Welche Bedeutung hat die Standardform der Übertragungsfunktionen 1. und 2. Ordnung?

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Eine Standardform einer Differentialgleichung erster Ordnung ist:

(1)

τ \frac{d y}{d t} + y = k * x (t)

$\tau \frac{dy}{dt} + y = k * x(t)$

Die Laplace-Transformation davon:

(2)

G (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{k}{τ s + 1}

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{\tau s+1}$

aber manchmal wird es als gegeben

(3)

H (s) = \frac{1}{τ s + 1} = \frac{a}{s + ein}

$H(s) = \frac{1}{\tau s +1} = \frac{a}{s+a}$

Eine Standardform einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist:

(4)

τ^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 τ ζ \frac{d y}{d t} + y = k * x (t)

$\tau ^{2} \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2 \tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = k * x(t)$

Die Laplace-Transformation davon:

(5)

G (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{k}{τ^{2} s^{2} + 2 τ ζ s + 1}

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s+1}$

aber manchmal wird dies als gegeben

(6)

H. (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}

$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Hier sind meine Fragen:

Was ist die physikalische Bedeutung von "erster" und "zweiter Ordnung"? (abgesehen von der Tatsache, dass die höchste Leistung des Differentials im ersten 1 und im zweiten 2 ist). Woher weiß ich, ob ein System erster oder zweiter Ordnung ist?
Woher kommen die Gleichungen (1) und (4)? Warum wurden diese als "Standardform" ausgewählt? Was ist das Besondere an dieser Form und wie wurden diese Gleichungen abgeleitet?
Warum wird bei einem System erster Ordnung manchmal Gleichung (2) und manchmal Gleichung (3) als Übertragungsfunktion für dieses System angegeben? Wenn ein System zweiter Ordnung gegeben ist, warum wird Gleichung (6) normalerweise gegeben, wenn die Laplace-Transformation tatsächlich Gleichung (5) ist?

transfer-function system laplace-transform

— Blue7
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Eine Differentialgleichung ist keine Übertragungsfunktion. Vielmehr hat eine Differentialgleichung eine Übertragungsfunktion. Wenn Sie Gleichheitszeichen setzen, ist dies keine Gleichheit ohne Gleichsetzung von Koeffizienten. Sie zeigen eine bestimmte Übertragungsfunktion neben einer allgemeinen Form, die zum Nachschlagen von Tabellen nützlich ist.

— Scott Seidman

Oh okay, nun, ich sehe viel Gleichung (1) und (4), die als "Standardform" beschrieben werden. Wovon sind sie dann "Standardform"? Auch in Gleichung 3 ist tau = 1 / a. Ich weiß allerdings nicht, warum das nötig ist.

— Blue7

Sieht aus wie die Standardform einer Differentialgleichung ...

— Matt Young

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Was ist die physikalische Bedeutung von "erster" und "zweiter Ordnung"? ... Woher weiß ich, ob ein System erster oder zweiter Ordnung ist?

Ein System 1. Ordnung hat ein Energiespeicherelement und benötigt nur eine Anfangsbedingung, um die eindeutige Lösung für die maßgebliche Differentialgleichung anzugeben. RC- und RL-Schaltungen sind Systeme 1. Ordnung, da jedes ein Energiespeicherelement, einen Kondensator bzw. eine Induktivität aufweist.

Ein System 2. Ordnung hat zwei Energiespeicherelemente und erfordert zwei Anfangsbedingungen, um die eindeutige Lösung zu spezifizieren. Eine RLC-Schaltung ist ein System 2. Ordnung, da sie einen Kondensator und eine Induktivität enthält

Woher kommen die Gleichungen (1) und (4)?

Betrachten Sie den homogenen Fall für die Gleichung 1. Ordnung:

τ \frac{d y}{d t} + y = 0

$\tau \frac{dy}{dt} + y = 0$

Bekanntlich hat die Lösung die Form

y_{c} (t) = y_{c} (0) \cdot e^{- - \frac{t}{τ}}

$y_c(t) = y_c(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Dies gibt dem Parameter physikalische Bedeutung - es ist die dem System zugeordnete Zeitkonstante . Je größer die Zeitkonstante , länger dauert der Zerfall der Transienten. $\tau$ $\tau$

Für das System 2. Ordnung ist die homogene Gleichung

τ^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 τ ζ \frac{d y}{d t} + y = 0

$\tau^2\frac{d^2y}{dt^2} + 2\tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = 0$

