Theoriefrage zur imaginären Einheit „j“ (Wechselstromkreisanalyse)

Ich habe gerade angefangen, etwas über die AC-Netzwerkanalyse zu lernen und habe einige Fragen zu "j" (oder "i" auf meinem Taschenrechner), der imaginären Einheit. Mein Buch geht nicht viel darauf ein und springt direkt in Formeln und Substitutionen (praktischerer Ansatz, nicht theoretisch). Also, was genau repräsentiert J?

Ich sehe, dass, wenn ich eine komplexe Ebene zeichne (y-Achse ist imaginär, x-Achse ist real) und einen Einheitskreis darauf zeichne, ein 90 ° -Winkel , was "j" ist. Ich sehe, dass ich diese Substitution in Zeigerform verwenden kann, wenn ich beispielsweise nach der Spannung an einem Kondensator löse, wenn der Strom durch ihn bekannt ist:$\sqrt{-1}$

Kann mir jemand helfen, das zu verstehen?

Um ehrlich zu sein, ist diese Frage ziemlich vage, weil ich nicht einmal sicher bin, wie ich fragen soll, was J ist. es ist mir so fremd. Ich hätte gerne eine vernünftige Erklärung (Gesamtbild) seiner Bedeutung und seines Zwecks in der Analyse von Wechselstromkreisen. Ich suche nicht unbedingt nach einer strengen mathematischen Erklärung (obwohl jede notwendige mathematische Erklärung willkommen ist).

Wenn Sie ein Minuszeichen vor die Zahl "5" setzen, wird es zu "-5".

Versuchen Sie, dies anders zu betrachten. Denken Sie, dass es die Zahl "5" (durch ein Stück Schnur der Länge 5 mit dem Ursprung verbunden) um 180 Grad dreht, um "-5" zu werden.

Okay so weit? Negative Vorzeichen sind gleichbedeutend mit einer Drehung um 180 Grad ...

Warum erweitern Sie dies nicht weiter, um etwas zu erzeugen, das Sie vor eine positive Zahl "kleben" können, die es um 90 Grad dreht? In EE wird dies normalerweise als "j" bezeichnet und dient dazu, einen Wert (um den Ursprung) um 90 Grad zu drehen Gegen den Uhrzeigersinn, dh wenn Sie es zweimal gemacht haben (j * j), erhalten Sie 180 Grad ("-").

$\sqrt{-1}$

So wie ein Minuszeichen jeden positiven Wert um 180 Grad drehen kann, kann es jeden Vektor oder Zeiger um 180 Grad drehen. Gleiches gilt für den j-Operator - er dreht jeden Vektor oder Zeiger um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn.

BEARBEITEN - Teil der Frage vergessen: -

Einsetzen von j in die Impedanz eines Kondensators. Denken Sie daran, dass die Grundformel für einen Kondensator Q = CV lautet und daher die Variablen differenziert, die wir erhalten: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

Dies sagt uns, dass für eine an einen Kondensator angelegte Sinuswellenspannung der Strom ebenfalls eine Sinuswelle ist, aber in einen Cosinus wie diesen differenziert wird:

Wenn Sie versuchen würden, die Impedanz (V / I) eines Kondensators aus der VI-Beziehung zu berechnen, würden Sie in Schwierigkeiten geraten, denn wenn ich durch Null gehe, ist V NICHT Null, sodass Sie Unendlichkeiten erhalten. Wenn Sie andererseits ein "j" anwenden, um den Strom mit der Spannung in Phase zu bringen, funktioniert die Mathematik einwandfrei - Strom und Spannung sind ausgerichtet und die Impedanz basierend auf den Momentanwerten von V / I ist sinnvoll.

Ich bin mir bewusst, dass Sie gerade erst anfangen, also habe ich versucht, dies genau und einfach zu halten (vielleicht zu einfach für einige?).

Wenn Sie sich die Induktivität ansehen, kann das "j" an die Spannung angelegt werden, um sie an den Strom anzupassen, daher steht "j" im Zähler für die induktive Reaktanz und j im Nenner für die kapazitive Reaktanz. Hier liegen Feinheiten herum, die hoffentlich Sinn machen, wenn Sie mehr lernen - es ist eigentlich kein Zufall, dass "j" Omega "folgt", wenn es um Impedanzen geht - meine Erklärung deckt das nicht ab und Ihre Frage auch nicht!

