Was ist die Funktion einer Fourier-Reihe?

Was ist eine Fourier-Reihe? Wofür wird es angewendet?

Die Fourier-Reihe:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Der Term ist eine Konstante, das ist der DC-Pegel. Es hätte auch geschrieben werden können, ohne durch zwei zu teilen, aber dies ist die Konvention. Die Terme der unendlichen Summe sind die Summe eines gewichteten Sinus und eines gewichteten Cosinus mit der gleichen Häufigkeit. Wenn Sie diese als Zeiger in der komplexen Argand-Ebene zeichnen würden, würden Sie sehen, dass das Ergebnis wieder ein Sinus ist, aber mit einer anderen Amplitude und Phasenverschiebung. Daher kann die Gleichung auch geschrieben werden als $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Wir haben also die Summe der Sinuskurven, alle Mehrfachfrequenzen einer Grundfrequenz , jede mit ihrer eigenen Amplitude und Phase. $\omega_0$

Fourier hat bewiesen, dass man auf diese Weise jede sich wiederholende Funktion beschreiben kann. Manchmal ist die Reihe unendlich, manchmal hat sie eine endliche Anzahl von Begriffen. Manchmal fehlen Terme, was bedeutet, dass ihre Amplitude Null ist.

Eine der bekanntesten Fourierreihen ist die einer Rechteckwelle:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

oder erweitert:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Das ist also eine solche Serie mit fehlenden Begriffen: Eine Rechteckwelle hat keine geraden Harmonischen. Das folgende Bild zeigt, wie es im Zeitbereich aussieht:

Die obere Zeichnung zeigt die Summe der ersten beiden Terme, dann wird ein dritter und am unteren Rand ein vierter Term hinzugefügt. Jeder hinzugefügte Term bringt die Wellenform näher an eine Rechteckwelle, und Sie müssen die Grenze der Reihe auf unendlich setzen, um eine perfekte Rechteckwelle zu erhalten.

Manchmal ist es schwierig, den fundamentalen Sinus darin zu erkennen. Nehmen Sie zum Beispiel die Summe eines 3-Hz-Sinus und eines 4-Hz-Sinus. Die resultierende Wellenform wird einmal pro Sekunde wiederholt, das ist 1 Hz. Die 1Hz ist die Grundwelle, auch wenn ihre Amplitude Null ist. Die Reihe kann geschrieben werden als

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Alle folgenden Terme haben ebenfalls eine Amplitude von Null.

Jedes realisierbare analoge Signal, alles, was Sie sich vorstellen oder legitimerweise aus einem Spannungs-Zeit-Diagramm ziehen können, kann in mathematischen Begriffen als die Summe einer unendlichen Anzahl von Sinuswellen mit verschiedenen Frequenzen ausgedrückt werden - so etwas wie:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Unterschiedliche Signale werden durch Ändern der Werte konstruierter A, B, Cusw. und f1, f2und andere.

Wenn sich jemand auf eine Fourier-Reihe bezieht, bezieht er sich auf das Ausdrücken der Wellenform als eine Reihe von Additionsoperationen wie oben.

Realistisch gesehen hat jedes analoge Signal bei jeder Frequenz EINEN INHALT - auch wenn die Amplitude 0,1 bis 67 beträgt, ist sie immer noch vorhanden. Im Idealfall ist das nicht so - wenn ich eine reine Rechteckwelle konstruiere, dann weiß ich, dass sie NUR aus Frequenzen besteht, die ein ungerades Vielfaches ihrer Periode sind. Somit ist eine 1-Hz-Rechteckwelle die Summe einer 1-Hz-Sinuswelle plus einer 3-Hz-Sinuswelle und so weiter auf der ganzen Linie. Bei anderen bekannten Wellenformen, wie Dreieckswellen und Rampen, wurde berechnet, welche Frequenzen in welchem ​​Inhalt vorhanden sind.

Die Fourier-Reihe ist ein Mittel zum Ausdrücken einer periodischen Wellenform als (möglicherweise unendliche) Summe von "harmonischen" sinusförmigen Wellenformen.

Es wird auch verwendet, um ein Signal in einem begrenzten (kompakten) Zeitintervall als unendliche Summe von Sinuswellenformen auszudrücken.

Durch Herstellen der Beziehung zwischen einem Signal in der Zeitdomäne (d. H. Einem als Funktion der Zeit ausgedrückten Signal) und einem äquivalenten Signal in der Frequenzdomäne (d. H. Dem als Funktion der Frequenz ausgedrückten Signal) erhält man das Fourier Series ermöglicht die harmonische Analyse von Signalen und Systemen, die die Grundlage für die Funkübertragungstheorie, die Codierungstheorie, die Steuerungstheorie, die Quantentheorie und viele andere sehr nützliche Bereiche der Technik bilden.

Während der Ausdruck von Signalen in der Fourier-Reihe zunächst komplizierter zu sein scheint und komplexe Ausdrücke und „unendliche Summen“ beinhaltet, ermöglichen sie es Ingenieuren, Probleme zu lösen, die mit Ausdrücken in geschlossener Form nicht gelöst werden können.

Einfach ausgedrückt ist es manchmal nützlich, Variationen in Raum und / oder Zeit als Variationen in Frequenz und Phase auszudrücken. Besonders für periodische Variationen. Aber selbst wenn die Variation nicht periodisch ist, wird sie, vorausgesetzt, die Variation ist auf ein räumliches und / oder zeitliches Intervall beschränkt, auch auf ein entsprechendes Intervall (Bandbreite) in der Frequenz beschränkt.

Die Anwendung der Fourier-Reihe hat maßgeblich zum Verständnis der Kanalbandbreite für Kommunikationssysteme, zur Entwicklung von Bildkomprimierungsalgorithmen und zur Verbesserung der Zuverlässigkeit von Stromverteilungssystemen beigetragen.

Um den obigen Kommentaren eine gewisse Praktikabilität zu verleihen, kann die Fourier-Zeitbereichsreihe über Algorithmen wie FFT (Fast Fourier Transform) und DFT (Discrete Fourier Transform) in ihre Frequenzbereichskomponenten zerlegt werden. Ein wichtiges praktisches Ergebnis der Anwendung der Algorithmen ist, dass wir in Forschung und Entwicklung und in Labortests häufig die spektrale Reinheit von Signalen anhand eines Grundrauschens (z. B. SNR oder Spurious Free Dynamic Range) messen möchten, um festzustellen, wie rein oder häufig unverzerrt ist unser Signalinhalt. Wenn wir eine Zeitbereichsausgabe haben (wie sie ein DA-Wandler verarbeiten würde), können wir diese Werte nicht nur anhand der Zeitbereichsantwort ermitteln. Auf der Simulationsseite verwenden wir daher häufig ein DFT-Modul, um diese zu transformieren das Zeitbereichssignal in den Spektralbereich (Frequenzbereich). Im Labor, auf einem Oszilloskop, Wir benötigen ein Tool, mit dem wir die spektralen Eigenschaften untersuchen können (normalerweise verwenden wir Spektrumanalysatoren). Das Herz dieser Werkzeuge hängt von der Fourier-Analyse und den Methoden der spektralen Zerlegung ab. Sie haben also einen praktischen Grund, warum die Fourier-Analyse in EE wichtig ist.