Unter der Annahme, dass die Lösungen die Form , ist die zugehörige charakteristische Gleichung somit $e^{st}$

τ^{2} s^{2} + 2 τ ζ s + 1 = 0

$\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s + 1 = 0$

Das hat zwei Lösungen

s = \frac{- - ζ \pm \sqrt{ζ^{2} - - 1}}{τ}

$s = \frac{-\zeta \pm\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}$

Dies gibt der dem System zugeordneten Dämpfungskonstante eine physikalische Bedeutung . $\zeta$

Die Übergangslösungen haben, wenn (überdämpft), die Form $\zeta > 1$

y_{c} (t) = EIN e^{\frac{- - ζ + \sqrt{ζ^{2} - - 1}}{τ} t} + B. e^{\frac{- - ζ - - \sqrt{ζ^{2} - - 1}}{τ} t}

$y_c(t) = Ae^{\frac{-\zeta +\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t} + Be^{\frac{-\zeta -\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t}$

Wenn (kritisch gedämpft) ist, haben die Lösungen die Form $\zeta = 1$

y_{c} (t) = (EIN + B. t) e^{- - \frac{ζ}{τ} t}

$y_c(t) = \left(A + Bt\right)e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}$

und wenn (unterdämpft) ist, haben die Lösungen die Form $\zeta < 1$

y_{c} (t) = e^{- - \frac{ζ}{τ} t} (EIN \cos (t \sqrt{1 - - ζ^{2}}) + B. Sünde (t \sqrt{1 - - ζ^{2}}))

$y_c(t) = e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}\left(A\cos \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) + B\sin \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) \right)$

Warum wird bei einem System erster Ordnung manchmal Gleichung (2) und manchmal Gleichung (3) als Übertragungsfunktion für dieses System angegeben?

Unterschiedliche Disziplinen haben unterschiedliche Konventionen und Standardformen. Gleichung (2) sieht für mich wie ein Standard für die Steuerungstheorie aus, während Gleichung (3) wie ein Standard für die Signalverarbeitung aussieht .

Standardformen werden entwickelt, um den Anforderungen einer Disziplin zu entsprechen. Wenn eine besonders einflussreiche Person oder Gruppe eine bestimmte Konvention entwickelt und verwendet, wird diese Konvention häufig zum Standard. Es könnte lehrreich sein, ältere Lehrbücher und Zeitschriften zu lesen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sich Notation und Standardformen entwickeln.

— Alfred Centauri
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Die Reihenfolge einer Übertragungsfunktion wird durch die höchste Ordnung des Nenners bestimmt. Diese Reihenfolge gibt die Anzahl der Pole an und bestimmt somit die Abrollcharakteristik der Übertragungsfunktion (Größe) sowie den Betrag der Phasenverschiebung für ansteigende Frequenzen.
Die Standardform ist sehr wichtig, da sie es ermöglicht, charakteristische Parameter durch visuelle Inspektion und / oder einfache Berechnungen zu finden: Reihenfolge des Filters, Formel für die Polfrequenz, Formel für Pol-Q. Diese Parameter sind die Entwurfseinträge zum Entwerfen eines Filters und können für alle klassischen Antworten in Filtertabellen gefunden werden.
Natürlich können beide Formen der Gleichungen verwendet werden. Die letzte Form ist jedoch bequemer, da Sie die Polfrequenz wn sofort identifizieren können. Diese charakteristische Frequenz hängt mit der Grenzfrequenz wc (die normalerweise gegeben ist) durch einen festen Faktor zusammen, der von der gewünschten Charakteristik abhängt (Beispiel 1: Butterworth zweiter Ordnung, wc = wn; Beispiel 2: Chebyshev zweiter Ordnung, 0,5 dB Welligkeit) wp = 1,2313 * wc).

EDIT : Ich habe vergessen zu erwähnen, dass der Polqualitätsfaktor (Pol Q oder Qp) mit dem Dämpfungsfaktor ζ (wie in Ihren Formeln angegeben) durch die Beziehung ζ = 1 / (2 * Qp) zusammenhängt.

Zusammenfassung: Die letzte Form (Gleichung 6) enthält die wichtigsten Tiefpassgrößen als Parameter (Ao, wp, Qp), die ebenfalls gemessen werden können (Bode-Diagramm für Größe und Phase). In der Praxis wird diese Form mit der Form verglichen, die direkt von der Schaltung abgeleitet ist - und somit ist es möglich zu sehen, wie alle Parameter von den bestimmten Teilen in der Schaltung abhängen.

— LvW
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