / 2) z \approx 1 + s T / 2

$(1-sT/2)z\approx1+sT/2$ damit

s T / 2 \approx (z - 1) / (z + 1)

$sT/2\approx(z-1)/(z+1)$ und ultimativ

s \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{- 1}}{1 + z^{- 1}}

$s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ .

Jetzt verstehe ich bis hierher, aber ich verstehe nicht, warum wir diese spezielle Näherung erster Ordnung beispielsweise über verwenden. $z=e^{sT}\approx1+sT\leftrightarrow s\approx(z-1)/T=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}$ .

Verhält sich diese Annäherung für die meisten Zwecke wesentlich schlechter?

Entschuldigung für die Tags - Ich habe verschiedene Dinge wie 'bilineare Transformation' ausprobiert, aber sie existierten nicht und mir fehlen die Punkte, um sie zu erstellen.

laplace-transform

— oldrinb
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Die Vorwärts-Euler-Transformation

z = e^{s T} \approx 1 + s T \leftrightarrow s \approx (z - 1) / T = \frac{1 - z^{- 1}}{T z^{- 1}}

$z=e^{sT}\approx1+sT\leftrightarrow s\approx(z-1)/T=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}$ ist leicht zu verstehen, da es sich um eine direkte Übersetzung und Skalierung aus dem

s

$s$ -Domäne zur Z-Domäne. Aber die Übersetzung kann sich stabil verändern

s

$s$ -Domäne Pole in instabil

z

$z$ -Domänenstangen.

Um dies zu sehen, betrachten Sie das folgende Diagramm.

Die linke Halbebene in der $s$ -domain (schattiert) wird skaliert von $T$ und übersetzt von $1$ zum $z$ -Domain. Es sollte klar sein, dass ein Pol X stabil ist $s$ kann instabil sein in $z$ durch die Forward Euler-Transformation.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Im Gegensatz dazu ist die bilineare Transformation

s \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{- 1}}{1 + z^{- 1}}

$s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ übersetzt das gesamte LHP der s-Domäne in den Einheitskreis der

z

$z$ -Domäne durch Frequenzverzerrung über eine Zwischen-W-Ebene.

Anhand des folgenden Diagramms (Ref: Ogata.K, Discrete Time Systems, 1995, Prentice-Hall) können Sie sehen, dass der gesamte LHP des $s$ -Domäne (a) wird über die Skalierung der w-Ebene (c) in den Einheitskreis (b) transformiert.

Deshalb wird Bilinear in der Praxis dem Forward Euler vorgezogen. Es gibt jedoch andere Möglichkeiten wie die Nullpolanpassung (die ich bevorzuge), die aufgrund der mit Bilinear verbundenen Frequenzverzerrung gegenüber Bilinear angewendet werden kann.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

— Akellyirl
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genial! Ich verstehe jetzt - die bilineare Transformation als Annäherung bewahrt die Systemstabilität. Sowohl der Vorwärts-Euler als auch der bilineare Wert führen zu Frequenzverzerrungen, da es sich um einfache Näherungen handelt (wie ich verstehe), aber die Pol-Null-Anpassung ergibt keine solche Verzerrung, richtig?

— Oldrinb

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Ich kann Ihre Frage nur in einem Zusammenhang mit der S / C-Technik (Switched Condensator) beantworten, bei der die mathematischen Werkzeuge der digitalen Signalverarbeitung verwendet werden. Hier werden vier verschiedene Näherungen verwendet:

(1) Euler vorwärts (EF), (2) Euler rückwärts (EB), (3) bilinear (BI) und (4) LDI (verlustfreier diskreter Integrator).

Für S / C-Schaltungen ist es üblich, S / C-Schaltungen zu verwenden, die auf Integratoren basieren. Hier sind die wichtigen Unterschiede:

(1) EF-Integrator: Bei steigenden Frequenzen verursacht die Approximation POSITIVE Phasenfehler

(2) EB-Integrator: Bei steigenden Frequenzen verursacht die Approximation NEGATIVE Phasenfehler

(3) BI- Integrator: Keine Phasen- und Amplitudenfehler, jedoch gibt es bei ansteigenden Frequenzen eine Art "Schrumpfen" der Frequenzachse basierend auf einer Arctanfunktion . Für alle Tiefpass- und Bandpassfunktionen verursacht dieser Effekt eine echte Null für eine endliche Frequenz w = 0,5 * wcl (wcl: Taktfrequenz). Dieser Effekt wird geschätzt, weil sich alle periodischen spektralen Wiederholungen nicht überlappen und sich daher nicht gegenseitig stören.

(4) LDI-Integrator: Kombination von zwei Integratoren mit EF- bzw. EB-Näherung.

Ich hoffe, dies hilft, einen Teil Ihrer Frage zu beantworten.

BEARBEITEN: Die von Ihnen erwähnte Näherung (z-1) / T entspricht der EF- Transformation.

— LvW
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Neben dem hervorragenden Punkt über die Stabilität von akellyirl besteht ein weiterer Vorteil der bilinearen Transformation (oder Tustin-Methode) gegenüber Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen darin, dass sie zu einer besseren Annäherung an das Integral führt.

Siehe folgendes Bild:

Approximationsbild für die bilineare Methode im Vergleich zu Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen von http://scilab.ninja/study-modules/scilab-control-engineering-basics/module-7-continuous-to-discrete-conversion-methods/

— Luca Citi
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