$i$$-1$

$-1$$-i$

Wenn Sie sich eine Zahlenlinie mit horizontal platzierten reellen Zahlen vorstellen. Wir können jetzt eine zweite vertikal verlaufende Zahlenlinie hinzufügen, die die imaginären Zahlen enthält.

$4 + 3i$

Da ein Punkt im zweidimensionalen Raum jetzt als einzelne Zahl dargestellt werden kann, werden Berechnungen mit zweidimensionalen Vektoren vereinfacht.

In der Elektronik lernen wir zunächst, Zeigerdiagramme zu zeichnen, wenn wir Systeme betrachten, die von einer Sinuswelle mit einer einzigen Frequenz versorgt werden. Dann später komplexe Zahlen verwenden, um mit diesen Problemen umzugehen.

$j$$i$$i$

Wenn Sie etwas mehr Einblick wünschen, werfen Sie einen Blick auf diese Frage: Was sind imaginäre Zahlen? von der Mathematics Stack Exchange- Site.

Oder werfen Sie einen Blick hierher: Eine visuelle, intuitive Anleitung zu imaginären Zahlen .

In Mathe stellte jemand die Frage:

Was ist die Lösung für x ^ 2 = -1?

Sie erfanden eine Nummer und sagten, wir nennen sie "j".

Sie haben die Konsequenzen daraus herausgearbeitet. Sie fanden heraus, dass dies zu keinen Widersprüchen im Bereich der bestehenden Mathematik führte.

Beachten Sie, dass Sie vielleicht denken: "Okay, warum nicht jedes Mal einen Buchstaben einführen, wenn Sie etwas Unlösbares haben? Ich rufe einfach 1/0 = f an."

Versuch es. Es funktioniert nicht immer, weil die bestehenden Regeln der Arithmetik zusammenbrechen. Zum Beispiel können Sie zeigen, dass Sie durch Definieren von 1/0 = f zeigen können, dass 1 = 2 oder 1 = 3, ...

Mathematisch funktioniert es also und führte zu keinen Widersprüchen. Plötzlich haben wir die Möglichkeit, zwei Informationen in eine einzige Zahl zu "packen", da Sie eine komplexe Zahl darstellen können: auf einer realen / imaginären Ebene. Plötzlich können wir eine NUMMER manipulieren, die sowohl Größe als auch Phase enthält, genauso wie wir "reguläre Zahlen" manipulieren. Das ist sehr nützlich.

In der Elektronik ist es sehr praktisch, zwei Informationen in eine Zahl packen zu können. Es ist also sehr praktisch, komplexe Zahlen zu verwenden. Das ist alles was es ist. Wir wollen zufällig sowohl eine Größe als auch eine Phase im Auge behalten - dieses Werkzeug der Mathematik, das in vielerlei Hinsicht nur aus dem Nichts erfunden wurde, aber keine Regeln bricht, ermöglicht es uns, genau das zu tun. Also lass es uns benutzen.

In der Mathematik ist die imaginäre Einheit eine sehr hilfreiche Zahl, die zum Lösen von Gleichungen mit einer Ordnung höherer Ordnung verwendet wird. Es wurde nur ... in den Test eingeführt und funktioniert bis heute ziemlich gut. Dies sieht vor, dass in jedem Polynom mindestens eine Wurzel erhalten wird.

In der Elektronik repräsentiert die imaginäre Einheit die in unserer Schaltung gespeicherte Energie. Im Kondensator ist es also die darin gespeicherte Energie. Es stellt auch eine Phasenverschiebung in der Schaltung dar, wenn es sich um sinusförmige Signale handelt.

Ich denke, Sie sollten Ihre Frage präzisieren oder einfach Fragen schreiben, die Sie in Punkten stören.

Zum Beispiel ... Wenn die Impedanz Ihrer Schaltung nur durch eine imaginäre Einheit dargestellt wird, nicht durch eine reale, wird Ihre Energierechnung ... Null sein :)